一元二次方程實(shí)數(shù)根的分布的探究

1、元二次方程實(shí)數(shù)根的分布的探究山東省肥城市第一高級中學(xué)汪達(dá)勝一元二次方程實(shí)數(shù)根的分布問題，在初高中教材中均有出現(xiàn)，是初高中銜接點(diǎn).高中學(xué)習(xí)函數(shù)的零點(diǎn)的判斷方法后，一元二次方程實(shí)數(shù)根的分布問題變得復(fù)雜多變，處理方法更是靈多樣，成為高考能力考查的載體；僅靠初中學(xué)習(xí)的韋達(dá)定理和根的判別式來處理不很方便，筆者運(yùn)用高中函數(shù)知識做以下研究并附以口訣，以期較全面地解決該問題.研究的思想：函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想研究的方法：利用一元二次方程根與二次函數(shù)零點(diǎn)關(guān)系、二次函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)零點(diǎn) 的存在條件，探求存在合乎條件零點(diǎn)存在的條件，將根的分布問題轉(zhuǎn)化為混合組來解決 方程有兩

2、不等實(shí)數(shù)根為研究基礎(chǔ)作變式推廣進(jìn)行拓展性研究，進(jìn)而解決與之相關(guān)的問題基礎(chǔ)研究記 f（X）= ax2+bx+c, A = b2 4ac,x對一兀二次方程 ax +bx+c=0(a豐0)有兩不等實(shí)數(shù)根 xi、X2(xi X2)的分布研究，兩實(shí)數(shù)根分布情況可分為兩類情況2a1.兩實(shí)數(shù)根分布兩區(qū)間(1)兩實(shí)數(shù)根分布在兩連續(xù)區(qū)間X1、X2（X1 X2）若定理1 : 一元二次方程ax2+ bx+c=0(a豐0)有兩不等實(shí)數(shù)根XX1 迂（_oc , k ）,X2 忘（k,畑即Xi ck0則如圖1則只需! a 0lf(k)0若a 0以上兩種情況均可用 af(k) 0.證明較易從略，以下做相同處理4定理2 :

3、一兀二次方程ax2+bx+c=0(a豐0)有兩不等 實(shí)數(shù)根X1、X2（X1 X2）若X1 壬（ki,k2）,X2 壬（k2,k3）即kiXi vk20若a0則如圖3則只需|f 仆2 ）0yfia cOf （ki）0 若a 0則如圖4則只需0f （kJ0kik3 x圖3yiF 1/片（-KC1k2| k圖4itk2X(2)兩實(shí)數(shù)根分布兩斷開區(qū)間內(nèi)2定理3 : 一元二次方程ax+bx+c=0(a豐0)有兩不等實(shí)數(shù)根X1、X2(X1 X2)若Xi 巳蟲,ki),X2 巳k2,母i)( ki0則如圖5則只需 f (匕)0f 仆2 )0則如圖6則只需 f (kJ0f (k0定理4 : 一元二次方程ax2

4、+bx+c=0(a豐0)有兩不等實(shí)數(shù)根X1 亡(k1,k2),X2 巳k3 ,k4)即k1 xkX20若a0則如圖7則只需 f (k0 f (k0f(k4)A0a cOf (kJ0則如圖8則只需 f (k0f (k0f (k4 )0r/ X1 I1x2T xIk1k2lxJ圖6X1、X2(X1 X2)若kilk2k I k Xi圖3i綜上一元二次方程兩實(shí)數(shù)根分布兩區(qū)間時， 值的正負(fù)即可.例1 :對于關(guān)于X的一元二次方程mx2+(1)有一正根一負(fù)根；(3) 個根大于3，一個根小于2;上述四類均可用四個定理解決，解略 、4只需考慮相應(yīng)拋物線的開口方向和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)(2m-1) X+1=0 ,求滿足

