100505正余弦定理(3).

1、 5.9正弦定理、余弦定理(3) 問(wèn)題對(duì)于一個(gè)直角三角形來(lái)說(shuō)，它的斜邊的平方等于兩 條直角邊的平方和.那么對(duì)于任意一個(gè)三角形來(lái)說(shuō)，是否可 以根據(jù)一個(gè)角和夾此角的兩邊，求出此角的對(duì)邊？ 如圖，在KBC中，48、BC、C4的長(zhǎng)分別為、a、b AC=ABBC AC2 =(AB + BC)2 = AB2 + 2AB 元 + 疋 2 2 =AB +21 AllClcos(18F-)+ BC =c2 2accosB -ha2 艮卩 b2 =c2 +a2 2accosB 同理可證a2 =b2 4-r2 2/ccosA c2 =a2 +b 2abcosC 余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減 去

2、這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 即 a： = /?2 + c 2bccos A b已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個(gè)角。 判斷三角形的形狀。 = c2 + a2 2ac cos B 令C = 9（尸，則 c2=a2h2 COS A = cos 3 = h2 +c2 cosC = a2 .2b 例1： AABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6, 5)、 /. cosA = 2 AB AC sin通竺再 a b 72 sin A sin B a = /3 , h = y/2 , B = 45 OOV4V18(P,力=60P或12CP (1)當(dāng) A = 65 卜j，c = 75。，c = Q|75=2s

3、in75。=七近 當(dāng)q=12(尸時(shí)，C = 1 5, C = 2sinl5= 62 fWV 丘一： b2 = c: 2accos B 2 = 3 + c2-273c = c2 - V6 c +1 = 0 、/6 十、，2p = c = 2或 又 a b = sin A sin B = 4 =60 或 120 2 x6 - y/2 c = 2 . a sin B /3 sin A = h 2 4 = 60。，C = 75, c = -2 (co) 2 /z_巧 或 4 = 120。，C = 15, c = -(v c a) 2 例4如圖，在四邊形ABCD中，CD = 43. ZACB = 75,

4、 ZBCD = 45, ZADC = 30, ZADB = 45,求 AB 的長(zhǎng). 求43的長(zhǎng)，在AASOt考慮-ZACT = 75 例4如圖，在四邊形ABCD中，CD =品, ZACB = 75。，ABCD = 45, ZADC = 30, ZA)B =45,求 AB的長(zhǎng). B 45 CD A 解：在AADOl1 / ZADC=3(T9 zS4CD=I20P . ZC4D = 30 AC=CD = y/3. 在ACBD中， ZCBD = 180。一(45。+ 75) = 60 由正弦定理BC= CP煤亍=返嚓亍 sino(尸sin6(r 在AABOli, AB2 = AC2 + BC2 - 2ACx SC xcosZBCA = 5 k、2 za/6 +V2x2 c (sin A + sin B)2 - sin2 C = 3sin Asin B 亠 sin2 A H-sin2 B 一 sin2 C = sin Asin B 由正弦定理宀=呂=宀=2R sin A sin B sin C = (旦尸(上)2 _ (丄)2 =丄._ 2R)2R)2R) 2R 2R = a1 4-/?2 c2 ab mQ C _ ab 丄 COSC