高中數(shù)學(xué)定點(diǎn)、定值、探索性問題

1、課時(shí)作業(yè)A 組 基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1已知?jiǎng)狱c(diǎn) C 到點(diǎn) F(1,0)的距離比到直線x 2 的距離小 1，動(dòng)點(diǎn) C 的軌跡為E.(1)求曲線 E 的方程；(2)若直線l： m(km0)， 1，p 2，2動(dòng)點(diǎn)C 的軌跡 E 的方程為 y24x.(2)設(shè) A(x1，y1)， B(x2，y2)，由ykx m，y2 4x，得 k2x2(2km4)xm20，x1x24 2kmm2k2，x1x22 .k 22m24kmOAOB5，x x y y (1k )x x km(x x )m 25，12121212km2 4km5k2 0，mk 或 m 5k.km0，直線l 的方程為 yk(x5)，直線l 必經(jīng)過定點(diǎn) (5,

2、0)2(2018 昆明市檢測(cè) )已知點(diǎn) A，B 的坐標(biāo)分別為 (2，0)，(2，0)，直線 AM，1BM 相交于點(diǎn) M，且它們的斜率之積是2，點(diǎn) M 的軌跡為曲線 E.(1)求曲線 E 的方程；(2)過點(diǎn) F(1,0)作直線 l 交曲線 E 于 P，Q 兩點(diǎn)，交 y 軸于 R 點(diǎn)，若RP1PF，RQ 2QF，證明： 12為定值解析： (1)設(shè)點(diǎn) M(x，y)，由已知得yy12(x 2)，x 2 x 2x22化簡(jiǎn)得曲線 E 的方程：2 y1(x 2)(2)證明：設(shè)點(diǎn) P，Q，R 的坐標(biāo)分別為P(x1，y1 )， Q(x2，y2)，R(0，y0)由 RP1PF，得 (x1，y1y0) 1(1x1，

3、 y1)，所以 x1 1，y1 y0 ，1 111因?yàn)辄c(diǎn) P 在曲線 E 上，所以112y0 21，2()()111122，化簡(jiǎn)得 14122y0 02 222y0，同理，由 RQ QF，可得 x，y121 2代入曲線22，E 的方程化簡(jiǎn)得 2 4222y00由可知1， 2是方程 x24x2 2y20 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ( 0)，所以 1 2 4，即 12為定值3在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A( 3，0)， B( 3，0)，直線 MA， MB 交于點(diǎn) M，它們的斜率之積為常數(shù) m(m 0)，且 MAB 的面積最大值為 3，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡為曲線 E.(1)求曲線 E 的方程；(2)過曲線 E

4、外一點(diǎn) Q 作 E 的兩條切線 l1 ，l2，若它們的斜率之積為 1，那么 QAQB是否為定值？若是，請(qǐng)求出該值；若不是，請(qǐng)說明理由解析： (1)設(shè) M(x，y)，則由已知得y y m，即 y2m(x23)，x 3 x 3x2y2即 3 3m1(x 3)(*)當(dāng) m0 時(shí)，方程 (*) 表示雙曲線，此時(shí) MAB 面積不存在最大值 (不符合 )；當(dāng) m 1 時(shí)，方程 (*) 表示圓，此時(shí)MAB 的面積最大值為3(不符合 )；當(dāng)mb0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為12，點(diǎn)P 為其上一動(dòng)點(diǎn)，且三角形PF1F2 的面積最大值為3，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓 C 的方程；(2)若點(diǎn) M，N 為 C 上的

5、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求常數(shù) m，使 OMON m 時(shí)，點(diǎn) O 到直線 MN 的距離為定值，求這個(gè)定值c2 a2b2，解析： (1)依題意知bc3，c 1a2，a2，解得b3，x2y2所以橢圓 C 的方程為 4 3 1.(2)設(shè) M(x1，y1)，N(x2， y2)，則 x1x2 y1y2m，當(dāng)直線 MN 的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為ykx n，則點(diǎn) O 到直線 MN 的距離 d|n|n2 k21k21，3x24y212，聯(lián)立，得消去 y，ykx n，得 (4k2 3)x28knx4n2120，由 0 得 4k2n230，則8kn4n212x1 x2 23，x1 x2 2，4k4k 3所以 x1x2 (kx1