5、下列條件的 m的取值范圍 (2) 一個根在(4) 一個根在1和2之間，一根在1和3之間，一根在3到5之間3至U 5之間；答案：(1) m0, (2) 一 cmv , (3)一 835(3)兩實(shí)數(shù)根分布一區(qū)間定理5 : 一元二次方程Ovmc1 (4)842一 m 一35152ax +bx+c=0(a 工0)有兩不等實(shí)數(shù)根X1、X2(X10 0 若a0則如圖9則只需.|f (k )0x對 V ka c0若a0f (k)0 x對 kI-Q定理6 : 一元二次方程ax +bx+c=0（a豐0）有兩不等實(shí)數(shù)根X1、X2(X1kla 0yo若a0則如圖若a0則如圖q X 巧X圖12定理7 : 一元二次方程

6、ax2+bx+c=0（a豐0）有兩不等實(shí)數(shù)根X1、X2(X1 X2)若X1 亡(匕山2 ),X2 忘(Kh )即k1 CX1 0 0若a0則如圖13則只需f (kj0f (k0kic乂對 k2I.X1k圖13k2 Xa 0I若a0則如圖14則只需 f (kj0f (k2 )0ki 0, (3) m-3對于一元二次方程有兩不等實(shí)數(shù)根的分布的7個定理，為方便記憶筆者總結(jié)了口訣如下:一元二次根分布，分類處理記清楚.兩根若在兩區(qū)間，開口方向加端點(diǎn).兩根若在一區(qū)間，四個方面要齊全；開口方向判別式，端點(diǎn)正負(fù)軸位置.拓展研究21. 當(dāng)一元二次方程 ax +bx+c=0(a豐0)有兩等實(shí)數(shù)根時，一區(qū)間的類型處

7、理，只須將判別式改成等于零即可.22. 當(dāng)一元二次方程 ax +bx+c=0(a豐0)有一個實(shí)數(shù)根在(數(shù)及另一實(shí)數(shù)根與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行研究(以a 0為例)、【/可歸納到上面兩不等實(shí)數(shù)根分布到ki, k2)內(nèi)時，可從方程實(shí)數(shù)根的個 =0推論1.方程有兩等實(shí)數(shù)根如圖15則只需f (kJ0f (k0ki x對 k2y.iC ,1 1 / zk，% k2圖15x口“ 也=0叫 k15 k2推論2.方程有不等實(shí)數(shù)根一個根在(ki, k2)內(nèi)，另一根在該區(qū)間外只需f (kJ f (kJ0f (kj=0簡化*,kx 對f (k0I對k1X對 0F=0f(k2)= 0當(dāng)為右端點(diǎn)如圖17只需0 即彳k +f 化2

8、 )=0K x對吒k2k223.當(dāng)區(qū)間為閉區(qū)間時，只須將上述條件中區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值做相應(yīng)改動即可例3已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2ax2 +2x 3 a,如果函數(shù)y =.xk， 2x圖17f(x)在區(qū)間1,1】上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.分析：函數(shù)y = f(x在區(qū)間L 1,1 上有零點(diǎn)，即方程f(x)=0在區(qū)間L 1,1 上有實(shí)數(shù)根.先從f(x)=0是一元一次方程還是一元二方程入手分類討論，判斷一元一次方程的實(shí)數(shù)根10是否在給定區(qū)間內(nèi)，再對二次方程分有兩不等實(shí)數(shù)根和兩個相等實(shí)數(shù)根及根與區(qū)間的關(guān)系進(jìn) 行分類，最后化歸為混合組來解決.3解：1.若 a=0,由 f(x) = 0 解得 x=-1,1 ,

9、2f (X)= 2x -3在 L 1,1 上沒有零點(diǎn)a H 0f(x)= 0為一元二次方程(1)方程f(x) = 0在L 1,1 兩等實(shí)數(shù)根即=f(x在區(qū)間L1,1 上有一個零點(diǎn)時，只需-3-77a =2= 4+8a(3 + a)= 02,解得1-10f(1)00 j(-n0f(1)05或a 3-療20方程f (x) = 0在(一1,1)內(nèi)恰有一根即y = f(X )在(一1,1)上恰有一個零點(diǎn)時,則 f (-1 卜f(1)=(a-1 )(a-5)v0，解得 1ac50方程f(x) = 0在L 1,1 上至少一根即y = f(x )在L 1,1 上 至少一端點(diǎn)時.則 f( 1)=0 或 f(1)=0，解得 a=5 或 a=1,綜上所求實(shí)數(shù)a的取值