初中數(shù)學幾何《旋轉(zhuǎn)模型費馬點》壓軸題含答案解析

旋轉(zhuǎn)模型——費馬點壓軸好題（解析版）12023BAC＝AB＝4AC＝P在△ABC繞著點A針方向旋轉(zhuǎn)°得到△AEFAEPBPC的最小值為（）A10B．C．D．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；軸對稱﹣最短路線問題．【分析】BF，過點B作BDAF，與的延長線交于點D，由旋轉(zhuǎn)可知∠＝∠CAF＝°，APAE，PC＝EFAC＝＝6，于是可得△APE為等邊三角形，進而得到AE++＝PEPBEF≥BF，利用含30度的直角三角形性質(zhì)可得AD＝AB＝，＝AD＝，最后利用勾股定理求出的長即可．【解答】解：如圖，連接BF，過點B作BD⊥AF的延長線交于點D，則∠ADB90∵將△APC繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)°得到△AEF，∴∠CAF＝AP＝AEPC＝EFACAF＝6，∴△APE為等邊三角形，∴AEPE，∴AEPBPC＝PEPBEF，∵PBPEEF≥BF，∴當點、、E在同一條直線上時，PBPEEF取得最小值為BF+PB取得最小值為BF，∵∠BAC＝°＝∠CAE，∴∠BAD60∴∠ABD30∴AD＝AB＝，＝AD＝，∴DFADAF＝＝8，在RtBDF中，BF＝＝．＝，∴AEPBPC取得最小值為故選：．【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含度角的直角三角形性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2（2023ABC內(nèi)存在一點P們稱這個點為費馬點，此時+PBPC的值為費馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費馬點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠＝120P為銳角△3PC＝ABC60為7+2．【考點】軸對稱﹣最短路線問題；數(shù)學常識．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【解答】如圖：∵∠APB＝∠BPC＝∠＝120，∠ABC60∴∠1+3＝°，∠1+2＝°，∠2+∠＝∴∠＝∠，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB∴＝，即＝12∴PB＝2．∴+PBPC＝7+2故答案為：7+2．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定和性質(zhì)．3．（2022秋?大冶市期末）如圖，D是等邊三角形ABC外一點，連接AD，BDCD，已知BD＝CD＝3，則當線段的長度最小時，①BDC＝°②的最小值是；5．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】以為邊向外作等邊三角形BDE接CEABDCBECEADD，E三點共線時，有最小值，即可得到的最小值為，此時∠BDC＝°．【解答】解：如圖所示，以為邊向外作等邊三角形BDE，連接CE，∵△BDE，△均為等邊三角形，∴BEBD，＝BC，∠ABC＝∠DBE＝°，∴∠ABDCBE，在△ABD和△CBE，∴△ABDCBE（），∴CE＝，∵BEBDDE＝，＝3，∴當CD，E三點共線時，有最小值，∴CEDECD＝﹣3，∴5，此時∠BDC°．故答案為：①°；②．【點評】鍵是以為邊向外作等邊三角形BDE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．4．（2023春?沈陽期中）如圖，在平面直角坐標系中，點，點B分別是y軸，x軸正半軸上的點，且＝OB，△是等邊三角形，且點C在第二象限，M為∠AOB平分線上的動點，將OMO°得到ON，連接CN，AM，．