不可壓縮理想流體的平面規(guī)律運(yùn)動(dòng)

1、7 7不可壓縮理想流體的平面運(yùn)動(dòng) 基本內(nèi)容基本內(nèi)容： l掌握有旋運(yùn)動(dòng)與無旋運(yùn)動(dòng)掌握有旋運(yùn)動(dòng)與無旋運(yùn)動(dòng) l掌握勢函數(shù)與流函數(shù)及其存在的條件掌握勢函數(shù)與流函數(shù)及其存在的條件 l熟悉勢函數(shù)和流函數(shù)的求法熟悉勢函數(shù)和流函數(shù)的求法 平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)是指整個(gè)流場中流體速度都平行于某一 平面，且流體各物理量在與該平面垂直的方向上沒有 變化的流動(dòng)。例如空氣橫向繞過塔設(shè)備、高樓等的流。例如空氣橫向繞過塔設(shè)備、高樓等的流 動(dòng)動(dòng), ,可視為垂直于柱體的平面流動(dòng)。在工程實(shí)際中，可視為垂直于柱體的平面流動(dòng)。在工程實(shí)際中， 常見的是不可壓縮理想流體的平面運(yùn)動(dòng)。常見的是不可壓縮理想流體的平面運(yùn)動(dòng)。 研究不可壓縮理想流體的平

2、面流動(dòng)，首先要建立 運(yùn)動(dòng)微分方程，然后結(jié)合邊界條件求解。 7.17.1流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析 在流體流動(dòng)時(shí)，流體微團(tuán)除了平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)之外，在流體流動(dòng)時(shí)，流體微團(tuán)除了平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)之外， 還伴有變形運(yùn)動(dòng)。還伴有變形運(yùn)動(dòng)。 在對流體微團(tuán)進(jìn)行變形運(yùn)動(dòng)分析時(shí)，不是看其變 形量的大小，而是看其變形速度的大小。 分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本量：分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本量： l線變形速度線變形速度 l剪變形速度剪變形速度 l平均旋轉(zhuǎn)角速度平均旋轉(zhuǎn)角速度 一、線變形速度一、線變形速度 首先看一維情首先看一維情 況。況。t時(shí)刻，在時(shí)刻，在x 軸上取一微小流軸上取一微小流 體線段體線段AB=x， A點(diǎn)的速度為點(diǎn)的

3、速度為vx，按泰勒級數(shù)展開，按泰勒級數(shù)展開，B點(diǎn)的速點(diǎn)的速 度可表示為度可表示為 x dx dv v x x ABA?B? x x vxt (vx+(dvx/dx)x)t tt+t 經(jīng)過經(jīng)過t時(shí)間后，時(shí)間后，AB運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到A?B?，其長度的改變量為，其長度的改變量為： tx dx dv tvtx dx dv vABBA x x x x )( ABA?B? x x vxt (vx+(dvx/dx)x)t tt+t 則單位長度在單位時(shí)間內(nèi)長度的改變量為：則單位長度在單位時(shí)間內(nèi)長度的改變量為： dx dv tx ABBA x t x 0 lim 把把x叫做線段叫做線段AB在在x軸軸的線變形速度的線

4、變形速度。 x 正值正值 負(fù)值負(fù)值 拉伸拉伸 壓縮壓縮 對于三維空間，流體微團(tuán)的速度是空間坐標(biāo)對于三維空間，流體微團(tuán)的速度是空間坐標(biāo) 的函數(shù)，即的函數(shù)，即 ),( ),( ),( tzyxvv tzyxvv tzyxvv zz yy xx z v y v x v z z y y x x , 則有則有 下標(biāo)下標(biāo)x,y,z表示變形發(fā)生的方向。表示變形發(fā)生的方向。 00 z v y v x v z y x zyx 這就是不可壓縮流體的連續(xù)方程這就是不可壓縮流體的連續(xù)方程。 對于不可壓縮流體，在變形過程中，體積不對于不可壓縮流體，在變形過程中，體積不 發(fā)生改變發(fā)生改變，則有，則有 二、剪變形角速度二、

