高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破極限及其運(yùn)算

1、高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破極限及其運(yùn)算極限的概念及其滲透的思想，在數(shù)學(xué)中占有重要的地位，它是人們研究許多問(wèn)題的工具.舊教材中原有的數(shù)列極限一直是歷年高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一.本節(jié)內(nèi)容主要是指導(dǎo)考生深入地理解極限的概念，并在此基礎(chǔ)上能正確熟練地進(jìn)行有關(guān)極限的運(yùn)算問(wèn)題.難點(diǎn)磁場(chǎng)( )求 lima n2n1.2 nan1n案例探究例 1已知 lim(x2x 1 ax b)=0,確定 a 與 b 的值 .x命題意圖：在數(shù)列與函數(shù)極限的運(yùn)算法則中，都有應(yīng)遵循的規(guī)則，也有可利用的規(guī)律，既有章可循，有法可依.因而本題重點(diǎn)考查考生的這種能力.也就是本知識(shí)的系統(tǒng)掌握能力.屬級(jí)題目 .知識(shí)依托： 解決本題的閃光點(diǎn)是對(duì)式子進(jìn)

2、行有理化處理，這是求極限中帶無(wú)理號(hào)的式子常用的一種方法 .錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是式子的整理過(guò)程繁瑣，稍不注意就有可能出錯(cuò).技巧與方法：有理化處理 .解： lim (x 2x1axb)lim( x 22x1)( axb) 2xxxx1axb(1a2 ) x 2(12ab) x(1 b2 )lim2xxx1axb要使上式極限存在，則1 a2=0,當(dāng) 1a2=0 時(shí)，1b2上式(12ab) x(1b2 )lim(12ab)x2(12ab)lim211b1axxx 1axbx1ax 2xx由已知得(12ab)10a1a 20a1(12ab)解得b11a02例 2設(shè)數(shù)列a1,a2 , ,an, 的前 n

3、項(xiàng)的和 Sn 和 an 的關(guān)系是Sn=1ban1,其中b) n(1b 是與 n 無(wú)關(guān)的常數(shù)，且 b 1.(1)求 an 和 an 1 的關(guān)系式；(2)寫(xiě)出用 n 和 b 表示 an 的表達(dá)式；(3)當(dāng) 0 b1 時(shí)，求極限 lim Sn.n命題意圖：歷年高考中多出現(xiàn)的題目是與數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n 項(xiàng)和 Sn 等有緊密的聯(lián)系 .有時(shí)題目是先依條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式再求極限，或先求出前n 項(xiàng)和 Sn 再求極限，本題考查學(xué)生的綜合能力.屬級(jí)題目 .110知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是分析透題目中的條件間的相互關(guān)系.錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是第(2) 中由 (1)中的關(guān)系式猜想通項(xiàng)及n=1 與 n=2 時(shí)的式

4、子不統(tǒng)一性 .技巧與方法：抓住第一步的遞推關(guān)系式，去尋找規(guī)律.解： (1)an=Sn Sn 1= b(an an 1)11= b(an an1 )+b(n 2)(1b) n(1b)n 1b)n(1解得 an=ban1b(n 2)1b) n 1b(1(2) a1S11ba111,a1(1bbb)2anb b an 2(1b(11( b ) 2 an 2b2b1b1bb) nb) n11b(1b) n 1b2bbbb2( 1 b)1 ban 3(1 b) n 1 (1 b) n 1( b )2 an 3b b2b3,1 b(1b)n1由此猜想 an(bn 1b b 2b3bn 1)a1(1b) n

5、 11 b把 a1b代入上式得b)2(1b 2bnbbn11 ( b1)b(1b)(1b) nan(1b) n1n1 (b1)2n(3)Sn1ban11bbbn11(1b) n(1 b)(1b) n1(1 b)n11b(bbn 1 )1)n1(b1),b)n1b(1(1b0 b1時(shí), lim bn0, lim (1) n0,lim Sn1.nn1bn錦囊妙計(jì)1.學(xué)好數(shù)列的極限的關(guān)鍵是真正從數(shù)列的項(xiàng)的變化趨勢(shì)理解數(shù)列極限.學(xué)好函數(shù)的極限的關(guān)鍵是真正從函數(shù)值或圖象上點(diǎn)的變化趨勢(shì)理解函數(shù)極限.2.運(yùn)算法則中各個(gè)極限都應(yīng)存在.都可推廣到任意有限個(gè)極限的情況，不能推廣到無(wú)限個(gè) .在商的運(yùn)算法則中，要注意

6、對(duì)式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限.3.注意在平時(shí)學(xué)習(xí)中積累一些方法和技巧，如：lim( 1) n0, lim an0(| a | 1)nnna0 當(dāng)l時(shí), ka0 x ka1x k 1akb0lim0,當(dāng)kl時(shí)b0 xlb1 xl 1b1n不存在 ,當(dāng)kl 時(shí)111殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.(n 是 (1+ x)n 展開(kāi)式中含 x2 的項(xiàng)的系數(shù)， 則111 )等于()alim (a2anna1A.2B.0C.1D.12.( )若三數(shù) a,1,c 成等差數(shù)列且a2,1,c2 又成等比數(shù)列，則 lim (ac) n的值是na2c2()A.0B.1C.0或 1D. 不存在二、填空題3.(

