第三章機械構(gòu)件強度與剛度

1、第三章機械構(gòu)件強度與剛度 第三章 機械構(gòu)件的強度與剛度 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 第三章機械構(gòu)件的強度與剛度 第一節(jié)準(zhǔn) 備 知 識 第二節(jié)構(gòu)件軸向拉伸時的強度計算 第三節(jié)構(gòu)件剪切與擠壓時的強度計算 第四節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算與剛度計算 第五節(jié)構(gòu)件彎曲變形時的強度計算與剛度計算 第六節(jié)構(gòu)件彎曲組合變形時的強度計算 第七節(jié)構(gòu)件的疲勞強度 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 第一節(jié)準(zhǔn) 備 知 識 一、內(nèi)力、截面法 1.內(nèi)力 構(gòu)件在未受外力作用時，存在 著維系其質(zhì)點間一定的相對位置，使構(gòu) 件保持一定形狀的內(nèi)力內(nèi)力。這種內(nèi)力源于 構(gòu)成物質(zhì)的原子間結(jié)合力，不在工程力 學(xué)研究范圍之內(nèi)。 當(dāng)構(gòu)件受到外力作用時，構(gòu) 件內(nèi)

2、部相鄰質(zhì)點間的相對位置要發(fā)生變 化，因此構(gòu)件在原有內(nèi)力的基礎(chǔ)上，產(chǎn) 生“附加內(nèi)力”，它力圖使各質(zhì)點恢復(fù) 其原來的位置。工程力學(xué)中所研究的內(nèi) 力即此“附加內(nèi)力附加內(nèi)力”。 圖3-1截面法 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 2.截面法 通過截面，使構(gòu)件內(nèi)力顯示出來，以便計算其數(shù)值的方法，稱為截面法。 如圖3-1a所示的桿，在外力Fp作用下處于平衡狀態(tài)，力Fp的作用線與桿的軸線重合， 要求mn截面處的內(nèi)力，可用假想平面在該處將桿截開，分成左右兩段(圖3-1b)。右 段對左段的作用用合力FN表示，左段對右段的作用，用合力FN表示，F(xiàn)N和FN 就是該截面兩邊質(zhì)點相互作用內(nèi)力的合力。根據(jù)作用力與反作用力定律，它們

3、大小相 等，方向相反。因此，在計算內(nèi)力時，只需截取截面兩側(cè)的任一段來研究即可。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、桿件的基本變形 機器或結(jié)構(gòu)物中所采用的構(gòu)件形狀是多種多樣的，工程力學(xué)研究的對象是桿件， 即其縱向(長度方向)的尺寸比橫向尺寸要大得多的構(gòu)件。當(dāng)外力以不同的方式作用于 構(gòu)件時，將使它產(chǎn)生不同形式的變形。具體變形形式雖各式各樣，但基本變形形式卻 只有四種，即拉伸與壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲。 以后各節(jié)先分別研究桿件四種基本變形的強度和剛度計算，然后再討論由幾 種基本變形組合在一起的組合變形。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 第二節(jié)構(gòu)件軸向拉伸時的強度計算 一、軸向拉伸與壓縮的概念 圖3-2拉伸與壓縮

4、受力桿件工程實際中，承受拉伸與壓縮的桿件是很常 見的。例如，緊固螺栓(圖3-2a)、起重機的吊索及其桁架中的桿(圖3-2c)是承受拉伸 的桿件；油壓千斤頂?shù)幕钊麠U、如圖3-2c所示的支撐桿2是承受壓縮的桿件。這些桿件 結(jié)構(gòu)各異，加載方式不同，但它們的共同特點是，作用于桿件上外力的作用線都與桿 件軸線重合，桿件的變形是沿軸線方向伸長或縮短。 圖3-2拉伸與壓縮受力桿件 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、軸向拉伸與壓縮時橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力 1.軸力 為了對拉壓桿進行強度計算，首先分析內(nèi)力。設(shè)拉桿在外力Fp作用下處 于平衡狀態(tài)(圖3-3a)。為了顯示拉桿橫截面上的內(nèi)力，運用截面法，將桿沿任一截 面mm

5、假想分為兩段(圖3-3b)。因拉桿的外力均與桿軸線重合，由內(nèi)、外力平衡條 件可知，其任一截面上內(nèi)力的作用線也必與桿的軸線重合，即垂直于桿的橫截面， 并通過截面形心。這種內(nèi)力稱為軸力，常用符號FN表示。 圖3-3截面法 軸力FN的大小由左段(或右段)的平衡方程 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 2.橫截面上的應(yīng)力 僅知道拉(壓)桿的軸力還無法判斷構(gòu)件的強度。因為力FN雖大，拉(壓)桿 如果很粗，則不一定會被破壞；反之若FN雖不大，但拉(壓)桿很細，卻有被破壞的可 能。因此，桿件是否破壞，不取決于橫截面上內(nèi)力的大小，而取決于單位面積上內(nèi)力 的大小。單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力，其單位為N/m2，稱為帕斯卡，符

