（北京專用）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第八節(jié) 直線與圓錐曲線課件 文

1、第八節(jié)直線與圓錐曲線 總綱目錄 教材研讀 1.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷 考點(diǎn)突破 2.直線與圓錐曲線相交的弦長問題 3.弦AB的中點(diǎn)與直線AB斜率的關(guān)系 考點(diǎn)二弦長問題考點(diǎn)二弦長問題 考點(diǎn)一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問題考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問題 1.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷 判斷直線l與圓錐曲線r的位置關(guān)系時,通常將直線l的方程Ax+By+C=0 (A,B不同時為0)與圓錐曲線r的方程F(x,y)=0聯(lián)立,消去y(也可以消去x) 得到一個關(guān)于變量x(或變量y)的方程,即聯(lián)立消去y(或x) 后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (

2、1)當(dāng)a0時,若0,則直線l與曲線r相交;若=0,則直線l 與曲線r相切;若b0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是+=1. (2)過橢圓+=1(ab0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦所在直 線方程是+=1. (3)橢圓+=1(ab0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是A2a2+B2b2=C2. 2 2 x a 2 2 y b 0 2 x x a 0 2 y y b 2 2 x a 2 2 y b 0 2 x x a 0 2 y y b 2 2 x a 2 2 y b 圓錐曲線的切線方程圓錐曲線的切線方程 2.雙曲線的切線方程 (1)雙曲線-=1(a0,b0)上一點(diǎn)P(x0,y

3、0)處的切線方程是-=1. (2)過雙曲線-=1(a0,b0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦所 在直線方程是-=1. (3)雙曲線-=1(a0,b0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是A2a2-B2b2= C2. 2 2 x a 2 2 y b 0 2 x x a 0 2 y y b 2 2 x a 2 2 y b 0 2 x x a 0 2 y y b 2 2 x a 2 2 y b 3.拋物線的切線方程 (1)拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是y0y=p(x+x0). (2)拋物線y2=2px(p0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦所在直

4、線方 程是y0y=p(x+x0). (3)拋物線y2=2px(p0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是pB2=2AC. 直線l:f(x,y)=0,圓錐曲線r:F(x,y)=0,l與r有兩個不同的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y 2),則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的兩組解,方程組消元后化為 關(guān)于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判別式=b2-4ac, 應(yīng)有0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的兩個根. 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-,x1x2=,以此結(jié)合 弦長公式可整體代入求值.A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|

5、=|x1-x2|= (其中k為直線l的斜率),也可以寫成關(guān)于y的形式, 即|AB|=|y1-y2|=(k0).特殊地,如果 ( , )0, ( , )0 f x y F x y b a c a 1212 , bc yyy y aa 或 2 1k 2 1k 2 1212 ()4xxx x 2 1 1 k 2 1 1 k 2 1212 ()4yyy y 2.直線與圓錐曲線相交的弦長問題直線與圓錐曲線相交的弦長問題 直線l過拋物線的焦點(diǎn),拋物線方程以y2=2px(p0)為例,那么|AB|= x1+x2+p. 3.弦弦AB的中點(diǎn)與直線的中點(diǎn)與直線AB斜率的關(guān)系斜率的關(guān)系 (1)已知AB是橢圓+=1(a

6、b0)的一條弦,其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0).運(yùn) 用點(diǎn)差法求直線AB的斜率,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),A,B都在橢圓上, 兩式相減得+=0, +=0, =-=-,故kAB=-. (2)已知AB是雙曲線-=1(a0,b0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x 2 2 x a 2 2 y b 22 11 22 22 22 22 1, 1, xy ab xy ab 22 12 2 xx a 22 12 2 yy b 1212 2 ()()xxxx a 1212 2 ()()yyyy b 12 12 yy xx 2 12 2 12 () () bxx ayy

7、 2 0 2 0 b x a y 2 0 2 0 b x a y 2 2 x a 2 2 y b 2,弦中點(diǎn)M(x0,y0),則與(1)同理可知kAB=. (3)已知AB是拋物線y2=2px(p0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中 點(diǎn)M(x0,y0). 則兩式相減得-=2p(x1-x2), (y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2), =,即kAB=. 2 0 2 0 b x a y 2 11 2 22 2, 2, ypx ypx 2 1 y 2 2 y 12 12 yy xx 12 2p yy 0 p y 0 p y 1.直線y=kx-k+1與橢圓+=1的

8、位置關(guān)系為() A.相交B.相切C.相離D.不確定 2 9 x 2 4 y 答案答案A由于直線y=kx-k+1=k(x-1)+1過定點(diǎn)(1,1),又(1,1)在橢圓內(nèi),故 直線與橢圓必相交. A 2.直線y=x+3與雙曲線-=1的交點(diǎn)個數(shù)是() A.1B.2C.1或2D.0 b a 2 2 x a 2 2 y b 答案答案A因?yàn)橹本€y=x+3與雙曲線的漸近線y=x平行,所以它與雙 曲線只有1個交點(diǎn). b a b a A 3.雙曲線C:-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,直線l過焦點(diǎn)F,且斜率為k,則 直線l與雙曲線C的左,右兩支都相交的充要條件是() A.k-B.k或k-D.-k 2 2 x a

9、 2 2 y b b a b a b a b a b a b a 答案答案D由雙曲線的漸近線的幾何意義知-k0)的焦點(diǎn),直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=6,則p的值為() A.B.C.1D.2 1 2 3 2 答案答案B由得x2-(2m+2p)x+m2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2 =2m+2p,又直線l:x-y-m=0經(jīng)過拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn),-0- m=0,解得m=,又|AB|=x1+x2+=x1+x2+p=2m+3p=4p=6,p=,故選B. 2 0, 2 xym ypx ,0 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p3 2 B 5.過