7、 ) lim (xxxx )=_.n4.( )若 lim (a2n2n 1nb) =1, 則 ab 的值是 _.n三、解答題5.( )在數(shù)列 an 中，已知 a1=3,a2=31,且數(shù)列 an+1 1an 是公比為1 的等5100102比數(shù)列，數(shù)列 lg( an+1 1an 是公差為 1 的等差數(shù)列 .2(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2)Sn=a1+a2+ +an(n 1),求 lim Sn.nf ( x)limf ( x)=1,試求 limf ( x)6.( )設(shè) f(x)是 x 的三次多項(xiàng)式， 已知 lim2ax3an2 a xn 4a x 4an的值 .(a 為非零常數(shù) ).7.(

8、)已知數(shù)列 an, bn 都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公式分別為p、 q,其中 pq,且 p 1,q 1,設(shè) cn=an+bn,Sn 為數(shù)列 cn 的前 n 項(xiàng)和，求 limSn的值 .nSn 18.( )已知數(shù)列 an 是公差為 d 的等差數(shù)列， d 0 且 a1=0,bn=2 an(n N* ),Sn 是Sn*). bn 的前 n 項(xiàng)和， Tn=( nNbn(1)求 Tn 的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng) d 0 時(shí)，求 lim Tn.n參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)112an2n 111(2)n 11解當(dāng)或時(shí)aa:alim;2a2, lim2na n 12nn(naa)aan2n 1( a )n11當(dāng)2a2時(shí), l

9、imnn 1lim22;2aan4nn2a()2當(dāng)時(shí), lima n2 n 1a 22nan 1n當(dāng)時(shí)an2n 1a2,2na n 12 n2n 12n 12n2n13 2n2 n2n13 2n 12 n2n12n殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練lim3 2n 11 ;n6 2n 12( 2)n2n12n(2) n11 (n為奇數(shù) )63 ( n為偶數(shù) )2一、 1.解析： anCn2n( n 1),12(11) ，2ann1 nlim( 111 )lim 2(11 )2na1a2annn答案： A2.解析：ac2ac2ac2a2 c2,得a2c22或a2c261答案： C二、 3.解析： lim (xxxx )

10、limxxxxxxxxxx11x1 .limx11112x3x 2答案： 12a 2 (2n2n1)n 2b2lim(2a 2b 2 ) n2a2 n a 24.解析：原式 = lim221na2nn1nbna2nn1 nb2a 2b 20a222b1b4 ab=8 2答案：82113三、 5.解： (1)由 an+1 1an 是公比為1 的等比數(shù)列，且a1=3,a2=31,1025100 an+1 1an=(a2 1a1)(1)n-1 =(31 3 1)(1)n-1=1(1)n 11,101021005102422n1 an+1=11an+102n 1又由數(shù)列 lg( an+1 1an) 是

11、公差為 1的等差數(shù)列，且首項(xiàng)lg(a2 1a1)22=lg(31 1 3)=2,10025其通項(xiàng) lg( an +1 1an)= 2+( n 1)( 1)= (n+1),2 an+1 1an=10 (n+1),即 an +1=1an+10 (n+1)22聯(lián)立解得 an=5(1)n+1 (1)n +12210(2)Sn=nak5n(1)k1n(1k122)k1k1k 110lim Sn5(1)2(1)211 26n2111192106.解：由于 limf ( x)=1，可知， f(2a)=02ax2 a x同理 f(4a)=0由可知f( x)必含有 (x2a)與 (x4a)的因式，由于f(x)是

12、 x的三次多項(xiàng)式，故可設(shè)f(x)= A(x 2a)(x 4a)(x C),這里 A、C 均為待定的常數(shù)，由 limf ( x)1,即 limA( x2a )( x4a)( xC)lim A( x4a )(xC) 1,xx2ax2a2ax2ax2 a得 A(2a 4a )(2a C )1,即24a A 2aCA= 1同理，由于 limf ( x)=1, 得 A(4a 2a)(4a C)=1, 即 8a2A2aCA=1x4ax4a由得 C=3a,A=12,因而 f(x)=12 (x 2a)( x 4a)(x 3a),2a2alimf ( x)lim1( x2a)( x4a)1a(a)1x3a x3

13、ax3a 2a 22a 22a (1pn )b (1q n )7.解 : Sn111p1qa1(1 p n ) b1 (1 qn )Sn1p1qSn 1a(1 p n 1) b (1 qn 1 )111p1qa (1q)b (1p)a (1q) pnb (1p)q n111q) p n 11p)q n 1a1 (1 q) b1 (1 p)a1(1b1(1由數(shù)列 an 、 bn 都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，知p 0,q 0114a1 (1q)b1 (1 p)a1 (1q) pnb1 (1p)q當(dāng)p時(shí)Snlimpn1lima (1q)b (1p)a (1q) pn 1b (1p)qnSn 1n1111pna1 (1 q)b1 (1p)a (1q)b (1p)( q ) np n11plima1 (1 q) b1 (1 p)1qn 1 1nb1 (1)p n1a1(1 q)p)(ppp0a1 (1q)0p.10a1 (10q)pnn 1當(dāng) p1 時(shí) ,q1, lim pnlim pn 1lim q nlim q n 10nnnnlimSn1Sn 1n8.解： (1)an=(n 1