6、號為Pa。 之間所有縱向纖維的伸長變形是相同的。因此，可以推想它們的受力是相同的， 所以在橫截面上各點的內(nèi)力也相同。若以A表示橫截面的面積，以表示橫截面上的應(yīng) 力，則應(yīng)力的大小為 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 三、材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能 圖3-4拉伸試件 分析構(gòu)件的強度時，除計算構(gòu)件在外力作用下表現(xiàn)出來的應(yīng)力外，還應(yīng)了解材料 的力學(xué)性能。所謂材料的力學(xué)性能，圖3-4拉伸試件是指材料在外力作用下表現(xiàn)出來 的變形和破壞方面的特性，需由實驗來確定。在室溫下，以緩慢平穩(wěn)的方式加載進行 實驗，稱為室溫拉伸試驗，它是測定材料力學(xué)性能的基本實驗。為了便于比較不同材 料的試驗結(jié)果，試件應(yīng)按國家標(biāo)準(zhǔn)(GB/T

7、2281987)加工成標(biāo)準(zhǔn)試件(圖3-4)。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 三、材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能 圖3-5低碳鋼拉伸試驗曲線(-曲線) (一) 低碳鋼在拉伸時的力學(xué)性能 低碳鋼是指碳的質(zhì)量分數(shù)在0.3%以下的碳素鋼，它在抗拉試驗中表現(xiàn)出來的力 學(xué)性能最典型。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 1.彈性階段 如圖3-5所示的Ob段為彈性階段。 Oa段為直線段，它表明應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即 Oa段的最高點a所對應(yīng)的應(yīng)力p稱為比例極限。顯然，只有應(yīng)力低于比例極限 時，應(yīng)力才與應(yīng)變成正比，材料才服從胡克定律。 由a點到b點，應(yīng)力和應(yīng)變不再是直線關(guān)系，但由于低碳鋼a、b兩點非常接近， 一般可不作嚴(yán)格區(qū)分。

8、在Ob段內(nèi)，若拉力解除，變形可全部消失，這種變形稱為彈 性變形。 若以=FN/A，=l/l代入式(3-1)，可得胡克定律的另一種表達形式 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 2.屈服階段 如圖3-5所示的bc段為屈服階段。過b點材料出現(xiàn)塑性變形，-曲線上出 現(xiàn)一段沿坐標(biāo)方向上、下微微波動的鋸齒形線段，這說明應(yīng)力變化不大，而變形卻 迅速增長，材料好像失去了對變形的抵抗能力，這種現(xiàn)象稱為材料的屈服材料的屈服。 3.強化階段 圖3-5所示ce段為強化階段。屈服階段過后，要增加變形就必須增加拉力， 材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱為材料的強化。強化階段中的最高點e所對 應(yīng)的應(yīng)力b是材料承受的最高應(yīng)力，稱為

9、抗拉強度。它是衡量材料強度的另一重要指 標(biāo)。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 三、材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能 圖3-6縮頸現(xiàn)象 4.局部變形階段 圖3-6縮頸現(xiàn)象到達抗拉強度后，試件在某一局部范圍內(nèi)橫向尺寸突然縮小， 形成縮頸現(xiàn)象(圖3-6)?？s頸部分的急劇變形引起試件迅速伸長；縮頸部位截面面積快 速減小，試件承受的拉力明顯下降，到f點試件被拉斷。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 5.斷后伸長率和斷面收縮率 材料的塑性可用試件斷裂后遺留下來的塑性變形來表示。一般有下面兩種表示方法： (1) 斷后伸長率 式中l(wèi)試件標(biāo)距長度； l1試件拉斷后的標(biāo)距長度。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 (2) 斷面收縮率 式中A

10、試驗前試件的橫截面面積； A1試件斷口處最小橫截面面積。 、大，說明材料斷裂時產(chǎn)生的塑性變形大，塑性好。工程上通常將5 %的材料稱為塑性材料，如鋼、銅、鋁等；5%的材料稱為脆性材料，如鑄鐵、玻璃、 陶瓷等。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 三、材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能 圖3-7其他材料拉伸試驗曲線(-曲線) 1.屈服強度 圖3-7a所示為幾種塑性材料拉伸時的-曲線，這些塑性材料沒有明顯屈 服階段，工程上常采用條件屈服強度0.2作為其強度指標(biāo)。0.2是產(chǎn)生0.2%塑性應(yīng) 變的應(yīng)力值(圖3-7b)。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 2.鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能 鑄鐵是工程上廣泛應(yīng)用的脆性材料，它在拉伸時的-曲

