初中數(shù)學(xué)幾何《旋轉(zhuǎn)模型費(fèi)馬點(diǎn)》壓軸題含答案解析_第1頁
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旋轉(zhuǎn)模型——費(fèi)馬點(diǎn)壓軸好題(解析版)12023BAC=AB=4AC=P在△ABC繞著點(diǎn)A針方向旋轉(zhuǎn)°得到△AEFAEPBPC的最小值為()A10B.C.D.【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題.【分析】BF,過點(diǎn)B作BDAF,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,由旋轉(zhuǎn)可知∠=∠CAF=°,APAE,PC=EFAC==6,于是可得△APE為等邊三角形,進(jìn)而得到AE++=PEPBEF≥BF,利用含30度的直角三角形性質(zhì)可得AD=AB=,=AD=,最后利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可.【解答】解:如圖,連接BF,過點(diǎn)B作BD⊥AF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,則∠ADB90∵將△APC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)°得到△AEF,∴∠CAF=AP=AEPC=EFACAF=6,∴△APE為等邊三角形,∴AEPE,∴AEPBPC=PEPBEF,∵PBPEEF≥BF,∴當(dāng)點(diǎn)、、E在同一條直線上時(shí),PBPEEF取得最小值為BF+PB取得最小值為BF,∵∠BAC=°=∠CAE,∴∠BAD60∴∠ABD30∴AD=AB=,=AD=,∴DFADAF==8,在RtBDF中,BF==.=,∴AEPBPC取得最小值為故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含度角的直角三角形性質(zhì)、勾股定理,熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.2(2023ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P們稱這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn),此時(shí)+PBPC的值為費(fèi)馬距離.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn):在銳角△ABC中,費(fèi)馬點(diǎn)P滿足∠APB=∠BPC=∠=120P為銳角△3PC=ABC60為7+2.【考點(diǎn)】軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題;數(shù)學(xué)常識(shí).【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì),即可求解.【解答】如圖:∵∠APB=∠BPC=∠=120,∠ABC60∴∠1+3=°,∠1+2=°,∠2+∠=∴∠=∠,∠2=∠3,∴△BPC∽△APB∴=,即=12∴PB=2.∴+PBPC=7+2故答案為:7+2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題,解決本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定和性質(zhì).3.(2022秋?大冶市期末)如圖,D是等邊三角形ABC外一點(diǎn),連接AD,BDCD,已知BD=CD=3,則當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí),①BDC=°②的最小值是;5.【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系;全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).【分析】以為邊向外作等邊三角形BDE接CEABDCBECEADD,E三點(diǎn)共線時(shí),有最小值,即可得到的最小值為,此時(shí)∠BDC=°.【解答】解:如圖所示,以為邊向外作等邊三角形BDE,連接CE,∵△BDE,△均為等邊三角形,∴BEBD,=BC,∠ABC=∠DBE=°,∴∠ABDCBE,在△ABD和△CBE,∴△ABDCBE(),∴CE=,∵BEBDDE=,=3,∴當(dāng)CD,E三點(diǎn)共線時(shí),有最小值,∴CEDECD=﹣3,∴5,此時(shí)∠BDC°.故答案為:①°;②.【點(diǎn)評(píng)】鍵是以為邊向外作等邊三角形BDE,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論.4.(2023春?