高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列教案

1、自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟Ow xw 2,1. (2012 北京)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?D,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)0W yW2點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是n n 2A. 4B. 2n 4 nC. 6D. 亍解析 如圖，平面區(qū)域D是面積為4的正方形，D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于 2的點(diǎn)所組成17逐*Oi 2S.的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，4 n其面積為4 n,故此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率為一，故選D.答案 D32 . (2012 山東)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為匚，命中得142分，沒(méi)有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為3每命中一次得2分，沒(méi)有命中得0分該

2、射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立假設(shè)該射手完成以上三次射擊.(1) 求該射手恰好命中一次的概率；(2) 求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望 EX解析(1)記：該射手恰好命中一次”為事件 代該射手射擊甲靶命中”為事件B,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C, “該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D.由題意知 P(B) = 3，PC) = RD = 3,43由于 A= BC D + BCD + B CD,根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(A) = P(BC D + BCD + B CD)=P(BC D) + P( BCD) + P( B CD)=P( B) P( )P( D) + P( B)P(Q P D)

3、 + P( B) P( C) P( D)3 2232蔦x 1-3 x 1 3 + 1 4 + 3X(2) 根據(jù)題意知X的所有可能取值為 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(X= 0) = R B C D)=1 P( B)1 RC1 RD2 7x =3 360,1,2,3,4,5.32211 4 X 1 3 X 1 3 = 36.P(X= 1) =D) = P(B)P( R D)3221=X 1 X 1 =,43312P(X= 2) = P( BCD + B CD) = P( BCD) + F( B CD)3 223221=1 X X 1 + 1 X 1 X=,4 334339P(X= 3) = RB

4、C + BCD) = P(BCD) + P(BD)3 22 34 33 - 42 2 11 3 X 3 = 3,P(X= 4) = P( BCD =13 X 2 X 2=1,43 3 92 2 13 3一3.P(X= 5) = RBCD = 4X 3X 3 =故X的分布列為X012345111111P36129393所以 EX= 0X 丄 + 1 X + 2X 1 + 3X 1 + 4X 1+ 5X -361293934112考題分析本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)是概率，高考試題中無(wú)論是以古典概型為背景的分布列，還是以獨(dú)立重復(fù) 試驗(yàn)為背景的分布列，都要求計(jì)算概率解此類問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn)是正確的理解題意，需特別

5、注意.網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建互斥事件的概率加法公式高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：古典概型與幾何概型【例1】（1）（2012 衡水模擬）盒子中裝有形狀、大小完全相同的 3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中 隨機(jī)取出一個(gè)記下顏色后放回，當(dāng)紅球取到2次時(shí)停止取球那么取球次數(shù)恰為3次的概率是A.18V25B3612581C. D. TTT125125（2）（2012 海淀二模）在面積為1的正方形ABC吶部隨機(jī)取一點(diǎn)巳則厶PAB勺面積大于1等于4的概率是審題導(dǎo)引（1）解題的關(guān)鍵是理解題意，應(yīng)用計(jì)數(shù)原理與排列組合公式計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù);1 首先找到使 PAB的面積等于4的點(diǎn)P然后據(jù)題意計(jì)算.規(guī)范解答（1）設(shè)事件“取球次數(shù)恰為3次”為事件A,

6、則P（A）=2C1 C3 C36E、F分別是AD BC的中點(diǎn),1則當(dāng)點(diǎn)p在線段EF上時(shí)，”肯，1要使&pab 4需點(diǎn)P位于矩形EFCD內(nèi)，1Sg形 EFCD 21故所求的概率為：P(A =7；.Se方形 ABCD 12 1答案(1)B(2) 2【規(guī)律總結(jié)】解答幾何概型、古典概型問(wèn)題時(shí)的注意事項(xiàng)(1) 有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)， 這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí).(2) 在求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基 本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性.(3) 當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體