5、剪變形角速度 A BC D vx vy vxt y y v v x x x x v v y y ty y v v x x )( x y 經(jīng)經(jīng)t時(shí)間后，流體微團(tuán)發(fā)生變形，時(shí)間后，流體微團(tuán)發(fā)生變形，AB邊轉(zhuǎn)過邊轉(zhuǎn)過 的角度為的角度為，BC邊轉(zhuǎn)過的角度為邊轉(zhuǎn)過的角度為。則。則 t x v t y v y tvy y v v y x x x x )( tan 則定義剪變形角速度為則定義剪變形角速度為 )( 2 1 2 1 lim 0 y v x v t x y t z 即單位時(shí)間內(nèi)直角改變量的一半。即單位時(shí)間內(nèi)直角改變量的一半。 同理對三維空間可寫出同理對三維空間可寫出 )( 2 1 x v z v

6、zx y )( 2 1 z v y v y z x 剪變形角速度是流體微團(tuán)中某一直角的減 小速度的一半。 三、平均旋轉(zhuǎn)角速度三、平均旋轉(zhuǎn)角速度 y x I ( (+ +)/2)/2 D? C? B? DC BA I? 虛線是初始位置，經(jīng)過虛線是初始位置，經(jīng)過 t時(shí)間后，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)到時(shí)間后，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)到 AB?C?D?。由幾何關(guān)系。由幾何關(guān)系 t y v x v IIA x y )( 2 1 )( 2 1 則單位時(shí)間內(nèi)角平分線轉(zhuǎn)過的角度為則單位時(shí)間內(nèi)角平分線轉(zhuǎn)過的角度為 )( 2 1 lim 0 y v x v t IIA x y t z 對于三維問題同理可得出對于三維問題同理可得出 )(

7、2 1 )( 2 1 x v z v z v y v zx y y z x y x I ( (+ +)/2)/2 D? C? B? DC BA I? 矢量式為矢量式為 zyx vvv zyx kji v 2 1 2 1 7.27.2有旋運(yùn)動(dòng)和無旋運(yùn)動(dòng)有旋運(yùn)動(dòng)和無旋運(yùn)動(dòng) 一般來說，粘性流體的流動(dòng)是有旋的，而理想 流體的流動(dòng)可能是無旋的，也可能是有旋的。流動(dòng) 究竟是有旋還是無旋，是根據(jù)流體微團(tuán)本身是否旋 轉(zhuǎn)來確定的，而不是根據(jù)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否 彎曲來判定。 zyx vvv zyx kji vrot 根據(jù)旋度的概念根據(jù)旋度的概念： 速度場的旋度與平均旋轉(zhuǎn)角速度相比較速度場的旋度與平均旋轉(zhuǎn)角速度

8、相比較: : vrot 2 1 所以所以平均旋轉(zhuǎn)角速度平均旋轉(zhuǎn)角速度不僅是分析流體微團(tuán)在 運(yùn)動(dòng)過程中旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量，同時(shí)也是判斷流體是判斷流體 的運(yùn)動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)還是無旋運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)還是無旋運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)。 運(yùn)動(dòng)是有旋的 運(yùn)動(dòng)是無旋的 00 00 vrot vrot 流體運(yùn)動(dòng)中的有旋運(yùn)動(dòng)與剛體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是 兩個(gè)完全不同的概念。流體的有旋與無旋不是通 過宏觀上流體運(yùn)動(dòng)的特征來判斷。也就是說，宏 觀上作圓周運(yùn)動(dòng)的流場可能是無旋運(yùn)動(dòng)，而宏觀 作直線運(yùn)動(dòng)的流場也可能是有旋的。 例：如圖一維剪切流動(dòng)中，流體速度分布為例：如圖一維剪切流動(dòng)中，流體速度分布為 0, yx vcyv 其中其中c為常數(shù)

9、。判斷流動(dòng)是否無旋？為常數(shù)。判斷流動(dòng)是否無旋？ v0 vx y x 由判斷條件由判斷條件 0 2 1 )( 2 1 c y v x v x y z 故運(yùn)動(dòng)是有旋的。故運(yùn)動(dòng)是有旋的。 例：圖示為流體質(zhì)點(diǎn)繞某一圓心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。已知例：圖示為流體質(zhì)點(diǎn)繞某一圓心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。已知 流體速度分布為流體速度分布為 0, r v r c v 其中其中c為常數(shù)，試判斷為常數(shù)，試判斷 流動(dòng)有旋還是無旋？流動(dòng)有旋還是無旋？ r 在極坐標(biāo)系下的判斷條件為在極坐標(biāo)系下的判斷條件為 ) v r 1 )rv( rr 1 ( 2 1 r z 代入速度分布可得代入速度分布可得 0 z 故該流動(dòng)是無旋的。故該流動(dòng)是無旋的。 7.