沈陽期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn)B分別是y軸,x軸正半軸上的點(diǎn),且=OB,△是等邊三角形,且點(diǎn)C在第二象限,M為∠AOB平分線上的動(dòng)點(diǎn),將OMO°得到ON,連接CN,AM,.(1)求證:△AMO≌△CNO;(2A點(diǎn)坐標(biāo)為(,);①當(dāng)AMBM的值最小時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);②當(dāng)AMBMOM的值最小時(shí),求出點(diǎn)M的坐標(biāo),并說明理由.【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.【分析】1)先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OMON,∠NOA=°,進(jìn)而可求得∠AOMCON45OA=OC,依據(jù)“SAS”即可判定△AMO和△CNO全等;(2)首先確定當(dāng)AMBM為最小時(shí),點(diǎn)A、B在同一條直線上,此時(shí)由=OB4OM平分∠得出點(diǎn)M的中點(diǎn),進(jìn)而可求出點(diǎn)M的坐標(biāo);(3MNM作ME⊥x軸于點(diǎn)的垂直平分線交x軸于點(diǎn)=CN轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△OMNAM+BM+OMCNBM+AM+BMOM是+BM+的值最小,此時(shí)點(diǎn)B,,C在同一條直線上,可由∠OMB=120°,BOM=°,求出∠OBM=MFE=MEaOE=MF=BF2a,OBOEEFFB=4即可求出a的值,從而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo).【解答】1)證明:∵OM平分∠AOB,∴∠AOM=°,由旋轉(zhuǎn)的意義可知:∠MON=°,OMON,∴∠NOA=∠MON﹣∠AOM=°﹣°=°,∵△AOC為等邊三角形,∴OAOC,∠COA=°,∴∠CON=∠COA﹣∠NOA=°﹣°=°,∴∠AOM=∠CON,在△AMO和△,∴△AMO≌△CNO().(2)解:點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,),理由如下:∵點(diǎn)M為∠AOB平分線上的動(dòng)點(diǎn),∴當(dāng)AMBM為最小時(shí),點(diǎn)、MB在同一條直線上,當(dāng)點(diǎn)A、、B在同一條直線上時(shí),∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,),OAOB,∴OAOB=,∵OM平分∠AOB,∴點(diǎn)M為為的中點(diǎn),∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,2(3)解:點(diǎn)M的坐標(biāo)為,理由如下:連接MN,過點(diǎn)M作⊥x軸于點(diǎn)E,作線段BM的垂直平分線交x軸于點(diǎn)F,則BF=MF,由()可知:△AMO≌△CNO,∴AM=CN,由轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:OMON,∠MON60∴△OMN為等邊三角形,∴OM=MN,∴AM+BMOM=CNBMMN,當(dāng)AM+BMOM的值最小時(shí),就是CNBM+的值為最小,當(dāng)+BM+的值為最小時(shí),點(diǎn)B,,C在同一條直線上,∴∠OMB=180°﹣°=120∵OM平分∠AOB,∴BOM45∴∠OBM=180°﹣°﹣120°=°,又MF=BF,∴∠FMB=∠OBM=∴∠=∠FMB∠OBM=°,設(shè)ME=,則OE=,在RtMEF中,ME,∠MFE=∴MF=2ME=a,由勾股定理得:,∴FBFM=a,∴OBOEEFFB=4,即:,解得:,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為.性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法,理解兩點(diǎn)之間線段最短.52023ABCABC=D為△ABCAD,過點(diǎn)A作AE⊥E,過點(diǎn)D作DHAB,垂足為H,HD=BC.(1)求證:AEAD;(2圖2GGDHGD=∠ADHF為FEFEAE證:EFGF=GD;(K在△GHDKGKHKGHKDH的值.【考點(diǎn)】三角形綜合題.【分析】1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證得△EAB≌△ADH(),即可推出AEAD;(2DGDNEF,連接,F(xiàn)N與MSAS可證得△AEF≌△ADN,得出∠EAF=∠DANAFAN,進(jìn)而可得△AFN是等腰直角三角形,再證得AM平分∠,利用等腰三角形的性質(zhì)可得AMFN,F(xiàn)M=MN垂直平分FN,推出GF=GN,即可證得結(jié)論;(GK交HD于DK交GH于KGHD+最小時(shí),∠GKDDKH=∠GKH=120°,再運(yùn)用三角形外角性質(zhì)即可求得答案.