6、n)(kx2n) (k2 1)x1x2kn(x1x2) n2m，22m 4k 327n 12整理得2.k 1k 1212 221因?yàn)?dn為常數(shù)，則 m0，d27 7 ，k 1此時(shí) 27n212 滿足 0.k 1當(dāng) MNx 軸時(shí)，由 m0 得 kOM1，3x24y212，212，點(diǎn) O 到直線 MN 的距離 d221聯(lián)立，得yx，消去 y，得 x 7|x|7亦成立221綜上，當(dāng) m0 時(shí)，點(diǎn) O 到直線 MN 的距離為定值，這個(gè)定值是7 .B 組 能力提升練1如圖，已知直線 l：ykx 1(k0)關(guān)于直線 y x1 對(duì)稱的直線為l1，直線 l，l 1與橢圓 E： x2y21 分別交于點(diǎn) A，M

7、 和 A，N，記直線 l1 的斜率為 k1.4(1)求 kk1 的值；(2)當(dāng) k 變化時(shí)，試問直線 MN 是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由解析： (1)設(shè)直線 l 上任意一點(diǎn) P(x， y)關(guān)于直線 yx1 對(duì)稱的點(diǎn)為 P0(x0，y0)，直線 l 與直線 l 1 的交點(diǎn)為 (0,1)，y 1y01l： y kx1，l1 ：yk1x1，kx， k1 x0，yy0x x0由221，得 yy0xx02，yy0由 1，得 y y0x0x，xx0yx01，由得y0x1，yy0 yy0 1kk1xx0x1 x0 1 xx0 2 1xx01.ykx1，得 (4k21)x

8、28kx0，(2)由 x224 y 1，設(shè) M(xM，yM)，N(xN，yN)，8k14k2xM，yM.4k2 14k218k18k22同理可得 x14k1k422， y 22.N4k114kN4k114k1 4k2k24yMyN88k4k2 14k2 14k2kMN 23k ，xMxN 8k8k 8k 3k 34k2 14k2直線 MN： yyMkMN(xxM)，1 4k2k218k即 y4k2 1 3k (x4k21)，即 yk218 k2 114k2k2153kx3kx .3 4k214k2135當(dāng)k 變化時(shí)，直線 MN 過定點(diǎn) (0， 3)2.(2018 合肥市質(zhì)檢 )如圖，在平面直角

9、坐標(biāo)系中，點(diǎn) F(1,0)，過直線 l：x 2 右側(cè)的動(dòng)點(diǎn) P 作 PAl 于點(diǎn) A， APF 的平分線交 x 軸于點(diǎn) B，|PA|2|BF|.(1)求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程；(2)過點(diǎn) F 的直線 q 交曲線 C 于 M，N，試問： x 軸正半軸上是否存在點(diǎn)E，直線EM，EN 分別交直線 l 于 R，S 兩點(diǎn)，使 RFS 為直角？若存在，求出點(diǎn)E 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由解析： (1)設(shè) P(x， y)，由平面幾何知識(shí)得|PF|2|PA| 2 ，x12y22即 2 ，|x2|化簡(jiǎn)得 x22y22，所以動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程為 x22y22(x2)(2)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)E(n,

10、0)(n0)存在，設(shè)直線 q 的方程為 xmy1，M(x1，y1)，N(x2， y2 )，R(2， y3)， S(2，y4)x22y22，聯(lián)立，得消去 x，xmy1，得 (m2 2)y2 2my 1 0，y1 y2 2m12， y1 y2 2，m 2m 222222mx1x2 (my11)(my21) m2y1y2m(y1y2) 1 2m 2m212，m 2m 2m 2x1 x2 m(y1 y2 )22m224，22m 2m2y1y32n y1由條件知，y3，x1 n 2nx1 n同理 y42n y2y3 y3， kRFx2 n21kSF y4.因?yàn)镽FS為直角，所以 y3y4 1，所以 (2

