2020_2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.5空間向量運算的坐標(biāo)表示學(xué)案含解析新人教A版選修2_1202103061137

1、31.5空間向量運算的坐標(biāo)表示內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.掌握空間向量運算的坐標(biāo)表示2.掌握空間向量平行與垂直的條件及其應(yīng)用3.掌握空間向量的模、夾角以及兩點間距離公式，能運用公式解決問題.應(yīng)用直觀想象提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第63頁基礎(chǔ)認(rèn)識知識點一空間向量線性運算的坐標(biāo)表示(1)已知向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，如何表示ab，ab，a，ab，|a|.提示：ab(a1b1，a2b2)ab(a1b1，a2b2)a(a1，a2)aba1b1a2b2，|a|.(2)如果ab(b0)，則a，b坐標(biāo)滿足什么關(guān)系，ab呢？提示：a1b2a2b10a1b1a2b20. 知識梳理空間向

2、量的坐標(biāo)運算法則設(shè)向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，R，那么向量運算向量表示坐標(biāo)表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)減法ab(a1b1，a2b2，a3b3)數(shù)乘a(a1，a2，a3)數(shù)量積aba1b1a2b2a3b3知識點二空間向量平行與垂直條件的坐標(biāo)表示知識梳理若向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則(1)ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；(2)abab0a1b1a2b2a3b30.知識點三空間向量的模、夾角、距離公式的坐標(biāo)表示知識梳理若向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則(1)|a|；(2)cosa，b；(3)若A(a1

3、，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則A，B兩點間的距離為dAB|.自我檢測1已知空間向量m(1，3,5)，n(2,2，4)，則有mn_，3mn_，(2m)(3n)_.答案：(1，1,1)(5，11,19)1682已知空間向量a(2，1)，b(，8，6)，若ab，則_，若ab，則_.答案：43已知a(，2，)，b(3，6,0)，則|a|_，a與b夾角的余弦值等于_答案：3授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第63頁探究一空間向量的坐標(biāo)運算教材P97練習(xí)1已知a(3,2,5)，b(1,5，1)求：(1)ab；(2)3ab；(3)6a；(4)ab.解析：(1)ab(2,7,4)(2)3ab(10,1,16)

4、(3)6a(18,12,30)(4)ab2.例1(1)已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，則(2a3b)(a2b)_.(2)已知ab(2，2)，ab(0，0)，則cosa，b等于()A.B.C. D.解析(1)法一：(2a3b)(a2b)(26，13，2)(8,4，8)244.法二：(2a3b)(a2b)2a2ab6b223622649244.(2)ab(2，2)，ab(0，0)，a(1，)，b(1,0，)，ab4，|a|，|b|2，cosa，b.故選C.答案(1)244(2)C方法技巧1.一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)2在確定了向量的坐標(biāo)后，使用空間向

5、量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式進行計算就可以了，但要熟練應(yīng)用下列有關(guān)乘法公式：(1)(ab)2a22abb2.(2)(ab)(ab)a2b2.跟蹤探究1.若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且滿足條件(ca)(2b)2，則x_.解析：(ca)(2b)2，2bc2ab2，即82(3x)2.x2.答案：2探究二空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示閱讀教材P96例6如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點，求證EFDA1.題型：用向量法證明垂直關(guān)系方法步驟：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點E，F(xiàn)，D，A1的坐標(biāo)；求出向量，的坐標(biāo)；求出0，因此EFD

6、A1.例2已知空間三點A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)a，b.(1)設(shè)向量c，試判斷2ab與c是否平行？(2)若kab與ka2b互相垂直，求k.解析(1)因為a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以2ab(3,2，2)，又c，所以2ab2c，所以(2ab)c.(2)因為a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)又因為(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或.方法技巧1.平行與垂直的判斷(1)應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線

7、(2)判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.2平行與垂直的應(yīng)用(1)適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)ab)，建立關(guān)于參數(shù)的方程(2)選擇坐標(biāo)形式，以達到簡化運算的目的跟蹤探究2.已知空間向量a(1,2，3)，b(2，4，x)，c(4，y,6)(1)若ma，且|m|2，求向量m；(2)若ac，求實數(shù)y的值；(3)若(2ab)(a3b)，求實數(shù)x的值解析：(1)由于ma，可設(shè)ma(1,2，3)(，2，3)因為|m|2，所以2，即22，解得.故m(，2，3)或m(，2，3)(2)因為ac，所以ac0，即42y180，解得y11.(3)由已知得2a

8、b(4,8，6x)，a3b(5，10，3x3)，而(2ab)(a3b)，所以，解得x6.探究三空間向量的夾角與長度的計算閱讀教材P96例5如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E1，F(xiàn)1分別是A1B1，C1D1的一個四等分點，求BE1與DF1所成角的余弦值題型：利用數(shù)量積求異面直線所成的角方法步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系(2)寫出和的坐標(biāo)，并求出及|，|.(3)由cos，從而求BE1與D1F所成角的余弦值例3棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(1)求證：EFCF；(2)求異面直線EF與CG所成角的余弦值；(3)求CE的長解析(1

9、)證明：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F(xiàn)，G.所以，.因為00，所以，即EFCF.(2)因為10，|，|，所以cos，.又因為異面直線所成角的范圍是(0，90，所以異面直線EF與CG所成角的余弦值為.(3)|CE|.方法技巧通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上，以便寫點的坐標(biāo)時便捷建立坐標(biāo)系后，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，然后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo)表示，把向量坐標(biāo)化，然后再利用向量的坐標(biāo)運算求解夾角和距離問題跟蹤探究3.如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱

10、)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N為A1A的中點(1)求BN的長；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值解析：如圖，以C為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.(1)依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|，線段BN的長為.(2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1,1，2)，(0，1，2)，(1)01(1)(2)(2)3.又|，|，cos，.又異面直線所成角為銳角或直角，故A1B與B1C所成角的余弦值為.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第64頁課后小結(jié)(1)空間向量的坐標(biāo)運算與平面向量的坐標(biāo)運算類似，只是多了對豎坐標(biāo)的運算(2)利用空間向量的坐標(biāo)運算可以判斷兩個向量的平行、垂直；可以求向量的模以及兩個向量的夾角(3)幾何中的平行和垂直可以利用向量進行判斷，利用直線的方向向量的關(guān)系可以證明直線的平行和垂直；距離、夾角問題可以借助于空間直角坐標(biāo)系利用數(shù)量積解決素養(yǎng)培優(yōu)1忽略向量的方向致誤在ABC中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，則ABC_.易錯分析解答的錯誤是忽視向量的方向，事實上，ABC的大小不是向量，的夾角，而是向量，的夾角考查直觀想象、邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng)自我糾正(2，4,0)，(1,3,0)，cos，.ABC135.答案：1352忽視兩個向量夾角為銳角(