11、線是一段微彎的 曲線(圖3-7c)，它表明應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系不符合胡克定律，但在應(yīng)力較小時，- 曲線很接近于直線，故可近似地認為服從胡克定律。 由圖還可以看出，鑄鐵在較小的應(yīng)力下就被突然地拉斷，沒有屈服和縮頸 現(xiàn)象，拉斷前變形很小，斷后伸長率通常只有0.5%0.6%。 鑄鐵沒有屈服現(xiàn)象，拉斷時的抗拉強度b是衡量強度的惟一指標(biāo)。一般說， 脆性材料的抗拉強度都比較低。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 三、材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能 圖3-8低碳鋼壓縮時的-曲線 低碳鋼壓縮時的-曲線(圖3-8)與其拉伸的 -曲線(圖3-8虛線所示)相比，在屈服階段以前， 兩曲線基本重合。這說明壓縮時的比例極限p、 彈性模

12、量E以及屈服強度與拉伸時基本相同。屈服 階段以后，試件越壓越扁，曲線不斷上升，無法測 出強度極限。因此，對于低碳鋼一般不做壓縮實驗。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 三、材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能 圖3-9鑄鐵壓縮時的-曲線 鑄鐵壓縮時的-曲線如圖3-9 所示。試件在較小的變形下突然破壞， 破壞斷面的法線與軸線的夾角大致成4 555。比較圖3-7c與圖3-9可知， 鑄鐵的抗壓強度比抗拉強度要高出4 5倍。其他脆性材料也具有這樣的性質(zhì)。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 四、構(gòu)件拉伸與壓縮時的強度計算 (一) 許用應(yīng)力 由前文所述已經(jīng)知道，機器或工程結(jié)構(gòu)中的每一構(gòu)件，都必須保證安全可靠 的工作，如果構(gòu)件發(fā)生

13、了過大的塑性變形或斷裂，則將失去它正常工作的能力，這些現(xiàn) 象可統(tǒng)稱為失效失效。材料失效時的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力極限應(yīng)力。 對于塑性材料，在材料屈服時就要發(fā)生過大的塑性變形而失效，所以屈服強 度是它的極限應(yīng)力；對于脆性材料，它在變形很小時就發(fā)生斷裂而失效，所以抗拉強度 是它的極限應(yīng)。 塑性材料在拉伸、壓縮時的屈服強度相同，故拉、壓許用應(yīng)力同為 式中s塑性材料的屈服強度，單位為MPa； S安全因數(shù)。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 (二) 強度條件 為了保證拉、壓構(gòu)件具有足夠的強度，必須使其最大工作應(yīng)力max小于或等于 材料在拉伸(壓縮)時的許用應(yīng)力，即 (3-3)稱為拉(壓)構(gòu)件的強度條件，是拉(壓)構(gòu)件

14、強度計算的依據(jù)。產(chǎn)生max的 截面稱為危險截面，式中FN和A分別為危險截面的軸力和橫截面面積。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 根據(jù)強度條件，可以解決三個方面的問題： 1) 強度校核。若已知構(gòu)件所承擔(dān)的載荷、構(gòu)件的尺寸及材料的許用應(yīng)力， 可按式(3-3)檢查構(gòu)件是否滿足強度要求。若式(3-3)成立，說明構(gòu)件強度足夠，否則 強度不夠。 2) 設(shè)計截面。若已知構(gòu)件所承擔(dān)的載荷及材料的許用應(yīng)力，可將式(3-3) 改寫成AFN/，由此確定構(gòu)件所需要的橫截面面積，然后根據(jù)所需截面形狀設(shè) 計截面尺寸。 3) 確定許可載荷。若已知構(gòu)件的尺寸和材料的許用應(yīng)力，可將式(3-3)改 寫成FNA，由此確定構(gòu)件所能承受的最

15、大軸力，再根據(jù)內(nèi)外力的靜力關(guān)系，確 定結(jié)構(gòu)所能承受的許可載荷。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 四、構(gòu)件拉伸與壓縮時的強度計算 圖3-10例3-1圖 例3-1一臺總重Fp=1.2kN的電動機，采用M8吊環(huán)螺釘(外徑為8mm，螺紋根部直徑為6.4mm)， 如圖3-10所示。其材料為Q215鋼，許用應(yīng)力=40MPa。試校核吊環(huán)螺桿的強度。 解吊環(huán)螺桿部分的軸力FN=Fp=1.2103N，螺桿橫截面上的應(yīng)力是 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 四、構(gòu)件拉伸與壓縮時的強度計算 圖3-11例3-2圖 例3-2三角架由AB與BC兩桿鉸鏈連接而成(圖3-11a)，兩桿的截面均為圓形，材料為鋼，許 用應(yīng)力=58MPa。設(shè)作

