高考數(shù)學必備—高考數(shù)學100個熱點問題—第12煉 復合函數(shù)零點問題

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家第12煉 復合函數(shù)零點問題一、基礎知識：1、復合函數(shù)定義：設，且函數(shù)的值域為定義域的子集，那么通過的聯(lián)系而得到自變量的函數(shù)，稱是的復合函數(shù)，記為 2、復合函數(shù)函數(shù)值計算的步驟：求函數(shù)值遵循“由內到外”的順序，一層層求出函數(shù)值。例如：已知，計算解： 3、已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求的解，則遵循“由外到內”的順序，一層層拆解直到求出的值。例如：已知，若，求解：令，則解得當，則當，則綜上所述：由上例可得，要想求出的根，則需要先將視為整體，先求出的值，再求對應的解，這種思路也用來解決復合函數(shù)零點問題，先回顧零點的定義：

2、4、函數(shù)的零點：設的定義域為，若存在，使得，則稱為的一個零點5、復合函數(shù)零點問題的特點：考慮關于的方程根的個數(shù)，在解此類問題時，要分為兩層來分析，第一層是解關于的方程，觀察有幾個的值使得等式成立；第二層是結合著第一層的值求出每一個被幾個對應，將的個數(shù)匯總后即為的根的個數(shù) 6、求解復合函數(shù)零點問題的技巧：（1）此類問題與函數(shù)圖象結合較為緊密，在處理問題的開始要作出的圖像（2）若已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，則先估計關于的方程中解的個數(shù)，再根據(jù)個數(shù)與的圖像特點，分配每個函數(shù)值被幾個所對應，從而確定的取值范圍，進而決定參數(shù)的范圍復合函數(shù)：二、典型例題例1：設定義域為的函數(shù) ，若關于的方程由3個不同的解，

3、則_思路：先作出的圖像如圖：觀察可發(fā)現(xiàn)對于任意的，滿足的的個數(shù)分別為2個（）和3個（），已知有3個解，從而可得必為 的根，而另一根為或者是負數(shù)。所以，可解得：，所以答案：5 例2：關于的方程的不相同實根的個數(shù)是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 8思路：可將視為一個整體，即，則方程變?yōu)榭山獾茫夯?，則只需作出的圖像，然后統(tǒng)計與與的交點總數(shù)即可，共有5個答案：C例3：已知函數(shù)，關于的方程（）恰有6個不同實數(shù)解，則的取值范圍是 思路：所解方程可視為，故考慮作出的圖像：， 則的圖像如圖，由圖像可知，若有6個不同實數(shù)解，則必有，所以，解得 答案：例4：已知定義在上的奇函數(shù)，當時，則關于的方程的實數(shù)

4、根個數(shù)為（ ）A. B. C. D. 思路：已知方程可解，得，只需統(tǒng)計與的交點個數(shù)即可。由奇函數(shù)可先做出的圖像，時，則的圖像只需將的圖像縱坐標縮為一半即可。正半軸圖像完成后可再利用奇函數(shù)的性質作出負半軸圖像。通過數(shù)形結合可得共有7個交點答案：B小煉有話說：在作圖的過程中，注意確定分段函數(shù)的邊界點屬于哪一段區(qū)間。例5：若函數(shù)有極值點，且，則關于的方程的不同實根的個數(shù)是（ ）A3 B4 C5 D6思路：由極值點可得：為 的兩根，觀察到方程與結構完全相同，所以可得的兩根為，其中，若，可判斷出是極大值點，是極小值點。且，所以與有兩個交點，而與有一個交點，共計3個；若，可判斷出是極小值點，是極大值點。且

5、，所以與有兩個交點，而與有一個交點，共計3個。綜上所述，共有3個交點答案：A例6：已知函數(shù)，若方程恰有七個不相同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：考慮通過圖像變換作出的圖像（如圖），因為最多只能解出2個，若要出七個根，則，所以，解得：答案：B例7：已知函數(shù)，若關于的方程恰有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：，分析的圖像以便于作圖，時，從而在單調遞增，在單調遞減，且當，所以正半軸為水平漸近線；當時，所以在單調遞減。由此作圖，從圖像可得，若恰有4個不等實根，則關于的方程中，從而將問題轉化為根分布問題，設，則的兩根，設，則有，解得答

6、案：C小煉有話說：本題是作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過分析函數(shù)的單調性和關鍵點來進行作圖，在作圖的過程中還要注意漸近線的細節(jié)，從而保證圖像的準確。例8：已知函數(shù)，則下列關于函數(shù)的零點個數(shù)判斷正確的是（ ）A. 當時，有4個零點；當時，有1個零點B. 當時，有3個零點；當時，有2個零點C. 無論為何值，均有2個零點D. 無論為何值，均有4個零點思路：所求函數(shù)的零點，即方程的解的個數(shù)，先作出的圖像，直線為過定點的一條直線，但需要對的符號進行分類討論。當時，圖像如圖所示，先拆外層可得，而有兩個對應的，也有兩個對應的，共計4個；當時，的圖像如圖所示，先拆外層可得，且只有一個滿足的，所以共一個零

7、點。結合選項，可判斷出A正確答案：A例9：已知函數(shù)，則方程（為正實數(shù)）的實數(shù)根最多有_個思路：先通過分析的性質以便于作圖，從而在單增，在單減，且，為分段函數(shù)，作出每段圖像即可，如圖所示，若要實數(shù)根最多，則要優(yōu)先選取能對應較多的情況，由圖像可得，當時，每個可對應3個。只需判斷中，能在取得的值的個數(shù)即可，觀察圖像可得，當時，可以有2個，從而能夠找到6個根，即最多的根的個數(shù)答案：6個例10：已知函數(shù)和在的圖像如下，給出下列四個命題：（1）方程有且只有6個根（2）方程有且只有3個根（3）方程有且只有5個根（4）方程有且只有4個根則正確命題的個數(shù)是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4思路：每個方程都可通過圖像先拆掉第一層，找到內層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計出的總數(shù)。（1）中可得，進而有2個對應的 ，有3個，有2個，總計7個，（1）錯誤；（2）中可得，進而有1個對應的，有3個，總計4個，（2）錯誤