（1）求證：△AMO≌△CNO；（2A點坐標為（，）；①當AMBM的值最小時，請直接寫出點M的坐標；②當AMBMOM的值最小時，求出點M的坐標，并說明理由．【考點】幾何變換綜合題．【分析】1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OMON，∠NOA＝°，進而可求得∠AOMCON45OA＝OC，依據(jù)“SAS”即可判定△AMO和△CNO全等；（2）首先確定當AMBM為最小時，點A、B在同一條直線上，此時由＝OB4OM平分∠得出點M的中點，進而可求出點M的坐標；（3MNM作ME⊥x軸于點的垂直平分線交x軸于點＝CN轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△OMNAM+BM+OMCNBM+AM+BMOM是+BM+的值最小，此時點B，，C在同一條直線上，可由∠OMB＝120°，BOM＝°，求出∠OBM＝MFE＝MEaOE＝MF＝BF2a，OBOEEFFB＝4即可求出a的值，從而可求得點M的坐標．【解答】1）證明：∵OM平分∠AOB，∴∠AOM＝°，由旋轉(zhuǎn)的意義可知：∠MON＝°，OMON，∴∠NOA＝∠MON﹣∠AOM＝°﹣°＝°，∵△AOC為等邊三角形，∴OAOC，∠COA＝°，∴∠CON＝∠COA﹣∠NOA＝°﹣°＝°，∴∠AOM＝∠CON，在△AMO和△，∴△AMO≌△CNO（）．（2）解：點M的坐標為（2，），理由如下：∵點M為∠AOB平分線上的動點，∴當AMBM為最小時，點、MB在同一條直線上，當點A、、B在同一條直線上時，∵點A的坐標為（，），OAOB，∴OAOB＝，∵OM平分∠AOB，∴點M為為的中點，∴點M的坐標為（，2（3）解：點M的坐標為，理由如下：連接MN，過點M作⊥x軸于點E，作線段BM的垂直平分線交x軸于點F，則BF＝MF，由（）可知：△AMO≌△CNO，∴AM＝CN，由轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OMON，∠MON60∴△OMN為等邊三角形，∴OM＝MN，∴AM+BMOM＝CNBMMN，當AM+BMOM的值最小時，就是CNBM+的值為最小，當+BM+的值為最小時，點B，，C在同一條直線上，∴∠OMB＝180°﹣°＝120∵OM平分∠AOB，∴BOM45∴∠OBM＝180°﹣°﹣120°＝°，又MF＝BF，∴∠FMB＝∠OBM＝∴∠＝∠FMB∠OBM＝°，設ME＝，則OE＝，在RtMEF中，ME，∠MFE＝∴MF＝2ME＝a，由勾股定理得：，∴FBFM＝a，∴OBOEEFFB＝4，即：，解得：，∴點M的坐標為．性質(zhì)等知識點，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，理解兩點之間線段最短．52023ABCABC＝D為△ABCAD，過點A作AE⊥E，過點D作DHAB，垂足為H，HD＝BC．（1）求證：AEAD；（2圖2GGDHGD＝∠ADHF為FEFEAE證：EFGF＝GD；（K在△GHDKGKHKGHKDH的值．【考點】三角形綜合題．【分析】1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證得△EAB≌△ADH（），即可推出AEAD；（2DGDNEF，連接，F(xiàn)N與MSAS可證得△AEF≌△ADN，得出∠EAF＝∠DANAFAN，進而可得△AFN是等腰直角三角形，再證得AM平分∠，利用等腰三角形的性質(zhì)可得AMFN，F(xiàn)M＝MN垂直平分FN，推出GF＝GN，即可證得結(jié)論；（GK交HD于DK交GH于KGHD+最小時，∠GKDDKH＝∠GKH＝120°，再運用三角形外角性質(zhì)即可求得答案．