測度論的知識要點與復習自測

1、章 測度論的知識要點與復習自測一、Lebesgue外測度的知識要點：熟練掌握Lebesgue外測度的定義和外測度的基本性質（包括基本性質：非負 性、單調性、次可數可加性；Lebesgue外測度的特有性質：距離分離性）；會用定義或性質求一些典型集合的外測度（例如：Rn中至多可數集，區(qū)間,Cantor （三分）集，黎曼可積函數（特別是連續(xù)函數）圖象等的外測度）；特別注意零測集的含義和性質【如 Rn中的任何集合并上零測集或減去零測集 外側度不變；零測集的子集仍為零測集；至多可數個零測集的并集仍為零測集】。自測題：1、敘述只中Lebesgue外側度的定義及性質，并用定義和性質解決如下問 題：）1）2）

2、3）Qn Rn為有理點集，計算m*QnE Rn為至多可數集，計算Rn，m*E 0，貝y m*設設設E, F2、據理說明下面的結論是否成立：設）1）2）3）4）0 ；0 ；* *mF m F E。Rn，若E為有界集，則m*E 若 若若m*E ，則E為有界集； m*E ，則E為無界集； E為無界集，則m*E 。Rn為區(qū)間，證明：m*l3、設I和無界兩種情況來證明）；并利用此結論和外側度的性質再解決如下問題：）1）設P 0,1 R1為三分Can tor集，則m*P 0 ;（注意三分Ca ntor 的構造）2）設f（x）為定義在a,b R1上的黎曼可積函數，Gp（f）（x,y）|y f（x）,x a,

3、b R2，f （x）在a,b的圖像，貝y m*Gp（f） 0 ;（注意黎曼可積的充要條件的使用）3）設E Rn有內點，貝y m*E 0 ；）4）外側度的介值性）設E R1為有界集，m*E 0，則對任意0 c mE1 E，使得，m*E1 c ;（注意構造適當的連續(xù)函數，利用連續(xù)函數的介值其中I表示I的體積（注意I分有界存在 性）（5）（外側度的介值性的一般形式）設E R1 ,m*E 0,則對任意0 c m Ei E，使得，m*Ei c。（注意：此結論要用到后面的等測包定理和單調遞存在增可測集列的測度性質）二、Lebesgue可測集的知識要點：熟練掌握Lebesgue可測集的卡氏定義（即定義）及等

4、價條件（如：余集的可 測性；對任意的A E和B Ec，總有m* A B m*A m*B ）,會用定義或等價條 件來證明一些點集的可測性（例如：零測集，區(qū)間等）；熟練掌握可測集的并、交、差、余運算性質，并會熟練地運用這些性質來判斷集合的可測性；記 E R E是可測集，則熟練掌握單調可測集列測度的極限性質，加上條件“其中至少有一個的測度是有限數”才能保證結論成立，并弄清楚此條件在 證明中所起的作用；熟練掌握下面的常用測度等式或不等式（以下集合都是 Rn中的可測集） （1）=2cc，其中c為連續(xù)基數；理解對單調遞減的可測集列為什么要(2)設Ei,設Ei,E2，Em為互不相交的可測集，則mmm Eim

5、Ei （有限可加性）；i 1 i 1E2，Em為可測集（注意沒有互不相交的要求），則 mm Eii 1 immEi （次有限可加性）。i 1設Ei,E2，Ek，為互不相交的可測集，則mk1Ek設Ei,E2，Ek ,mEk （可數可加性）；k 1為可測集列（注意沒有互不相交的要求），則(3)mEk （次可數可加性）。k 1mk1Ek差集測度的關系（注意思考：條件“ mE ”的作用） 設E和G都是可測集，且E G，貝U mG m（G E） mE ； 當 mE時，m（G E） mG mE。設E和G都是可測集，則 mG m（G E） mE ； 當 mE時，m（G E） mG mE。單調可測集列測度的極

6、限性 （注意思考成立的條件）設Ek為單調遞增的可測集列，則m lim Ek m Ek lim mEk ；kk 1k設Ek為單調遞減的可測集列，且存在Ek0，使得mEk0，則m lim Ekk一般可測集列測度的極限性 設Ek為可測集列，則m Ek lim mEk。k 1k m lim Eklim m(Ek)ki klim mEk （關于測度的Fatou定理【入不敷出】）; k若存在k0，使得mik0Eimlim Ek lim m( Ek) lim mEk ；kki kk若lim Ek E存在，且存在k0,使得mE ，則lim mEk存在，且lim mEk mE。kk（6）【可測集的直積的可測性及

7、測度的計算公式】設A rp為可測集，B Rq為可測集，則A B為RP+q上的可測集，且m（A B） = mA mB。自測題：mE”的1、證明下面的差集測度或外側度的關系（注意思考：條件“ 作用）2、設 E,G Rn（1）若E和G都是可測集，且E G,則 mG m（G E） mE ； 當 mE時，m（G E） mG mE。（2）若E和G都是可測集，則 mG m（G E） mE ； 當mE時，（3）若E和G不是可測集， m G m （G E） 當m*E時，利用1和可測集的性質證明：m(G E) mG mE。 則mE ；(G E) m*G m* E。（1）設E,G Rn都是可測集，【注意:|,2n1