10、37.3不可壓縮理想流體平面勢流的基本方程不可壓縮理想流體平面勢流的基本方程 工程上有許多問題可簡化為理想流體的 無旋流動(dòng)問題，如流體機(jī)械內(nèi)的流動(dòng)。利 用無旋流動(dòng)的特性，可建立線性運(yùn)動(dòng)方程 來求解流體的速度分布，從而避開求解歐 拉方程的困難。 7.3.17.3.1速度勢函數(shù)速度勢函數(shù) 對于無旋流動(dòng)，速度的旋度為零，即對于無旋流動(dòng)，速度的旋度為零，即 02 v 此時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)都要滿足以下條件此時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)都要滿足以下條件 y v z v z v x v x v y v z y xz y x , 由數(shù)學(xué)分析，上面的三個(gè)方程是由數(shù)學(xué)分析，上面的三個(gè)方程是 dzvdyvdxv zyx 成為某一函數(shù)的全微分

11、的充分必要條件，該函數(shù)記成為某一函數(shù)的全微分的充分必要條件，該函數(shù)記 為為(x,y,z,t)。 當(dāng)以當(dāng)以t為參數(shù)時(shí)，該函數(shù)的全微分是為參數(shù)時(shí)，該函數(shù)的全微分是 dz z dy y dx x d 所以有所以有 zyx v z v y v x , 按矢量分析有按矢量分析有 k z j y i x v 函數(shù)函數(shù)稱為速度勢函數(shù)，簡稱速度勢。速度勢的稱為速度勢函數(shù)，簡稱速度勢。速度勢的 梯度就是流場中的速度。梯度就是流場中的速度。 當(dāng)流體作當(dāng)流體作無旋流動(dòng)無旋流動(dòng)時(shí)，不論其是否可壓縮，總時(shí)，不論其是否可壓縮，總 有速度勢存在，所以無旋流動(dòng)又稱為有勢流動(dòng)。有速度勢存在，所以無旋流動(dòng)又稱為有勢流動(dòng)。 對于不

12、可壓縮流體，有下式存在對于不可壓縮流體，有下式存在 0 2 2 2 2 2 2 zyx 稱為拉普拉斯方程。稱為拉普拉斯方程。稱為拉普拉斯算子稱為拉普拉斯算子。 在平面極坐標(biāo)中，速度和速度勢之間的關(guān)系是在平面極坐標(biāo)中，速度和速度勢之間的關(guān)系是 r v r v r , 拉普拉斯方程為拉普拉斯方程為 0 1 22 2 2 rrrr 速度勢函數(shù)的意義：速度勢函數(shù)的意義： 在勢流中，如果已知速度勢函數(shù)，則 可根據(jù)速度與速度勢之間的關(guān)系很容易地計(jì) 算出速度矢量分量，從而將求解速度場的問 題轉(zhuǎn)化為求解速度勢函數(shù)的問題。 例題：已知一個(gè)平面不可壓縮定常有勢流動(dòng)的速度例題：已知一個(gè)平面不可壓縮定常有勢流動(dòng)的速度

13、 勢函數(shù)為勢函數(shù)為 22 yx 求在點(diǎn)求在點(diǎn)(2.0 , 1.5)處速度的大小。處速度的大小。 smvvV smy y v smx x v yx y x /5 /0 . 32 /42 22 解： ：不可壓縮流體平面流動(dòng)的勢函數(shù)不可壓縮流體平面流動(dòng)的勢函數(shù) xyx 22 試確定：試確定： 1.1.該平面流動(dòng)的速度場。該平面流動(dòng)的速度場。 2.2.該流動(dòng)有旋還是無旋該流動(dòng)有旋還是無旋？ 3.3.該流動(dòng)是否滿足連續(xù)性方程該流動(dòng)是否滿足連續(xù)性方程? ? vx=2x+1,vy=-2y 無旋 滿足 關(guān)于速度勢關(guān)于速度勢的重要性質(zhì)的重要性質(zhì)： 1 1）等勢面與流線垂直）等勢面與流線垂直 將流場中速度勢相等的