【解答】1)證明:如圖1,∵△ABC為等腰直角三角形,∠ABC=°,ABBC,∵HD=BC,∴HD=AB,∵AEAD,∴∠=90∴∠EAB+BAD=°,∵DH⊥AB,∴∠=90∴∠BADHDA=°,∴∠EAB=∠HDA,在△EAB和△中,,∴△EAB≌△ADH(),AE=;(2)證明:如圖,在DGDNEF,連接ANFN,與交于,∵DH⊥AB,∴∠=∠DHG=°,∴∠HGD∠HDG90∵∠HGD=∠ADH,∴∠ADHHDG=°,即∠ADG=∵FEAE,∴∠AEF90°,∴∠AEF=∠ADH,在△AEF和△,∴△AEF≌△ADN(∴∠EAF=∠DANAF=AN,∵AEAD,∴∠EAD90即∠EANDAN90∴∠EAN∠EAF=°,即∠90∴△AFN是等腰直角三角形,∵△ABC為等腰直角三角形,∠ABC=°,∴∠BAC=∠BCA=45即∠=°,∴∠NAM=°=∠,∴AM平分∠,∴AM⊥FNFMMN,即垂直平分FN,∴GFGN,∵+=GD,∴EFGFGD;(3)解:如圖3,延長(zhǎng)GK交HD于SDK交GH于,∵點(diǎn)KGHD內(nèi),KGKH的值最小,∴∠GKD=∠DKH=∠GKH120°,∴∠KGH+KHG=∠HKS=60°,∠KHD∠=∠HKT=∴∠=∠HKS+HKT=120°,∵∠KHG+KHD=∠DHG90∴∠KGH+KHG∠+KDH=120∴∠KGH+KDH=120°﹣(∠KHG∠)=120°﹣90°=°.等三角形的判定和性質(zhì),費(fèi)馬點(diǎn)模型,正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.6.(2024?銅梁區(qū)校級(jí)模擬)已知△ABC中AB=BC,點(diǎn)D和點(diǎn)E是平面內(nèi)兩點(diǎn),連接BDDE和BE,∠BED=90°.(1)如圖1=,∠ABC=DBE=,求AC的長(zhǎng)度;(和CDF為G為EF和EFBGBAC=∠DBE;(3ABC=°,AB=2的面積.【考點(diǎn)】三角形綜合題.【分析】1)過點(diǎn)B作BH交H,證明△AHB≌△BEDAAS)即可求解;(的中點(diǎn)TTETF出△TFE≌△TBG(SSS),再證明△TBE∽△TFG,得出∠EBTGFT,進(jìn)而即可得證;(3BDC繞點(diǎn)B順時(shí)針轉(zhuǎn)°得到△BDAABD繞點(diǎn)B°得到△BADAA,GFDCGCEE在根據(jù)O為圓心,為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),由點(diǎn)到圓上的距離關(guān)系,得出當(dāng)AE取得最大值時(shí),E在的延長(zhǎng)線上,連接OFE作ES于點(diǎn),進(jìn)而解直角三角形,求得的長(zhǎng),根據(jù)三角形面積公式,即可求解.【解答】1)解:如圖所示,過點(diǎn)B作BH交AC于點(diǎn)H,∵△ABC中,ABBC,∴∠AHB90°,∠ABC=2ABH,AC2AH,∵∠BED90°,∠ABC=2D,∴∠AHB=∠BED,∠ABHD,又∵BD=BA,∴△AHBBEDAAS∴AHBE=,∴AC=AH4;(2)解:如圖所示,取T,連接TE、、TGFG,又∵FG是ADDC,∴,,F(xiàn)GACFTAB,∵ABBC,∴FT=TG,∵∠BED90°,T為的中點(diǎn),∴TE=BT,在△和△TBG中,,∴△TFE≌△TBG(SSS∴∠FTE=∠GTB,∴∠FTE﹣∠GTE=∠GTB﹣∠GTE,即∠FTG=∠ETB,又∵FTTG,TEEB,∴△TBE∽△TFG,∴∠EBT=∠GFT,∵FGACFTAB,∴∠TFB=∠BAC,∴∠BACDBE;(3)解:∵△ABC中,ABBC,∠ABC60∴△ABC是等邊三角形,如圖所示,將△BDC繞點(diǎn)B順時(shí)針轉(zhuǎn)°得到△BD′,將△ABDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°得到△BAD,連接AA,∴BDBDDBD=°,AB=ABABAC,則△DBD是等邊三角形,△AAB是等邊三角形,∵CDAD,AA'AC,取BD,BA的中點(diǎn),G,則FG=AD'=∵F是的中點(diǎn),,∴DFBD,,∴,∴當(dāng)GFDC四點(diǎn)共線時(shí),GC最小,此時(shí)如圖所示,∴GCBD,∵ADGF,∴AD⊥'D',∴△AD'B是直角三角形,∴△ABD是直角三角形,∴ADBD,∵∠BDD=°,∴∠DDA=°,∴,設(shè)=aAD=,AD2a,在RtADD',∵△BDD是等邊三角形,∴,在RtABD中,AB=,222∴=,∴,解得:∴,,,取的中點(diǎn)O,連接AO,OE,∵∠BED90∴點(diǎn)E在O為圓心,為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),∴,當(dāng)取得最大值時(shí),E在的延長(zhǎng)線上,連接OF,過點(diǎn)E作ES⊥S,在Rt,∴,∴,∴SE=∠SOEOE=∠AODOE=∴△BDE的面積為,.