7、積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求 解.(4) 利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)成試驗(yàn)的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有 時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.【變式訓(xùn)練】1. (1)(2012 石景山一模)如圖，圓O x2+ y2=n 2內(nèi)的正弦曲線y = sin x與x軸圍成的區(qū)域記為M圖中陰影部分)，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A,則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是解析陰影部分的面積為S 陰=2 n sin xdx035=2cos x | 0 = 4,Sw4故 P=J=3Soo n答案2n2. (2012 廣州模擬)從3名男生和n名女生中，任選3人參加比賽，已知 3人中至少有34351

8、名女生的概率為由，貝U n=.c3解析 據(jù)題意知，所選3人中都是男生的概率為 亍,C1 + 3C334至少有1名女生的概率為 1亍C1 + 3 n= 4.答案 4考點(diǎn)二：相互獨(dú)立事件的概率與條件概率32【例2】(1)甲射擊命中目標(biāo)的概率為 *乙射擊命中目標(biāo)的概率為3，當(dāng)兩人同時(shí)射擊同一目標(biāo)時(shí)，該目標(biāo)被擊中的概率為1115A.尹1 C. pD.g(2)從1,2,3,4,5 中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件 A=“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件 B =“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則 RB|A!=112 1A. fB. ；C D.845 2審題導(dǎo)引(1)把事件“目標(biāo)被擊中”分解為三個(gè)互斥事件求解；(2)據(jù)古典

9、概型的概率分別求出R A與P(AB，然后利用公式求 R B A) 規(guī)范解答(1)解法一設(shè)甲、乙射擊命中目標(biāo)分別記作事件A B,32則 P(A) = 4，RD = 3，則該目標(biāo)被擊中的概率為P(AE) + F( AB) + P(AB32113232=4X 1 3 + 1-4 X 3+ 4X 3 =巨解法二 若采用間接法，則目標(biāo)未被擊中的概率為3 21312P( A B) = 1- X 1 二4則目標(biāo)被擊中的概率為1 P( A B) = 1 -2 =1112 1225,C3+ C24 RA = -CT=10C 1P(AB=責(zé)和由條件概率計(jì)算公式，得丄P AB To 1 P(B|A) = p a =

10、 7 = 4.10【規(guī)律總結(jié)】(1) 求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事 件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解.(2) 一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求解.對(duì)于“至少”“至多”等問(wèn)題往往用這種方法求解.(3) 注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情 況；在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.(4) 牢記公式R(k) = Cnpk(1 p)n k, k= 0,1,2，n,并深刻理解其含義.2 解答條件概率問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1) 正確理解事件之間

11、的關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵.(2) 在求P(AB時(shí)，要判斷事件A與事件B之間的關(guān)系，以便采用不同的方法求 P(AB .其P B中，若 B? A,則 P( AB = R ，從而 P(B| A) = p A .【變式訓(xùn)練】3. (2012 宜賓模擬)設(shè)某氣象站天氣預(yù)報(bào)準(zhǔn)確率為0.9，則在4次預(yù)報(bào)中恰有3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是A. 0.287 6B. 0.072 9C. 0.312 4D. 0.291 6解析據(jù)題意知在4次預(yù)報(bào)中恰有3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為C! 0.9 3 0.1 = 0.291 6.答案 D4. (2012 棗莊模擬)如圖，CDEF是以圓O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆 OCFH

12、內(nèi)”(點(diǎn)H將劣弧Ef二等分),豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用 B表示事件“豆子落在正方形32A.B.n nA表示事件“豆子落在扇形CDEF內(nèi) ”，貝U P(B|A)=33nC.8D. 花解析：圓的半徑為1,13一 nS扇形 OCFH 24-P(Z =-OO O3 2P(AB =則正方形的邊長(zhǎng)為：2,3n 8,7t則 P(BA)= pT2=34 n 2 可=n.8答案 B考點(diǎn)三：離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差【例3】(2012 合肥模擬)某公司設(shè)有自行車租車點(diǎn)，租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每小時(shí)2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)甲、乙兩人各租一輛自行車，若甲、乙不超過(guò)一小時(shí)還車的1 1 1 1概率分別為4、

