級導(dǎo)數(shù)的運算法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、 1.2.2（7）導(dǎo)數(shù)的運 算法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 法則1: ).()( )()(xgxfxgxf? )()()( )()()( 21 21 xuxuxu xuxuxu n n ? ? ? ? ? ? ? ?）推廣：（ 2 一、復(fù)習(xí)回顧一、復(fù)習(xí)回顧 (u(x)v(x) =u(x)v(x)+u(x)v(x) 法則2: 1、求導(dǎo)四則運算法則 特：(cu) =cu (c為常數(shù)) 推廣： ? ? ? ? ? ? ?nnn nn ffffffff ffffff 121321 2121 )( ? ? 法則三: ).0()( 2 ? ? ?v v vuvu v u 3 2.導(dǎo)數(shù)概念再分析 . )()( 00

2、 x xfxxf x y ? ? ? ? ? 1）、函數(shù) f(x)區(qū)間 (a,b) 有定義， x0 ? ( a,b) 如果x在x0有增量?x，相應(yīng)的y也 有增量?y=f(x0+?x)-f(x0)，那么從x0到x0+?x的 平均變化率為 0 ( )yf xx?我們就說函數(shù)在點 處可導(dǎo) 4 x xfxxf x y xx ? ? ? ? ? ? )()( limlim 00 00 若 x xfxxf x y xfy xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? )()( limlim)( 00 00 0 0 記為 2）、若f(x)在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)每一點都 可導(dǎo)，即x? (a,b)時，對應(yīng)著一個

3、確定的導(dǎo)數(shù) f(x)，這樣就把f(x) 叫做f(x)在開區(qū)間(a,b) 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，也簡稱為導(dǎo)數(shù)，記作 5 即 說明：定義中明確指出的是函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù) 說明：定義中明確指出的是函數(shù)對x0的導(dǎo)數(shù) 對于函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過變量u,y 可以表示成x的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f (u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù). 記作y=f(g(x) 函 數(shù) 內(nèi)層函數(shù) 外層函數(shù) 復(fù)合函數(shù) 定義域 值 域 u=g(x) y=f(u) y=f(g(x ) xA UD UD yB xA yB 二、新課教學(xué) 1、復(fù)合函數(shù)的概念 6 y (3x-2)2 (sinx) 2 (x+1)3 u = x u U

4、x u?u x 3x-2 U2 18x-12 2U 3 18x-12 sinx U2 2sinxcosx 2U cosx X+1 U3 3(x+1) 2 3U2 1 3(x+1) 2 2sinxcosx 例題例題 說明：1）、這幾個函數(shù)都是由最基本一次函 數(shù)、三次函數(shù)、三角函數(shù)復(fù)合而成 2）、一般地對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)有以下結(jié)論 7 2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù) ? ( )yfg x?的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)( )yf u?和 若?( )yf g x?，則?( )( )( )yf g xfg xg x ? ? ? ( )u g x?的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 xux yy u ? ?，即y對x的導(dǎo)數(shù) 等于y對u的導(dǎo)數(shù)與

5、u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積 分析論證 :已知函數(shù)( )yf?,( )g x?的導(dǎo)數(shù)分別 為( )f?,( )g x?,則復(fù)合函數(shù) ? ( )yf g x?的導(dǎo)數(shù)為： 0 lim x x y y x ? ? 又 0 lim y y ? ? ? ? ? , 0 lim x x x ? ? ? ? 8 又注意到 yy xx ? ? ? xx yy ? ? ? ? 即即?( )( )( ) x yf g xfg xg x ? ? ? ? 2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù) ? ( )yfg x?的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)( )yf u?和 若?( )yf g x?，則?( )( )( )yf g xfg xg x ? ? ?

6、( )u g x?的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 xux yy u ? ?，即y對x的導(dǎo)數(shù) 等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積 9 注：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的關(guān)鍵在于： (1) 將復(fù)合函數(shù)分解成若干個基本初等函數(shù)； (2) 由外及里分別求出這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并相乘； (3) 將所設(shè)中間變量還原. (4)法則還可以推廣到兩個以上的中間變量. ? ? ? ? ? ? xug ugfy )(xugf y ? 三、例題選講 例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): 5 )12()1(?xy 4 )31 ( 1 )2( x y ? ? 42 )sin1 ()3(xy? 10 （1）解:設(shè)y=u5,u=2x+1,則: 54 44 ()(21

7、)52 5(21)2 10(21) xuxux yyuuxu xx ? ? ? （2）解:設(shè)y=u-4,u=1-3x,則: 4 55 5 ()(1 3 ) 12 4( 3)12 (1 3 ) xuxux yyuux uu x ? ? ? ? ? ? ? 例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): 5 ) 12() 1 (?xy4 )31( 1 )2( x y ? ? 42 )sin1 ()3(xy? 11 （3）解:設(shè)y=u-4,u=1+v2,v=sinx,則: 說明:在對法則的運用熟練后,就不必再寫中 間步驟. 42 3 23 23 ()(1)(sin ) 42cos 4(1 sin)2sincos 4(1

8、sin) sin 2 . xuvxuvx yyuvuvx uvx xxx xx ? ? ? ? 例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): 5 ) 12() 1 (?xy4 )31( 1 )2( x y ? ? 42 )sin1 ()3(xy? 12 解解: ? 333 332 2 11 14(2)(2) 11 4(2) (61) yxxxx xx xxx xx ? ? ? ? 22sin(2) cos(2) 2 33 2 2sin(4) 3 yxx x ? ? ? ? ? 例例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): ? ? 342 1 1(2)2sin (2) 3 yxxyx x ? ? 13 解解: 例例2

9、:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): ? ? 5 3 1 x y x ? ? ? ? 22 4(23) 1yxx? ? ? 44 55 2 46 55 111 3()()() 5 115 1(1) 1 (1) 5 xxx y xxxx xx ? ? ? ? ? ? ? 1 2222 2 4(23) 1(23)(1)yxxxx? 11 222 22 23 2 22 1 4 (1)(23)(1)2 2 (23)6 41 11 yxxxxx xxxx xx xx ? ? ? ? ? 14 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): 答案: 22 2 32 21)21 ( 2 )2( )( 3 )2( ) 1 ( xx x

10、y cbxax cbxaxbax y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 2 7 4 2 1 9 2 5 )76( )43( 135)4() 9 2 5()( 2 1 )3( ? ? ? ? ? x x xxxxy 32 2 23 1 (1)(2) 12 34 (3)(4)() 67 yaxbxcy x x yxxxy x ? ? ? ? ? 15 練習(xí)練習(xí) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù) 的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成為 較簡單的函數(shù)，然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 求導(dǎo)； 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是： 分解求導(dǎo)相乘回代 三、小結(jié) ： （一）、關(guān)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)（一）、關(guān)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 即?( )( )( )yf g xfg xg x ? ? ? （3）若y=f(u),( )u g x?則 xux yy u ? ? 16 ?;xf, cxf. 01?則若 ?;nxxf,Nnxxf. nn1 1 2 ? ?則若 ?;xcosxf, xsinxf. ?則若3 ?;xsinxf