16、用于節(jié)點B的載荷Fp=20kN，試確定兩桿的直 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 四、構(gòu)件拉伸與壓縮時的強度計算 圖3-12例3-3圖 例3-3剛性板AB由桿AC和BD吊起(圖3-12a)，已知AC桿的橫截面面積A1=10cm2，=160 MPa，BD桿的橫截面面積A2=20cm2，=60MPa，試確定該結(jié)構(gòu)的許可載荷Fp。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 第三節(jié)構(gòu)件剪切與擠壓時的強度計算 一、剪切與擠壓的概念及受力分析 二、剪切與擠壓的實用計算 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 一、剪切與擠壓的概念及受力分析 圖3-13鉸制孔用螺栓的擠壓與剪切受載 用鉸制孔用螺栓聯(lián)接鋼板如圖3-13a所示，在外力Fp的作用下，螺

17、栓將沿截面mm 發(fā)生相對錯動。如外力Fp不斷增大，將使螺栓沿mm處剪斷(圖3-13b)。產(chǎn)生相對錯動 的截面(mm)稱為剪切面。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、剪切與擠壓的實用計算 (一) 剪切強度計算 以如圖3-13a所示螺栓為例，運用截面法假想地將螺栓沿剪切面mm切開，任 取一段為研究對象(圖3-13c)，由平衡條件可知，剪切面上必作用有與Fp平行且大小相 等、方向相反的切向內(nèi)力，此內(nèi)力稱為剪力，常用符號FQ表示。 剪力FQ在剪切面mm上的分布是比較復(fù)雜的，在工程計算中，常用簡化的計 算方法，稱為實用計算法。這種方法認為，剪力FQ是均勻地分布在剪切面A上的，其應(yīng) 力(單位面積上的內(nèi)力)用字

18、母“”表示，“”稱為切應(yīng)力，單位是Pa。 為了保證剪切變形構(gòu)件安全可靠的工作，剪切強度條件為 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 (二) 擠壓強度計算 如圖3-13d所示，從理論上講，擠壓面上擠壓力的分布是不均勻的，最大值 在中間。為了簡化計算，假定擠壓力是均勻分布在擠壓面上的。 圖3-14鍵的擠壓受載設(shè)擠壓力為Fpjy，擠壓面面積為Ajy，以jy表示擠 壓應(yīng)力(擠壓面上單位面積受力)，則擠壓強度條件為 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、剪切與擠壓的實用計算 圖3-14鍵的擠壓受載 (三) 擠壓面面積的計算 若擠壓面為平面，則擠壓面面積為接觸面面積。例如，鍵聯(lián)接(圖3-14)，Aj y=hl/2。若接觸面為

19、半圓柱面，例如，鉚釘、螺栓、銷等圓柱形聯(lián)接件，其擠壓面面 積為半圓柱面的正投影面(圖3-13e)，Ajy=dt，d為直徑，t為螺釘與孔的接觸長度。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、剪切與擠壓的實用計算 例3-4某車床電動機軸與帶輪用平鍵聯(lián)接(圖3-15a)，已知軸的直徑d=35mm，鍵的尺寸bh l=10mm8mm60mm(圖3-15b)，傳遞的轉(zhuǎn)矩T=42N m。鍵的材料為45鋼，許用切應(yīng)力 =60MPa，許用擠壓應(yīng)力jy=100MPa，帶輪材料為鑄鐵，許用擠壓應(yīng)力jy= 53MPa。試校核鍵聯(lián)接的強度。 圖3-15鍵的剪切受載 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、剪切與擠壓的實用計算 圖3-16鉸

20、制孔用螺栓的受載 例3-5兩塊鋼板用螺栓聯(lián)接(圖3-16a)，每塊鋼板厚度t=10mm，螺栓直徑d=16mm，許用切應(yīng) 力=60MPa，鋼板與螺栓的許用擠壓應(yīng)力jy=180MPa，求螺栓所能承受的許可載 荷F 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 第四節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算與剛度計算 一、扭轉(zhuǎn)的概念 二、扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力扭矩、扭矩圖 三、圓軸橫截面上的切應(yīng)力 四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 五、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算與剛度計算 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 一、扭轉(zhuǎn)的概念 圖3-17構(gòu)件受扭轉(zhuǎn)的實例 在工程實際中，有很多構(gòu)件是承受扭轉(zhuǎn)作用而傳遞動力的。例如，鉆床鉆孔用的 鉆頭(圖3-17a)、汽車轉(zhuǎn)向盤(圖3-17b