問題,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,直徑所對(duì)的圓周角是直角;熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.7.(2023春?渠縣校級(jí)期末)如圖,D、、F是等邊三角形ABC中不共線三點(diǎn),連接ADBE、,三條線段兩兩分別相交于D、、.已知AFBD,∠EDF=60(1)證明:EFDF;(2圖2M是CMCM為邊向右作△CMGEGEG=+EMCM=GM,∠GMC=∠GEC,證明:CGCM.(3)如圖,在()的條件下,當(dāng)點(diǎn)MD重合時(shí),若⊥,GD4,請(qǐng)問在△內(nèi)部是否存在點(diǎn)PP到△三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小,若存在請(qǐng)直接寫出距離之和的最小值;若不存在,試說明理由.【考點(diǎn)】三角形綜合題.【分析】1)可先推出∠CAF=∠ABD,再證△ACF≌△BAD,即可得出結(jié)論;(2上截取ENEMMNEMNNCM≌△EGMCMG是等邊三角形,從而問題得證;(3)先求得AD=,將△DPCD°至△DQG,連接AG,可得△是等邊三角形,于是++CPAPPQ+QG,故當(dāng)、、QG共線時(shí),AP++最?。紸G,最后解斜三角形ADG而求得.【解答】1)證明:如圖1,∵△ABC是等邊三角形,∴ACAB,∠ACB=60°,∴∠CAFDAB=∵∠EDF60∴∠DAB+ABD60∴∠CAF=∠ABD,∵AFBD,∴△ACF≌△BAD(∴CFAD,∵EFDF,∴EFDF;(2)證明:如圖,由()知,EF=DF,∠EDF60∴△DEF是等邊三角形,∴∠DEF60在上截取ENEMMN,∴CNCEEN=+EM=EG,∴△EMN是等邊三角形,∴∠CNM=°,∵∠GMC=∠GEC,∠=∠,∴∠NCM=∠EGM,∵CMGM,∴△NCM≌△EGMSAS),∴∠MEG=∠CNM60∴∠CEG180°﹣∠MEG﹣∠FED60∴∠GME=∠GEC=∵CMGM,∴△CMG是等邊三角形,∴CGCM;(3)解:如圖3,由()()知,△和△是等邊三角形,∴∠CFD60CDGD4,∵CDAD,∴∠CDF90∴ADCF==,將△DPC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°至△DQGAG,∴ADDQCPQG,∴△PDQ是等邊三角形,∴PDPQ,∴APPDCP=++QG,∴當(dāng)APQG共線時(shí),APPD最?。紸G,作GH⊥于H,在RtDGHGH=DG=,DH=DG=2,∴AHADDH=+2=,∴AG===,∴APPD的最小值是.是掌握“費(fèi)馬點(diǎn)”模型及“截長(zhǎng)補(bǔ)短”等題型.8.定義:在一個(gè)等腰三角形底邊的高線上所有點(diǎn)中,到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)等腰三角形的“近點(diǎn)”,“近點(diǎn)”到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和叫做這個(gè)等腰三角形的“最近值”.【基礎(chǔ)鞏固】(1圖1,在等腰Rt△ABCBAC=90°,AD為BC邊上的高,已知AD上一點(diǎn)E滿足∠DEC=60°,AC=4√6,求AE+BE+CE=;【嘗試應(yīng)用】(22,等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為4√3E為高線AD上的點(diǎn),將三角形AEC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG,連接EF,請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC的“最近值”;【拓展提高】(3)如圖3,在菱形ABCD中,過AB的中點(diǎn)E作AB垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AC、DB,已知∠BDA=75°,AB=6,求三角形AFB“最近值”的平方.【分析】1)△°角直角三角形,可求出DECE的長(zhǎng)度,進(jìn)而得出結(jié)果.(2AEF為等邊三角形,可得AE+BE+CE=EF+BE+GF,故當(dāng)BE、G四點(diǎn)共線時(shí),EF+BE+GF最小,進(jìn)而可得∠AEB=∠AEC=∠BEC=120°,即可求出結(jié)果.(3DM⊥AB,可知EF=DM=1/2AB,進(jìn)而可推出△ABF為等腰直角三角形,結(jié)合(2)中的結(jié)論,當(dāng)點(diǎn)P滿足:∠APF=BPF=APB

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