10、點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點(diǎn),這樣的直線有 條. 答案答案3 3 解析解析當(dāng)過點(diǎn)(0,1)的直線的斜率不存在時,方程為x=0,與拋物線y2=4x 僅有一個公共點(diǎn),符合題意. 當(dāng)過點(diǎn)(0,1)的直線的斜率存在時,設(shè)為k,此時直線為y=kx+1,由 得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*) 2 1, 4 ykx yx 當(dāng)k=0時,方程(*)只有一解,即直線與拋物線只有一個公共點(diǎn),符合題意, 當(dāng)k0時,由=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直線y=x+1與拋物線相切,綜上, 符合條件的直線有3條. 典例典例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:+=1(ab0

11、)的左焦 點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上. (1)求橢圓C1的方程; (2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程. 2 2 x a 2 2 y b 考點(diǎn)一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用考點(diǎn)一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破 解析解析(1)由題意得a2-b2=1,b=1,則a=, 橢圓C1的方程為+y2=1. (2)易得直線l的斜率存在且不為零,則可設(shè)l的方程為y=kx+b(k0). 2 2 2 x 由消去y,整理得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,1=16k2b2-8(b2-1)(2k2 +1)=16k2+8-8

12、b2=0, 即b2=2k2+1. 由消去y,整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0, 2 2 1, 2 x y ykxb 2 4 ,yx ykxb 2=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb=0,即kb=1, 由得b=,代入得=2k2+1, 22 21, 1. bk kb 1 k 2 1 k 即2k4+k2-1=0. 令t=k2,則2t2+t-1=0, 解得t1=或t2=-1(舍), 或 l的方程為y=x+或y=-x-. 1 2 2 , 2 2 k b 2 , 2 2. k b 2 2 2 2 2 2 方法技巧方法技巧 (1)判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個數(shù)時,可直接求解相應(yīng)方程組得到交

13、 點(diǎn)坐標(biāo),也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來確定,需注意利 用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0. (2)依據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)時,聯(lián)立方程并消元,得到一 元方程,此時注意觀察方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,若為0,則方程為一次 方程;若不為0,則將方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解. 1-1若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點(diǎn),那么k的取 值范圍是() A.B. C.D. 1515 , 33 15 0, 3 15 ,0 3 15 , 1 3 D 答案答案D由消去y,得(1-k2)x2-4kx-10=0, 直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn), 解得-kb0)

14、的離心 率是,且過點(diǎn)P(,1).直線y=x+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn). (1)求橢圓C的方程; (2)求PAB的面積的最大值. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 2 2 2 考點(diǎn)二弦長問題考點(diǎn)二弦長問題 解析解析(1)設(shè)橢圓C:+=1(ab0)的半焦距為c. 因?yàn)闄E圓C的離心率是, 所以=1-=,即a2=2b2. 由解得 所以橢圓C的方程為+=1. (2)將y=x+m代入+=1, 2 2 x a 2 2 y b 2 2 2 2 c a 22 2 ab a 2 2 b a 1 2 22 22 2, 21 1, ab ab 2 2 4, 2. a b 2 4 x 2 2 y 2 2 2 4

15、 x 2 2 y 消去y,整理得x2+mx+m2-2=0. 2 令=2m2-4(m2-2)0,解得-2mb0)的離心率為 ,過橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB的斜率為0 時,AB=4. (1)求橢圓的方程; (2)若|AB|+|CD|=,求直線AB的方程. 2 2 x a 2 2 y b 1 2 48 7 解析解析(1)由題意知e=,2a=4. 又a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1, 所以橢圓方程為+=1. (2)當(dāng)兩條弦中的一條弦所在直線的斜率為0時,另一條弦所在直線的 斜率不存在,由題意知|AB|+|CD|=7,不滿足條件. 當(dāng)兩條弦所在直線的斜率均存在且不為0

16、時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x -1),A(x1,y1),B(x2,y2), 則直線CD的方程為y=-(x-1). c a 1 2 3 2 4 x 2 3 y 1 k 將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 則x1+x2=,x1x2=, 所以|AB|=|x1-x2| =. 同理,|CD|=, 所以|AB|+|CD|=+ =,解得k=1, 所以直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0. 2 2 8 34 k k 2 2 412 34 k k 2 1k 2 1k 2 1212 ()4xxx x 2 2 12(1) 34 k k 2 2 1 1

17、21 4 3 k k 2 2 12(1) 34 k k 2 2 12(1) 34 k k 2 2 12(1) 34 k k 22 22 84(1) (34)(34) k kk 48 7 典例典例3拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,直線x-y=0與拋物線C交于 A,B兩點(diǎn),若P(1,1)為線段AB的中點(diǎn),則拋物線C的方程為() A.y=2x2B.y2=2x C.x2=2yD.y2=-2x 考點(diǎn)三考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問題中點(diǎn)弦問題 解析解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程為y2=2px(p0),則兩式相 減可得2p=(y1+y2)=kAB2=2,可得p=1, 拋物線C的方程為y2=2x. 2 11 2 22 2, 2, ypx ypx 12 12 yy xx 答案答案B B 方法技巧方法技巧 處理中點(diǎn)弦問題的常用方法 (1)點(diǎn)差法:設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式 中含有x1+x2,y1+y2,三個未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的 斜率,借用中點(diǎn)公式即可求得斜率. (2)根與系數(shù)的關(guān)系:聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,轉(zhuǎn)化為一元二次方程 后由根與系數(shù)的關(guān)系求解. 12 12 yy xx 3-1已知