21、)，以及傳動軸AB(圖3-17c)等。由這些實例可知， 欲使構(gòu)件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，在構(gòu)件的兩端所受的力應(yīng)構(gòu)成力偶，這對力偶的大小相等、轉(zhuǎn)向 相反，并在垂直于構(gòu)件軸線的平面內(nèi)。構(gòu)件扭轉(zhuǎn)變形時，構(gòu)件任意兩橫截面皆繞軸線 產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動，這種相對轉(zhuǎn)動形成的角位移稱為扭轉(zhuǎn)角，并以符號表示(圖3-17d)。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力扭矩、扭矩圖 圖3-18扭矩圖 (一) 外力偶矩的計算 計算軸的內(nèi)力，必須已知作用于軸上的外力偶矩。但工程實際中往往不能直 接知道外力偶矩的大小，而是知道軸傳遞的功率P和軸的轉(zhuǎn)速n，這時外力偶矩可按下列 公式計算 式中Me外力偶矩，單位為Nm； P軸傳遞的功率

22、，單位為kW； n軸的轉(zhuǎn)速，單位為r/min。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 (二) 扭矩 如圖3-18a所示，圓軸在一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶矩Me的作用下產(chǎn) 生扭轉(zhuǎn)變形，此時橫截面上就產(chǎn)生了抵抗變形和破壞的內(nèi)力。用截面法可以把它顯示出 來，即用假想截面nn將軸截開，取左段為研究對象(圖3-18b)。從平衡關(guān)系不難看出， 扭轉(zhuǎn)時橫截面上內(nèi)力合成的結(jié)果必定是一個力偶，這個內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用T表示。 由靜力平衡條件可求出截面上的扭矩 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力扭矩、扭矩圖 圖3-19扭矩正負號確定 如取右段為研究對象(圖3- 18c)，同樣也可求得T。由于截 面兩邊的力

23、偶互為作用和反作 用關(guān)系，因此，取截面左段或 右段為研究對象所求的扭矩， 在數(shù)值上是相等的，而轉(zhuǎn)向是 相反的。為了使從左段和右段 所求得的扭矩在符號上一致， 規(guī)定采用右手螺旋法則來判定 扭矩的正負號。如圖3-19所示， 如果以右手四指表示扭矩的轉(zhuǎn) 向，則拇指的指向離開截面時 扭矩為正，反之為負。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 (三) 扭矩圖 為了形象地表示各截面扭矩的大小和正負，以便分析危險截面，常需畫出 扭矩隨截面位置變化的函數(shù)圖像，這種圖像稱為扭矩圖。其畫法與軸力圖類同，取平 行于軸線的橫坐標(biāo)x表示各截面位置，垂直于軸線的縱坐標(biāo)T表示相應(yīng)截面上的扭矩， 正扭矩畫在x軸的上方，負扭矩畫在x軸的下

24、方(圖3-18d)。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力扭矩、扭矩圖 圖3-20傳動軸的扭矩 例3-6傳動軸(圖3-20a)的轉(zhuǎn)速n=200r/min，功率由A輪輸入，B、C兩輪輸出。已知PA=40kW， PB=25kW，PC=15kW。要求：畫出傳動軸的扭矩圖；確定最大扭矩Tmax的值；若將A輪 與B輪的位置對調(diào)(圖3-20b)，試分析扭矩圖是否有變化?如何變化?最大扭矩Tmax值為多少? 兩種不同的載荷分布形式哪一種較為合理? 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 三、圓軸橫截面上的切應(yīng)力 圖3-21圓軸的扭轉(zhuǎn)變形 (一) 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上應(yīng)力分布規(guī)律 為了研究應(yīng)力，先來觀察扭轉(zhuǎn)實驗

25、的現(xiàn)象。取如圖3-21a所示的圓軸，在其 表面上畫出圓周線和縱向線，形成矩形網(wǎng)格。在扭轉(zhuǎn)小變形的情況下(圖3-21b)，可以 觀察到： 1) 各縱向線條傾斜了同一角度R，表面上的矩形網(wǎng)格變成了菱形(圖3-21b)。 2) 各圓周線均繞軸線轉(zhuǎn)過一個角度，而圓周線的形狀、大小以及圓周線間的距離均未 改變(圖3-21b)。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 三、圓軸橫截面上的切應(yīng)力 圖3-22圓軸扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力 切應(yīng)力在橫截面上究竟是怎樣分布的呢?如圖3-22所示，圓軸在扭轉(zhuǎn)時轉(zhuǎn)過了 角，截面上的C點和K點分別轉(zhuǎn)到了C點和K點，由圖3-22可得：CC=max，=l ，KK=l，所以 式中，為圓軸扭轉(zhuǎn)時單位長