14、點(diǎn)連接起來，形成一個(gè)空將流場中速度勢相等的點(diǎn)連接起來，形成一個(gè)空 間曲面，稱為等勢面。在平面流中，稱為等勢線。間曲面，稱為等勢面。在平面流中，稱為等勢線。 0 ),( dz z dy y dx x d zyx 或 常數(shù) 即即 0 0 l dv dzvdyvdxv zyx 因?yàn)橐驗(yàn)閐l是等勢面上的有向線段，所以等勢面與流線垂是等勢面上的有向線段，所以等勢面與流線垂 直。直。 2)2)速度勢在任何方向上的偏導(dǎo)數(shù)，等于速度在速度勢在任何方向上的偏導(dǎo)數(shù)，等于速度在 該方向上的投影該方向上的投影 根據(jù)數(shù)學(xué)上方向?qū)?shù)的概念，根據(jù)數(shù)學(xué)上方向?qū)?shù)的概念，在任意方向在任意方向l上上 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為 l

15、 zyx v zlvylvxlv zl z yl y xl xl ),cos(),cos(),cos( ),cos(),cos(),cos( 3)3)速度勢與積分速度勢與積分 的關(guān)系的關(guān)系 在勢流場中，沿任意曲線的速度的線積分等于在勢流場中，沿任意曲線的速度的線積分等于 終點(diǎn)和起點(diǎn)的速度勢之差。終點(diǎn)和起點(diǎn)的速度勢之差。 l dv A B B A AB B A B A zyx B A d dz z dy y dx x dzvdyvdxv l dv )( )( 在平面流動(dòng)中，對不可壓縮流體，由微分形式在平面流動(dòng)中，對不可壓縮流體，由微分形式 的連續(xù)性方程的連續(xù)性方程 0 y v x v y x 得

16、得 y v x v y x 該式是該式是 dxvdyv yx 成為某一函數(shù)成為某一函數(shù)(x,y)全微分的充要條件，即全微分的充要條件，即 dxvdyvdy y dx x d yx 因此有因此有 x v y v yx , 平面流動(dòng)的流線方程為平面流動(dòng)的流線方程為 0dxvdyv yx 所以在流線上有所以在流線上有 constd或0 在每條流線上函數(shù)在每條流線上函數(shù) 都有不同的值，故都有不同的值，故 被稱為被稱為流流 函數(shù)函數(shù)。在引出流函數(shù)時(shí)，并未涉及到流體的粘性和。在引出流函數(shù)時(shí)，并未涉及到流體的粘性和 是否為有勢流動(dòng)，是否為有勢流動(dòng)，只要是不可壓縮流體的平面流動(dòng)，只要是不可壓縮流體的平面流動(dòng)，

17、 就必然存在流函數(shù)就必然存在流函數(shù)。在三維流動(dòng)中一般不存在流函。在三維流動(dòng)中一般不存在流函 數(shù)，軸對稱流動(dòng)除外。數(shù)，軸對稱流動(dòng)除外。 關(guān)于流函數(shù)的物理意義關(guān)于流函數(shù)的物理意義 經(jīng)經(jīng)A、B兩點(diǎn)的實(shí)線為兩點(diǎn)的實(shí)線為 流場中的兩條流線，虛線流場中的兩條流線，虛線 AB與流場中的所有的流線與流場中的所有的流線 正交，現(xiàn)求通過虛線正交，現(xiàn)求通過虛線AB的的 流量。流量。 o II I vy vx dy dx B A y x 流線流線 dl 在虛線在虛線AB上取一微元弧段上取一微元弧段dl，顯然，顯然，vxdy是經(jīng)是經(jīng) dl從區(qū)從區(qū)I進(jìn)入?yún)^(qū)進(jìn)入?yún)^(qū)II的流量，的流量， vydx是經(jīng)是經(jīng)dl從從II區(qū)區(qū) 進(jìn)入