11、n)2 y1 y2 x1 x2n(x1 x2) n2，(2 n)2122m24n222 22 22n ，mmm所以 (n2 2)(m2 1) 0，n2，故滿足條件的點(diǎn)E 存在，其坐標(biāo)為 ( 2，0)3已知橢圓 C：9x2 y2m2(m0)，直線 l 不過原點(diǎn) O 且不平行于坐標(biāo)軸， l 與 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A， B，線段 AB 的中點(diǎn)為 M.(1)證明：直線 OM 的斜率與 l 的斜率的乘積為定值；m(2)若 l 過點(diǎn) ( 3 ， m)，延長線段 OM 與 C 交于點(diǎn) P，四邊形 OAPB 能否為平行四邊形？若能，求此時(shí) l 的斜率；若不能，說明理由解析： (1)證明：設(shè)直線 l： y kxb

12、(k0，b0)，A(x1， 1，2， 2，M(xM，y )B(xy )yM )2222222將 ykxb 代入 9xy m得(k 9)x 2kbxbm 0，故 xMx1x2 kb9b.2， yMkxMbk2 9k2 9yM9于是直線 OM 的斜率 kOM xM k，即 kOMk 9.所以直線 OM 的斜率與 l 的斜率的積是定值(2)四邊形 OAPB 能為平行四邊形m因?yàn)橹本€ l 過點(diǎn) ( 3，m)，所以 l 不過原點(diǎn)且與 C 有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k0，k 3.9由 (1)得 OM 的方程為 y kx.設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 xP，9k2m2y kx，2由得 xP，2229k2 819x ym

13、km.即 xP3 k2 9mm 3k將點(diǎn) (3 ， m)的坐標(biāo)代入 l 的方程得 b3，km k 3因此 xM.3 k2 9四邊形 OAPB 為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段 AB 與線段 OP 互相平分，即 xP2xM.kmk k3 m于是2，3 k293 k29解得 k1 47，k2 4 7.因?yàn)?ki0，ki 3，i 1,2，所以當(dāng) l 的斜率為 47或 4 7時(shí)，四邊形 OAPB 為平行四邊形221x2y24(2018 長沙市模擬 )已知 P( 3，2)在橢圓 C：ab 1(ab0)上，F(xiàn) 為右焦點(diǎn)，PF 垂直于 x 軸 A，B，C，D 為橢圓上四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 AC，BD 交于原點(diǎn) O.(1)

14、求橢圓 C 的方程；mn3131(2)判斷動(dòng)直線 l： 2x(m n)y2m2n(m，nR)與橢圓 C 的位置關(guān)系；y1y21(3)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)滿足 5，判斷 kABkBC 的值是否為定值，若是，OAOB請(qǐng)求出此定值，并求出四邊形ABCD 面積的最大值，否則請(qǐng)說明理由解析： (1)P(1x2y2313， )在橢圓 C：2 21(ab0)上，22 1.2aba4b又 F 為右焦點(diǎn)， PF 垂直于 x 軸， a2b2 3.x22由，解得 a2，b1，橢圓 C 的方程為4 y 1.mn3131(2)將動(dòng)直線 l 的方程2 x(mn)y2m2n(m，nR)，化為 (xy313

15、 12)m( xy2)n 0.22x 3 12y 2 ，m，nR，x 3 12y 2 ，x3，解得1y2，動(dòng)直線l 恒過點(diǎn) P，P 在橢圓 C 上，動(dòng)直線 l 與橢圓 C 的位置關(guān)系是相切或相交y1y21(3) 5，4y1y2x1x2.當(dāng)直線 AB 的斜率不存在或斜率為 0時(shí)，不滿足 4y1y2OAOB x1 x2 .當(dāng)直線 AB 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB 的方程為ykx m，ykxm，聯(lián)立，得x224 y 1，得 (14k2 )x28kmx4(m21) 0，(8km)24(4k21) 4(m21) 16(4k2m21)0(*) 8kmx1x22，14k4 m2 1x1x2 1 4k2 .4y1y2x1x2，y1y2 (kx1m)(kx2 m)k2 x1 x2km(x1 x2)m2，(4k21)x1 x2 4km(x1 x2) 4m20，(4k21)4 m218km2 4km24m20，14k14k1整理得 4k2 1，k .2A，B，C