【解答】1）證明：如圖1，∵△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝°，ABBC，∵HD＝BC，∴HD＝AB，∵AEAD，∴∠＝90∴∠EAB+BAD＝°，∵DH⊥AB，∴∠＝90∴∠BADHDA＝°，∴∠EAB＝∠HDA，在△EAB和△中，，∴△EAB≌△ADH（），AE＝；（2）證明：如圖，在DGDNEF，連接ANFN，與交于，∵DH⊥AB，∴∠＝∠DHG＝°，∴∠HGD∠HDG90∵∠HGD＝∠ADH，∴∠ADHHDG＝°，即∠ADG＝∵FEAE，∴∠AEF90°，∴∠AEF＝∠ADH，在△AEF和△，∴△AEF≌△ADN（∴∠EAF＝∠DANAF＝AN，∵AEAD，∴∠EAD90即∠EANDAN90∴∠EAN∠EAF＝°，即∠90∴△AFN是等腰直角三角形，∵△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝°，∴∠BAC＝∠BCA＝45即∠＝°，∴∠NAM＝°＝∠，∴AM平分∠，∴AM⊥FNFMMN，即垂直平分FN，∴GFGN，∵+＝GD，∴EFGFGD；（3）解：如圖3，延長GK交HD于SDK交GH于，∵點KGHD內(nèi)，KGKH的值最小，∴∠GKD＝∠DKH＝∠GKH120°，∴∠KGH+KHG＝∠HKS＝60°，∠KHD∠＝∠HKT＝∴∠＝∠HKS+HKT＝120°，∵∠KHG+KHD＝∠DHG90∴∠KGH+KHG∠+KDH＝120∴∠KGH+KDH＝120°﹣（∠KHG∠）＝120°﹣90°＝°．等三角形的判定和性質(zhì)，費馬點模型，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．6．（2024?銅梁區(qū)校級模擬）已知△ABC中AB＝BC，點D和點E是平面內(nèi)兩點，連接BDDE和BE，∠BED＝90°．（1）如圖1＝，∠ABC＝DBE＝，求AC的長度；（和CDF為G為EF和EFBGBAC＝∠DBE；（3ABC＝°，AB＝2的面積．【考點】三角形綜合題．【分析】1）過點B作BH交H，證明△AHB≌△BEDAAS）即可求解；（的中點TTETF出△TFE≌△TBG（SSS），再證明△TBE∽△TFG，得出∠EBTGFT，進而即可得證；（3BDC繞點B順時針轉(zhuǎn)°得到△BDAABD繞點B°得到△BADAA，GFDCGCEE在根據(jù)O為圓心，為半徑的圓上運動，由點到圓上的距離關(guān)系，得出當AE取得最大值時，E在的延長線上，連接OFE作ES于點，進而解直角三角形，求得的長，根據(jù)三角形面積公式，即可求解．【解答】1）解：如圖所示，過點B作BH交AC于點H，∵△ABC中，ABBC，∴∠AHB90°，∠ABC＝2ABH，AC2AH，∵∠BED90°，∠ABC＝2D，∴∠AHB＝∠BED，∠ABHD，又∵BD＝BA，∴△AHBBEDAAS∴AHBE＝，∴AC＝AH4；（2）解：如圖所示，取T，連接TE、、TGFG，又∵FG是ADDC，∴，，F(xiàn)GACFTAB，∵ABBC，∴FT＝TG，∵∠BED90°，T為的中點，∴TE＝BT，在△和△TBG中，，∴△TFE≌△TBG（SSS∴∠FTE＝∠GTB，∴∠FTE﹣∠GTE＝∠GTB﹣∠GTE，即∠FTG＝∠ETB，又∵FTTG，TEEB，∴△TBE∽△TFG，∴∠EBT＝∠GFT，∵FGACFTAB，∴∠TFB＝∠BAC，∴∠BACDBE；（3）解：∵△ABC中，ABBC，∠ABC60∴△ABC是等邊三角形，如圖所示，將△BDC繞點B順時針轉(zhuǎn)°得到△BD′，將△ABDB順時針旋轉(zhuǎn)°得到△BAD，連接AA，∴BDBDDBD＝°，AB＝ABABAC，則△DBD是等邊三角形，△AAB是等邊三角形，∵CDAD，AA'AC，取BD，BA的中點，G，則FG＝AD'＝∵F是的中點，，∴DFBD，，∴，∴當GFDC四點共線時，GC最小，此時如圖所示，∴GCBD，∵ADGF，∴AD⊥'D'，∴△AD'B是直角三角形，∴△ABD是直角三角形，∴ADBD，∵∠BDD＝°，∴∠DDA＝°，∴，設＝aAD＝，AD2a，在RtADD'，∵△BDD是等邊三角形，∴，在RtABD中，AB＝，222∴＝，∴，解得：∴，，，取的中點O，連接AO，OE，∵∠BED90∴點E在O為圓心，為半徑的圓上運動，∴，當取得最大值時，E在的延長線上，連接OF，過點E作ES⊥S，在Rt，∴，∴，∴SE＝∠SOEOE＝∠AODOE＝∴△BDE的面積為，．