18、進(jìn)入I 區(qū)區(qū)的流量，那么經(jīng)的流量，那么經(jīng)dl從從I區(qū)進(jìn)入?yún)^(qū)進(jìn)入II區(qū)的凈流量為區(qū)的凈流量為 dxvdyvdq yx 對虛線積分可得到兩條流線之間的總流量對虛線積分可得到兩條流線之間的總流量 AB B A B A yx B A ddxvdyvdqq 流函數(shù)的物理意義是：平面流動(dòng)中 兩條流線之間通過的流體流量，等于兩 條流線上流函數(shù)的差。而且，沿流線全 長兩流線之間的流量保持不變。 在不可壓縮流體的平面有勢流動(dòng)中，必然同時(shí)在不可壓縮流體的平面有勢流動(dòng)中，必然同時(shí) 存在速度勢和流函數(shù)。由無旋流動(dòng)的條件存在速度勢和流函數(shù)。由無旋流動(dòng)的條件 0 y v x v x y 將速度與流函數(shù)的關(guān)系式代入上式有將

19、速度與流函數(shù)的關(guān)系式代入上式有 0 2 2 2 2 2 yx 因此，流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程。因此，流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程。 0 , yyxx xyyx 與與 的關(guān)系的關(guān)系： 由速度與速度勢及流函數(shù)的關(guān)系可得由速度與速度勢及流函數(shù)的關(guān)系可得 上式表明，等勢線與流線相互正交。上式表明，等勢線與流線相互正交。 7.3.37.3.3流函數(shù)和勢函數(shù)的求解方法流函數(shù)和勢函數(shù)的求解方法 例：設(shè)平面流動(dòng)的速度分布為例：設(shè)平面流動(dòng)的速度分布為 yxyxyv xxyyxv y x 32 32 22 22 求求: (1)是否滿足連續(xù)性方程是否滿足連續(xù)性方程 (2)勢函數(shù)勢函數(shù) (3)流函數(shù)流函數(shù) 解：解： (1

20、) 0 322322 xyyx y v x v y x 所以滿足連續(xù)性方程。所以滿足連續(xù)性方程。 （2） 0)2222( 2 1 )( 2 1 xyyx y v x v x y z 是無旋流是無旋流 動(dòng)，存在動(dòng)，存在 勢函數(shù)勢函數(shù) dyyxvdxxvdyvdxv y y B A x xyx 00 ),()0 ,( 積分路徑如圖。所以積分路徑如圖。所以 o (x,y) (x,0) y x )()( 2 3 )( 3 1 )32( )3( 2233 0 22 0 2 yxxyyxyx dyyxyxy dxxx y x (3)因?yàn)闈M足連續(xù)方程，所以存在流函數(shù)因?yàn)闈M足連續(xù)方程，所以存在流函數(shù) dyvd

21、xv xy 積分路徑同上，則積分路徑同上，則 )3()( 3 1 )32( ),()0 ,( 33 0 22 0 2 00 yxxyyx dyxxyyxdxx dyyxvdxxv yx y x x y 練練 習(xí)習(xí) 試求下面不可壓縮流場的流函數(shù)及速度勢：試求下面不可壓縮流場的流函數(shù)及速度勢： 其中其中k為常數(shù)。為常數(shù)。 Ckxy Cyxk += +)( 2 1 = 22 0=,=,=wkyvkxu 7.4 7.4 簡單的平面勢流及其疊加簡單的平面勢流及其疊加 一、直均流一、直均流 所謂直均流，就是流體質(zhì)點(diǎn)以相同的速度相互平所謂直均流，就是流體質(zhì)點(diǎn)以相同的速度相互平 行地作等速直線運(yùn)動(dòng)。如圖，流動(dòng)