26、度內(nèi)的角變形，稱為切應(yīng)變，即相 對角位移。max和分別為C點和K 點的半徑。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 三、圓軸橫截面上的切應(yīng)力 圖3-23實心圓軸受扭時切應(yīng)力的分布 式(3-8)稱為剪切胡克定律，式中G稱為切變模量，其單位為Pa，常用單位為GPa。 將max=G和=G代入式(a)，得 式(b)說明了圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律：截面上各點切應(yīng)力的大小與 該點到圓心的距離成正比，軸圓周邊緣的切應(yīng)力最大，圓心處的切應(yīng)力為零，如圖3- 23、圖3-24所示。 圖3-24空心圓軸受扭時切應(yīng)力的分布 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 (二) 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算 1.應(yīng)力公式 當(dāng)圓軸某橫截面上的扭矩為T、截面

27、半徑為R時，截面上距中心(軸心)為 處的切應(yīng)力的計算公式為 式中，Ip是截面的極慣性矩(截面二次極矩)，是只與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何 量，其單位為m4或mm4。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 式中Wn稱為圓軸的抗扭截面系數(shù)，也是與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，其單位 為m3或mm3。 式(3-11)為圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面的最大切應(yīng)力計算公式，是式(3-9)的特殊形 式。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 三、圓軸橫截面上的切應(yīng)力 圖3-25圓軸的截面 2.圓軸截面的極慣性矩Ip和抗扭截面系數(shù)Wn 工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸常采用實心圓軸和空心圓軸兩種形式，其橫截面如圖3-25所 示。它們的極慣性矩Ip和抗扭截面系數(shù)

28、Wn的計算公式分別為 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 (1) 實心圓軸 式中D軸的直徑，單位為m或mm。 式中D外徑； d孔徑； =d/D。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 扭轉(zhuǎn)變形以兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角來度量。通過圓軸扭轉(zhuǎn)試驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)最大扭 轉(zhuǎn)切應(yīng)力max不超過材料的剪切比例極限p時，圓軸的扭轉(zhuǎn)角(單位為rad)總是正 比于扭矩T和軸的長度l，反比于截面的極慣性矩Ip及材料的切變模量G，即 1) GIp越大，則越小，它反映了截面抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為抗扭剛度。 2) 扭轉(zhuǎn)角的大小與軸長l有關(guān)。為了消除l影響，將式(3-16)兩端除以l，得單位長 度扭轉(zhuǎn)角，并以符號表示，其單位為r

29、ad/m。但在工程中常用(/m)表示，故用1ra d=180/代入運算得 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 五、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算與剛度計算 圖3-26傳動軸 為了保證扭轉(zhuǎn)圓軸安全的工作，應(yīng)限制軸上危險截面的最大工作切應(yīng)力不超過材 料的許用切應(yīng)力，即 例3-7傳動軸如圖3-26所示。已知齒輪1和3的輸出功率分別為0.76kW和2.9kW，軸的 轉(zhuǎn)速為180r/min，材料為45鋼，G=80GPa，=40MPa，=0.25/m，試確定 該傳動軸的直徑d。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 五、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算與剛度計算 例3-8汽車傳動軸AB(圖3-27)由無縫鋼管制成，管的外徑D=90mm，內(nèi)徑d=85

30、mm，傳遞的最 大轉(zhuǎn)矩為1500Nm，=60MPa。試校核軸的強度。若保持最大切應(yīng)力不變，將傳動軸改 用實心軸，試比較兩者的重 圖3-27汽車傳動軸 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 第五節(jié)構(gòu)件彎曲變形時的強度計算與剛度計算 一、平面彎曲的概念 二、梁的計算簡圖 三、梁橫截面上的內(nèi)力剪力和彎矩 四、彎矩圖 五、平面彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力 六、彎曲強度計算 七、彎曲剛度簡介 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 一、平面彎曲的概念 圖3-28構(gòu)件的彎曲 工程實際中經(jīng)常會遇到像火車輪軸(圖3-28a)、軋鋼機軋輥(圖3-28c)這樣的構(gòu)件， 它們的受力特點和變形特點是：作用在桿件上的外力垂直于桿件軸線，使原為直線的軸

31、 線變形后成為曲線，這種形式的變形稱為彎曲變形。以彎曲變形為主的桿件習(xí)慣上稱為 梁。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 一、平面彎曲的概念 圖3-29有對稱軸的梁 工程中多數(shù)的梁其橫截面皆有一對稱軸，通過對稱軸和梁的軸線可作一縱向?qū)ΨQ 面(圖3-29)。若梁上的所有載荷都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁變形時軸線x也在縱向?qū)ΨQ 面內(nèi)彎成一曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。本節(jié)只討論平面彎曲問題。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、梁的計算簡圖 圖3-30鉸鏈支座 梁的支座情況與載荷的作用形式是復(fù)雜多樣的，為了便于分析計算，必須進行簡 化。簡化時，首先將梁用其軸線表示(圖3-28d、e、f)，然后對支座和載荷進行簡化。 (