問題，點與圓的位置關(guān)系，直徑所對的圓周角是直角；熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7．（2023春?渠縣校級期末）如圖，D、、F是等邊三角形ABC中不共線三點，連接ADBE、，三條線段兩兩分別相交于D、、．已知AFBD，∠EDF＝60（1）證明：EFDF；（2圖2M是CMCM為邊向右作△CMGEGEG＝+EMCM＝GM，∠GMC＝∠GEC，證明：CGCM．（3）如圖，在（）的條件下，當點MD重合時，若⊥，GD4，請問在△內(nèi)部是否存在點PP到△三個頂點距離之和最小，若存在請直接寫出距離之和的最小值；若不存在，試說明理由．【考點】三角形綜合題．【分析】1）可先推出∠CAF＝∠ABD，再證△ACF≌△BAD，即可得出結(jié)論；（2上截取ENEMMNEMNNCM≌△EGMCMG是等邊三角形，從而問題得證；（3）先求得AD＝，將△DPCD°至△DQG，連接AG，可得△是等邊三角形，于是++CPAPPQ+QG，故當、、QG共線時，AP++最小＝AG，最后解斜三角形ADG而求得．【解答】1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴ACAB，∠ACB＝60°，∴∠CAFDAB＝∵∠EDF60∴∠DAB+ABD60∴∠CAF＝∠ABD，∵AFBD，∴△ACF≌△BAD（∴CFAD，∵EFDF，∴EFDF；（2）證明：如圖，由（）知，EF＝DF，∠EDF60∴△DEF是等邊三角形，∴∠DEF60在上截取ENEMMN，∴CNCEEN＝+EM＝EG，∴△EMN是等邊三角形，∴∠CNM＝°，∵∠GMC＝∠GEC，∠＝∠，∴∠NCM＝∠EGM，∵CMGM，∴△NCM≌△EGMSAS），∴∠MEG＝∠CNM60∴∠CEG180°﹣∠MEG﹣∠FED60∴∠GME＝∠GEC＝∵CMGM，∴△CMG是等邊三角形，∴CGCM；（3）解：如圖3，由（）（）知，△和△是等邊三角形，∴∠CFD60CDGD4，∵CDAD，∴∠CDF90∴ADCF＝＝，將△DPC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)°至△DQGAG，∴ADDQCPQG，∴△PDQ是等邊三角形，∴PDPQ，∴APPDCP＝++QG，∴當APQG共線時，APPD最?。紸G，作GH⊥于H，在RtDGHGH＝DG＝，DH＝DG＝2，∴AHADDH＝+2＝，∴AG＝＝＝，∴APPD的最小值是．是掌握“費馬點”模型及“截長補短”等題型．8.定義：在一個等腰三角形底邊的高線上所有點中，到三角形三個頂點距離之和最小的點叫做這個等腰三角形的“近點”，“近點”到三個頂點距離之和叫做這個等腰三角形的“最近值”．【基礎鞏固】（1圖1，在等腰Rt△ABCBAC=90°，AD為BC邊上的高，已知AD上一點E滿足∠DEC=60°，AC=4√6，求AE+BE+CE=；【嘗試應用】（22，等邊三角形ABC邊長為4√3E為高線AD上的點，將三角形AEC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG，連接EF，請你在此基礎上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，過AB的中點E作AB垂線交CD的延長線于點F，連接AC、DB，已知∠BDA=75°，AB=6，求三角形AFB“最近值”的平方．【分析】1）△°角直角三角形，可求出DECE的長度，進而得出結(jié)果．（2AEF為等邊三角形，可得AE+BE+CE=EF+BE+GF，故當BE、G四點共線時，EF+BE+GF最小，進而可得∠AEB=∠AEC=∠BEC=120°，即可求出結(jié)果．（3DM⊥AB，可知EF=DM=1/2AB，進而可推出△ABF為等腰直角三角形，結(jié)合（2）中的結(jié)論，當點P滿足：∠APF=BPF=APB