13、2; 一小時(shí)以上且不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為2、4兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)三小時(shí).(1) 求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；(2) 設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量E ,求E的分布列與數(shù)學(xué)期望 EE.審題導(dǎo)引(1)把事件“甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同”分解為三個(gè)互斥事件：租車費(fèi)用為2元、租車費(fèi)用為4元、租車費(fèi)用為 6元，分別求其概率，然后求和；(2)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和可能為4元、6元、8元、10元、12元，分別求出E取上述各值的概率即可得到其概率分布列.1 1規(guī)范解答(1)甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即為2,4,6元.都付2元的概率為P =-=18；一 1 1 1 都付4兀的概率為

14、F2=248一 1 1 1都付6兀的概率為F3= X -；4416故所付費(fèi)用相同的概率為P= P+ F2+ R1115=_亠 _ -L =8 8 16= 16(2)依題意，E的可能取值為4,6,8,10,12.P( E= 4) =1； P( E= 6) = -x - + -x -=；84 4 2 216P( 一 8)1111115=4x 4+ 2x 4 + 2x 4 = 16；P( E = 10)11113=4 x 4+2x 4= 16；P( E = 12)1 1 14 x 4 = 16.故E的分布列為E468101215531P=816161616155EE= 4x8+ 6x 屁+8x w+

15、 10x3花 +12x116152所求數(shù)學(xué)期望【規(guī)律總結(jié)】解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問(wèn)題的一般思路(1) 明確隨機(jī)變量可能取哪些值.(2) 結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值.(3) 根據(jù)分布列和期望、方差公式求解.注意 解題中要善于透過(guò)問(wèn)題的實(shí)際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型 隨機(jī)變量及其分布列的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.【變式訓(xùn)練】5. (2012 西城二模)甲、乙兩人參加某種選拔測(cè)試.在備選的10道題中，甲答對(duì)其中3每道題的概率都是3,乙能答對(duì)其中的5道題.規(guī)定每次考試都從備選的 10道題中隨機(jī)抽出35道題進(jìn)行測(cè)試，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題(不答視

16、為答錯(cuò))減5分，至少得15分才能入選.(1) 求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2) 求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率.解析(1)設(shè)乙答題所得分?jǐn)?shù)為C31p(x= 15) = c = 12； Rx= 0)X,貝y X的可能取值為一 c5c5 5=忑=1215,0,15,30.C5C 5C51P(X= 15) = G5? = 12； P(X= 30) = C = 12.乙得分的分布列如下:X1501530P155112121212EX= gx ( 15) + 12 x 0+ 12 x 15+ gx 30=罟.(2)由已知甲、乙至少答對(duì)2 3 2 23則 p(A) = c3 55 + 52題才能入選

17、，記甲入選為事件81511,P( B) =+ = _.12512 12 2A乙入選為事件 B故甲乙兩人至少有一人入選的概率P= 1 P( )=1 441103125x 2 = 125.名師押題高考2x + y 4W 0,所表示的平面區(qū)域內(nèi)，點(diǎn)(x, y)落在xx + y 3w 0,【押題1】在不等式組x 0,y 01,2區(qū)域內(nèi)的概率是解析如圖所示，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是7,在這個(gè)區(qū)域中，x 1,2區(qū)域的面積是1,故所求的概率是2.27押題依據(jù)幾何概型與線性規(guī)劃問(wèn)題都是高考的熱點(diǎn)，二者結(jié)合命題，立意新穎、內(nèi)涵豐 富，能夠很好地考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力，故押此題.【押題2】乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，比賽采用 獲勝，比賽結(jié)束)，假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同.(1) 求甲以4比1獲勝的概率；(2) 求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于 5局的概率；(3) 求比賽局?jǐn)?shù)的分布列.答案7局4勝制(即先勝4局者解析(1)由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是12.記“甲以4比1獲勝”為事件A,3 1 3 1 4311則 P(A) = &23 2432= 8.記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于 5局”為事件B因?yàn)?，乙?比2獲勝的概率為3 1 3 1 5 315P匸 G222=32,乙以4比3獲勝的概率為x 計(jì)3