8、 )為Cantor集的構造過程中第n步去掉的長度均為（2）對于任意給定正數0 aCan tor集的構造過程中每一1 a 1 a 1 a m 1 a3 , 32 , 333n扌的開區(qū)間】Cantor集的構造思想，只是將在1,不改變步去掉的幵區(qū)間分別換為長度分別為 I的幵區(qū)間（比如第n步換為去掉2n 1個長度都為 守 的則m G E m G E mG + mE ；m G E G E G E 】（2）利用（1）和等側包定理證明：設 E,G Rn （不必為可測集），則 m* G E m* G E m*G + m*E3、試利用差集的測度關系以及區(qū)間的測度再證明：（1）設 P 0,1 R1 為三分 Can

9、tor 集，則 mP 0 ;【注意：三分Can tor集的構造P 0,1 口,），其中（ i 1,2,互不相交的幵區(qū)間），并記這樣得到的集為 P0 （稱為類Cantor集或一般Cantor 集，它是閉集也是完全集還是疏朗集），證明：mP, a。4、證明一般可測集列測度的極限性：設Ek為可測集列，則mlim Ek lim m( Ek) lim mEk (關于測度的 Fatou定理【入不敷 kk i kk若存在ko,使得mik0Ei，則若lim Eklim m(jmlim EkkE存在，且存在 ko，使得mEk,Ek) lim mEk ；kk，則lim mEk存在，且klim mEk mE o,則

10、l Ek和Um Ek都是零測集。 kk若 mk 1、可測集的結構的知識要點： Rn中的幾種常見的具體的可測集：零測集，任何區(qū)間，開集，閉集，FG型集，Borel集。熟練掌握并熟記下面的幾種關系(可測集的結構)：(1) 對任意E Rn , E與G型集的關系(等測包定理);(2) 可測集與開集的關系，可測集與 G型集的關系；(3) 可測集與閉集的關系，可測集與 F型集的關系。自測題：1、仔細體會等測包定理的證明思想，解決下面的問題：(1) 如何將一個G型集表示成一列單調遞減的開集的交集(2) 設E Rn，則存在一列單調遞減的開集列Gk ,使得，對每一個*1Qm E mGk m E ，且 m lim

11、 Gk mkkk kRn有界，則存在一列單調遞減的有界開集列Ek型集,E Gk ,1Gk(3)設 E 一個 k 1 ,Gk ,使得注:EkE Gk ,*1cm E mGk m E ，且 m lim Gkm為等測包定理的更為細致的形式。klGk(2)和(3)2、試利用等測包定理和單調遞增可測集列測度的極限性質證明： Rn ( k 1,2，川)為一列單調遞增的集列，每個Ek不必為可測集,設Ek(1) 存在一列單調遞增的Gk，且 m Ek mGk ；(2) kim m*Ek m* G型集Gk ( k 1,2,川),使得，對每一個k 1 ,iEkm* lim Ek (單調遞增集列的外側度的極限性 k質

12、)。3、試證明可測集與幵集和閉集的下面的關系(可測集與幵集和閉集的更細致的關系)：設E Rn是可測集，則(1) 對任意的0,存在幵集m G(2) 存在一列單調遞減的幵集口1E Gk，且 m Gk E ；k(3) 存存在一列單調遞增的閉集E，且 m E Fk 1 o k4、試利用可測集的結構和幵集的結構證明 的計算公式”即，設A Rp為可測集，B 測集，且FkG，使得E G，且E ；Gk( k 1,2,),使得，對每一個k 1 ,Fk ( k 1,2,|),使得，對每一個k 1 ,“可測集的直積的可測性及測度Rq為可測集，則A B為Rp+q上的可mB oR1為可測集，記y f(x)R2，上的一元

13、非負函數所構成的曲邊梯形) 定義2 :設E R1為可測集，且EjEi，其中 Ei ( i 1,2,I , m )都是R1中的可測集,定義f : E且互不相交(Ei稱為可測集E的一個有限不交的可測分解)，現f(x)0,)如下:G, xC2, xIE1E2C1E1A m(x) C2 E2(x) M, Cm Em (x) C Ei (x)， x E，i 1Cm, X(i 1,2,Em,m )都為常數，Ei(x)為E為全集時Ei的示性(特征)函數,其中c 0則稱f在可測集E上的一個非負簡單函數。試利用4 “可測集的直積的可測性及測度的計算公式”解決下面的問題：設f是按定義2定義的可測集E上的非負簡單函數，Gp f,E的含義如定義1,則(1) Gp f,E(2) Gp f,E(3) mGp f,EjEi 0,Ci)，其中 Ei 0,Ci) ( i 1,2,iF是R2上的可測集；mC mEi oi 1,m )互不相交;m(A B) = mA5*、定義1:設f :E 0,)，其