高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章+空間向量與立體幾何+測(cè)試題(含詳解)

1、高中數(shù)學(xué)選修2-1 第三章 +空間向量與立體幾何+測(cè)試題(時(shí)間： 120 分鐘，滿分：150 分 )一、選擇題 (本大題共 12 小題，每小題5 分，滿分 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的 )1 向量 a (2x,1,3)， b (1， 2y,9)，若 a 與 b 共線，則 ()A x 1， y11， y 1B x 221312Cx 6， y2D x 6，y 3解析11， y3.由 a b 知， a b， 2x ， 1 2y,3 9， ， x236答案C2已知 a ( 3,2,5)，b (1， x， 1)，且 ab 2，則 x 的值是 ()A 6B5C4D 3解析

2、 ab 32x 5 2， x 5.答案B3設(shè) l1 的方向向量為a(1,2，2)，l 2 的方向向量為b ( 2,3，m)，若 l1 l 2，則實(shí)數(shù) m 的值為 ()1A 3B2C1D.2解析 l1 l 2， ab， ab0， 2 6 2m 0， m 2.答案B4若 a， b 均為非零向量，則ab |a|b|是 a 與 b 共線的 ()A 必要不充分條件B 充分不必要條件C充分必要條件D 既不充分也不必要條件解析 ab |a|b|cos a， b，而 ab |a|b|. cos a， b 1， a，b 0. a 與 b 共線反之，若a 與 b 共線，也可能ab |a| |b|，因此應(yīng)選B.答案

3、B5在 ABC 中， AB c， AC b.若點(diǎn) D 滿足 BD 2DC，則 AD ()21522112A. 3b3cB. 3c3bC.3b3cD.3b3c- 1 -解析如圖， AD AB BD2 AB 3BC 2 AB 3(AC AB) 1 2 3AB 3AC1 2 3c 3b.答案A6已知 a， b， c 是空間的一個(gè)基底，設(shè)p ab，q a b，則下列向量中可以與p， q 一起構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是()A aBbCcD 以上都不對(duì)解析 a， b，c 不共面， a b， a b，c 不共面， p， q，c 可構(gòu)成空間的一個(gè)基底答案C7已知 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)A(3,3,2) ， B(4，

4、 3,7)， C(0,5,1) ，則 BC 邊上的中線長(zhǎng)為 ()6465A 2B3C. 7D. 7解析BC 的中點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (2,1,4) ， AD ( 1， 2,2) |AD |1 4 4 3.答案B8與向量 a (2,3,6) 共線的單位向量是 ()236236A (， )B (， ，)777777- 2 -2，3，62362362，36C(7)和 ( ，7， )D (， ，)和 ( 7， )777777777解析|a|1(2,3,6) ，故應(yīng)選 D.22 32 62 7， 與 a 共線的單位向量是 7答案D9已知向量 a (2,4， x)， b (2， y,2)，若 |a| 6且

5、ab，則 xy 為 ()A 3 或 1B 3 或 1C 3D 1解析由 |a| 6， ab，4 16 x2 36，x 4，x 4，得解得或4 4y2x 0，y 3，y 1. x y1，或 3.答案A10已知 a (x,2,0)， b (3,2 x， x2)，且 a 與 b 的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x 的取值范圍是 ()A x4B x 4C0x4D 4x0.解析 a， b為鈍角， ab |a|b|cos a， b 0，即 3x 2(2 x)0 ， x 4.答案B11已知空間四個(gè)點(diǎn)A(1,1,1) ，B( 4,0,2)， C( 3， 1，0)，D(1,0,4) ，則直線 AD 與平面 ABC 所成的角

6、為 ()A 30B 45C60D 90解析設(shè)平面 ABC 的一個(gè)法向量為n (x， y， z)， AB ( 5， 1,1)， AC ( 4， 2， 1)，由 n AB 0 及 n AC 0，得 5xy z 0，令 z 1， 4x2y z 0，1313得 x2， y2， n (2，2， 1)又 AD ( 2， 1,3)，設(shè) AD 與平面 ABC 所成的角為，則3|AD n| 12 31sin 14142，|AD |n|2- 3 - 30.答案A12已知二面角 l 的大小為 50， P 為空間中任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P 且與平面 和平面 所成的角都是 25的直線的條數(shù)為 ()A 2B3C 4D 5解析過(guò)

7、點(diǎn) P 分別作平面 ， 的垂線 l 1和 l 2，則 l 1 與 l 2 所成的角為 130 或 50，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)P與直線 l 12成 65角的直線有幾條，與1，l2共面的有一條，不共面的有2 條因此，共有 3 條， ll答案B二、填空題 (本大題共 4小題，每小題5 分，滿分 20 分把答案填在題中橫線上 )13 已知 i， j， k 為單位正交基底，且a i j 3k，b 2i 3j 2k，則向量 ab 與向量 a 2b的坐標(biāo)分別是 _； _.解析依題意知， a ( 1,1,3) ，b (2， 3， 2)，則 a b (1， 2,1)，a 2b ( 1,1,3) 2(2， 3， 2)

8、( 5,7,7)答案(1， 2,1) ( 5,7,7)14在 ABC 中，已知 AB (2,4,0) ， BC ( 1,3,0)，則 ABC _. ABBC102解析cos AB， BC 10 ，22|AB|BC| 3 AB， BC 4， ABC 4 4 .答案3415正方體ABCD A1B1C1D 1 中，面 ABD1 與面 B1BD 1 所夾角的大小為_(kāi)解析- 4 -建立空間直角坐標(biāo)系D xyz，如圖設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1，則 A(1,0,0) ， B(1,1,0) ， B1(1,1,1) ， D1 (0,0,1) D1 (1,0， 1)， D 1 (1,1， 1)，D1B1 (1,1,0)