22、方向?yàn)樾械刈鞯人僦本€運(yùn)動(dòng)。如圖，流動(dòng)方向?yàn)閤軸。其速軸。其速 度分布為度分布為 x y v0 0 0 y x v vv 因?yàn)橐驗(yàn)?0)( 2 1 y v x v x y z 所以是無旋運(yùn)動(dòng)，存在速度勢所以是無旋運(yùn)動(dòng)，存在速度勢 xv dyvdxv yx 0 在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中 cos 0r v 將速度分布函數(shù)帶入連續(xù)性方程，因?yàn)闈M足將速度分布函數(shù)帶入連續(xù)性方程，因?yàn)闈M足 0 y v x v y x 所以存在流函數(shù)所以存在流函數(shù) yv dyvdxv xy 0 在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中 sin 0r v 因直均流因直均流(平行流平行流)中各點(diǎn)的速度相同，由伯努利中各點(diǎn)的速度相同，由伯努利 方

23、程得方程得 Cpgz 如果忽略重力的影響，則有如果忽略重力的影響，則有 Cp 即在流場中各處的壓強(qiáng)都相等。即在流場中各處的壓強(qiáng)都相等。 二、源或匯二、源或匯 流體從平面一點(diǎn)均勻地向四周流出，一直流向無流體從平面一點(diǎn)均勻地向四周流出，一直流向無 窮遠(yuǎn)處，這樣的流動(dòng)稱為平面點(diǎn)源。流體流出的點(diǎn)稱窮遠(yuǎn)處，這樣的流動(dòng)稱為平面點(diǎn)源。流體流出的點(diǎn)稱 為源點(diǎn)，單位時(shí)間流出的體積流量稱為源強(qiáng)，用為源點(diǎn)，單位時(shí)間流出的體積流量稱為源強(qiáng)，用qv表表 示。將坐標(biāo)原點(diǎn)取在源點(diǎn)處，得極坐標(biāo)系中速度分布示。將坐標(biāo)原點(diǎn)取在源點(diǎn)處，得極坐標(biāo)系中速度分布 y x 0 2 v r q v v r 滿足勢函數(shù)和流函數(shù)的存在條件的證明

24、：滿足勢函數(shù)和流函數(shù)的存在條件的證明： 勢函數(shù)存在的條件為無旋流動(dòng)，在該平面流場中勢函數(shù)存在的條件為無旋流動(dòng)，在該平面流場中 0) 1 )( 1 ( 2 1 r z v r rv rr 所以存在勢函數(shù)。所以存在勢函數(shù)。 而流函數(shù)存在的條件為連續(xù)性方程只有兩項(xiàng)的平而流函數(shù)存在的條件為連續(xù)性方程只有兩項(xiàng)的平 面流。面流。 0 1)(1 v rr rv r r 極坐標(biāo)系下連續(xù)性方程為極坐標(biāo)系下連續(xù)性方程為 該流場顯然滿足要求，因此存在流函數(shù)。該流場顯然滿足要求，因此存在流函數(shù)。 勢函數(shù)為勢函數(shù)為 22 ln 2 ln 2 2 yx q r q r drq rdvdrv vv v r 流函數(shù)為流函數(shù)為

25、 )arctan( 22 2 x yqq d q rdvdrv vv v r 流函數(shù)的等值線是流函數(shù)的等值線是為常數(shù)的射線族。為常數(shù)的射線族。 匯是流體從無窮遠(yuǎn)處均勻地流向一點(diǎn)。匯是流體從無窮遠(yuǎn)處均勻地流向一點(diǎn)。 0 0 v q ，是源，是源 ，是匯，是匯 y x 如果如果xoy面是無限大的水平面，由伯努利方程有面是無限大的水平面，由伯努利方程有 pvp r 2 2 1 式中，式中，p是在是在r時(shí)的壓強(qiáng)，時(shí)的壓強(qiáng)， 該處速度為零。將速度表達(dá)式該處速度為零。將速度表達(dá)式 帶入上式帶入上式 22 2 1 8r q pp v y x 可見，壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低，可見，壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低， 設(shè)設(shè)r=r0時(shí)，時(shí)，p=0，則，則 p q r v 2 2 0 8 三、簡單平面勢流的疊加三、簡單平面勢流的疊加 在勢流理論中，經(jīng)常通過解拉普拉斯方程或利用在勢流理論中，經(jīng)常通過解拉