32、一) 梁支座的簡化 按照支座對梁的約束情況，通常將支座簡化為下列幾種形式： 1.鉸鏈支座 若支座處梁的橫截面可稍稍偏轉(zhuǎn)(繞垂直于載荷作用面的軸偏轉(zhuǎn))，則在載荷作用 面內(nèi)該支座可簡化為鉸鏈支座。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、梁的計算簡圖 圖3-31固定端 2.固定端 凡是使梁的某截面既不能轉(zhuǎn)動又不能移動的支座，均可簡化為固定端。如 (l/d)3的長軸承(圖3-31a)、夾緊工件的三爪自定心卡盤(圖3-31b)、車刀桿(圖3-28b) 均可簡化為固定端。固定端的簡化形式與約束力如圖3-31c、d 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、梁的計算簡圖 圖3-32集中力 作用在梁上的載荷，通常可簡化為下列三種

33、形式： 1.集中力 當(dāng)力的作用范圍相對梁的長度很小時，可簡化為作用于一點的集中力。譬如， 齒輪的徑向力Fr與軸承反力F(圖3-32a)，均沿齒寬、軸承寬分布作用于軸上(圖3-32b)。 當(dāng)它們的作用寬度相對于軸的長度較小時，可簡化為作用于輪寬(軸承寬)中點的集中 力(圖3-32c)。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 二、梁的計算簡圖 圖3-33集中力偶 2.集中力偶 圖3-33集中力偶當(dāng)力偶作用的范圍遠遠小于梁的長度時，可簡化為集中作 用于某一截面的集中力偶。例如，齒輪軸向力Fa(圖3-33a)傳到軸上而產(chǎn)生的力偶，分 布在齒輪寬度CD上(圖3-33b)，因CD較短，可簡化為作用于CD中點截面上的集

34、中力 偶(圖3-33c)，其力偶矩為MC=FaD/2。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 3.分布載荷 載荷連續(xù)分布在梁的全長或部分長度上的“分散力”，稱為分布載荷。分布 載荷的大小與分布情況，用單位長度上的力q表示(圖3-28f)，稱為載荷集度，其單位 為N/m或kN/m。均質(zhì)等截面梁的自重，是均勻分布的分布載荷。均勻分布的分布載荷簡 稱為均布載荷。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 三、梁橫截面上的內(nèi)力剪力和彎矩 圖3-34梁截面上的內(nèi)力 分析梁橫截面上的內(nèi)力仍用截面法。設(shè)AB梁(圖3-34a)跨度為l，在C點作用集中 力Fp，取A點為坐標(biāo)原點，坐標(biāo)軸x、y，其方向如圖3-34a所示。 第三章機械構(gòu)件強度

35、與剛度 根據(jù)靜力平衡方程，求出支座反力FA=Fpb/l和FB=Fpa/l。為了分析距原點為x的橫 截面nn上的內(nèi)力，用截面法沿橫截面nn將梁分為左、右兩段(圖3-34b、c)。由于 整個梁是平衡的，它的任一部分也應(yīng)處于平衡狀態(tài)。若以左段為研究對象，由于外力F A有使左段上移和順時針轉(zhuǎn)動的作用，因此，在橫截面nn上必有垂直向下的內(nèi)力FQ和 逆時針轉(zhuǎn)動的內(nèi)力偶矩M與之平衡，如圖3-34b所示。由靜力平衡方程即可求出FQ與M之 值 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 三、梁橫截面上的內(nèi)力剪力和彎矩 圖3-35梁受彎時彎矩的符號 為了使同一截面兩邊的彎矩在正負符號上統(tǒng)一起來，按它的變形情況作如下規(guī)定： 梁變形后

36、，若凹面向上，截面上的彎矩為正；反之，若凹面向下，截面上的彎矩為負， 如圖3-35所示。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 四、彎矩圖 圖3-36受集中力作用梁的彎矩圖 在進行梁的強度計算時，為了確定危險截面(往往是最大彎矩值所在的位置)，需 要求出梁各橫截面上的彎矩沿軸線變化的規(guī)律。由式(b)可知，當(dāng)表示截面位置的x改 變時，彎矩將隨之改變，因此彎矩是x的函數(shù)，其一般表達式為 例3-9橋式起重機橫梁長l，起吊量為Fp(圖3-36a)， 不計梁的自重，試畫其彎矩圖。 例3-10齒輪軸受集中力偶作用(圖3-37a)，已知 MC、a、b、l，試畫其彎矩圖。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 四、彎矩圖 圖3-38