9、 AB設(shè)平面 ABD 1 0，的法向量為111112221m (x ， y ， z )，平面 B BD的法向量為 n (x ， y ， z )，則由 mDAmn11B 0，可得 m (1,0,1)11 1mD，由 n DB0， n D B 0，得 n (1， 1,0)， cos m， n |m|n| 2.所求二平面的大小為 60 .答案 6016在下列命題中：若a， b 共線，則 a，b 所在的直線平行；若a，b 所在的直線是異面直線，則 a， b 一定不共面；若a，b，c 三向量?jī)蓛晒裁妫瑒ta， b，c 三向量一定也共面；已知三向量a，b，c，則空間任意一個(gè)向量p 總可以唯一表示為p xa

10、yb zc，其中不正確的命題為 _解析 a， b 共線，包括 a 與 b 重合，所以 錯(cuò) 空間任意兩個(gè)向量均共面，所以錯(cuò) 以空間向量的一組基底 a， b， c 為例，知它們兩兩共面，但它們?nèi)齻€(gè)不共面，所以錯(cuò) 當(dāng)與 a， b， c 共面時(shí)，不成立，所以 錯(cuò)答案 三、解答題 (本大題共6 小題，滿分 70 分解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 )17(10 分 )如圖，空間四邊形OABC 中， E，F(xiàn) 分別為 OA，BC 的中點(diǎn)，- 5 -設(shè) OA a， OB b， OC c，試用 a， b， c 表示 EF . 1 111解EF EOOF 1c.2OA (OB OC)2a b22218

11、(12 分 )設(shè) a1 2i j k，a2i 3j 2k， a3 2i j 3k， a4 3i 2j 5k，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，b， c 使 a4 aa1 ba2 ca3 成立？如果存在，求出a， b， c 的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解假設(shè) a4 aa1 ba2 ca3 成立由已知 a1 (2， 1,1)， a2(1,3， 2)，a3 ( 2,1， 3)， a4 (3,2,5) ，可得(2a b2c， a3b c， a2b 3c) (3,2,5) 2a b2c 3， a 3bc 2，a 2b 3c 5，解得： a 2，b 1， c 3.故有 a4 2a1 a2 3a3.綜上知，滿足題意的實(shí)數(shù)

12、存在，且 a 2， b1， c 3.19(12 分 )四棱柱 ABCD ABCD中，AB 5，AD 3，AA 7， BAD 60， BAA DAA 45，求 AC的長(zhǎng)解 AC AB BC CC AB AD AA，22 (AC) (AB AD AA)222 AB AD AA 2(ABAD ABAA AD AA ) 259 49 2(5 3cos60 5 7cos45 3 7cos45 ) 98562.- 6 - |AC| 9856 2，即 AC的長(zhǎng)為 98 56 2.20 (12 分) 如圖所示， PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，AB 2，PC 與平面 ABCD 所成角是 45， F

13、是 AD 的中點(diǎn)， M 是 PC 的中點(diǎn)求證： DM 平面 PFB .證明以 D 為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由PC與平面ABCD 所成的角為45 ，即 PCD 45 ，得PD 2，則P(0,0,2) ， C(0,2,0)， B(2,2,0) ， F(1,0,0) ， D(0,0,0) ， M(0,1,1) ， FB (1,2,0) ， FP ( 1,0,2)， DM (0,1,1) 設(shè)平面 PFB 的法向量為 n (x，y， z)，則FB n0，x 2y 0，即 x 2z 0.FP n 0，令 y1，則 x 2， z 1.故平面 PFB 的一個(gè)法向量為n ( 2,1， 1) DM n

14、 0， DM n .又 DM ? 平面 PFB ，則 DM 平面 PFB .21 (12 分 )如圖，正四棱柱ABCD A1B1C1D1 中， AA 1 2AB 4，點(diǎn) E 在 C1 C 上，且 C1E 3EC.(1)證明 A1C平面 BED ；(2)求二面角 A1 DE B 的余弦值- 7 -解以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA 為 x 軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.依題設(shè) B(2,2,0) ， C(0,2,0) ， E(0,2,1) ，A1(2,0,4) DE (0,2,1) ，DB (2,2,0) ，A1C ( 2,2， 4) ，DA 1(2,0,4) (1) A1CDB

15、0， A1CDE 0， A1C BD ， A1 C DE.又 DB DE D， A1C 平面 DBE .(2)設(shè)向量 n (x，y，z)是平面 DA 1E 的法向量， 則 n DE 、n DA 1. 2y z0,2x 4z 0.令 y1，則 z 2， x 4， n (4,1， 2)nA C14 cos n， A1C1.42|n|A1C| n， A1C等于二面角A1 DE B 的平面角，14 二面角 A1 DE B 的余弦值為42 .22(12 分 )正方體 ABCD A1B1 C1D1 中， E，F(xiàn) 分別是 BB 1，CD 的中點(diǎn)- 8 -(1)證明：平面AED 平面 A1FD 1；(2)在 AE 上求一點(diǎn)M，使得 A1M平面 DAE.解 (1) 證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2，則 A(2,0,0) ，E(2,2,1) ，F(xiàn)(0,1,0) ， A1(2,0,2) ， D1(0,0,2) 設(shè)平面 AED 的法向量為n1( x1， y1， z1)，則n 1DA x1，y1，z1 2， 0， 0 0，n 1DE x1，y1，z1 2， 2， 1 0.2x1 0，2x1 2y1 z1 0.令 y1 1，得