37、受均布載荷梁的彎矩圖 例3-11簡支梁自重為均布載荷，載荷集度為q，梁長l(圖3-38a)，試畫其彎矩圖。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 四、彎矩圖 圖3-38受均布載荷梁的彎矩圖 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 四、彎矩圖 圖3-39受集中力和集中力偶 作用簡支梁的彎矩圖 例3-12試作簡支梁(圖3-39a)受集中力Fp和集中力偶M=Fpl作用時的彎矩圖。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 五、平面彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力 圖3-40梁彎曲時的中性層假設(shè) 一) 平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力的分 布規(guī)律 圖3-40梁彎曲時的中性層假 設(shè)在一般情況下，梁橫截面上既有彎矩又 有剪力，這樣的彎曲稱為橫力彎曲。如果 梁橫

38、截面上只有彎矩而無剪力，則稱為純 彎曲。試驗發(fā)現(xiàn)，具有縱向?qū)ΨQ平面的梁 作平面純彎曲時，表面上畫出的各橫向線 仍保持直線并處處與縱向線正交，但發(fā)生 了相對轉(zhuǎn)動。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 綜上所述，平面彎曲時，梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律是：橫截面上各點的正應(yīng) 力與該點到中性軸z的距離y成正比(圖3-41)，沿截面寬度方向(離中性軸距離相同的 各點)正應(yīng)力相同；沿截面高度方向正應(yīng)力按直線規(guī)律變化，中性軸上各點(y=0處)正 應(yīng)力為零，離中性軸最遠的點正應(yīng)力最大，故有 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 五、平面彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力 圖3-41梁截面上的彎曲應(yīng)力 (二) 彎曲正應(yīng)力的計算 1.應(yīng)力公式 當(dāng)

39、梁橫截面上的彎矩為M時(圖3-41)， 該截面距中性軸z距離為y的點的正應(yīng)力計算 公式為 式中，Iz是橫截面對z軸的慣性矩，是只與 截面的形狀、尺寸有關(guān)的幾何量，其單位為m4 或mm4。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 五、平面彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力 表3-1常用截面的I、W計算公式 2.梁橫截面的慣性矩I和抗彎截面系數(shù)W 常用截面的I、W計算公式見表3-1。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 六、彎曲強度計算 圖3-42集中力作用下簡支梁的彎曲應(yīng)力 梁的彎曲強度條件是：梁內(nèi)危險截面上的最大彎曲正應(yīng)力max不超過材料的許 用應(yīng)力，即 例3-13簡支梁如圖3-42a所示，已知Fr =6kN，=60MPa，l=

40、60cm，a=25cm， b=35cm，試設(shè)計實心軸的直徑d。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 六、彎曲強度計算 圖3-43均布載荷作用下簡支梁的彎曲應(yīng)力 圖3-43均布載荷作用下簡支梁的彎曲應(yīng)力例3-14管磨機筒體如圖3-43a所示，已知 筒體支承間跨距l(xiāng)=14.5m，筒體承受均布載荷q=92.4kN/m，筒體內(nèi)徑d=2.2m，壁厚=26 mm，筒體材料為Q235鋼板，許用應(yīng)力為=3240MPa。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 七、彎曲剛度簡介 圖3-45梁的撓曲變形 對于梁的設(shè)計來說，不但應(yīng)有足夠的強度，以保證安全，而且應(yīng)有足夠的剛度，以 保證正常工作。例如，齒輪軸在工作時變形過大，要影響齒輪的嚙合

41、(圖3-44);又如吊 車梁若變形過大，在行駛時會發(fā)生激烈的振動，影響正常工作，甚至脫軌。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 七、彎曲剛度簡介 圖3-45梁的撓曲變形 工程中對受彎構(gòu)件的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角有一定的限制，這種對變形大小的限制， 稱為剛度條件，即 式中y和分別是梁的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，其值在各工程類設(shè)計里都有 詳細規(guī)定。如機械工程中，轉(zhuǎn)軸的許用撓度一般規(guī)定為y=(0.00010.0005)l，l 為軸的跨度；許用轉(zhuǎn)角一般規(guī)定為0.001rad。梁的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角可查有關(guān)手冊。 第三章機械構(gòu)件強度與剛度 第六節(jié)構(gòu)件彎曲組合變形時的強度計算 例3-15如圖3-47所示的帶傳動，已知帶輪直徑D=50cm，軸的直 徑d=9cm，跨度l=100cm，帶的緊邊拉力F1=8000N，松邊拉力F2=4 0