平面向量習(xí)題分析解析

1、, 學(xué)生用書(shū) P79)考題溯源 平面向量的線性運(yùn)算(2014 高考福建卷 )設(shè) M 為平行四邊形 ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn)， O 為平行四 邊形 ABCD 所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則 OAOBOCOD等于 ()A.OMB 2OMC3OMD4OM解析 因?yàn)辄c(diǎn) M為平行四邊形 ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn)，所以點(diǎn) M是 AC和 BD的中點(diǎn)， 由平行四邊形法則知 OAOC2OM，OBOD2OM，故 OAOCOBOD4OM.答案 D考題溯源 本考題是由教材人教 A 必修 4 P92第 11題“已知?ABCD 的對(duì)角線 AC 和BD 相交于 O，且OAa，OBb，用向量 a、b 分別表示向量 OC，OD，DC，BC

2、.”改編而 成1.(2013 高考四川卷改編 )在平行四邊形ABCD 中，對(duì)角線 AC 與 BD 交于點(diǎn)O，ABAD AO，則 （）A 1B2C4D 6解析： 選 B. 由向量加法的平行四邊形法則，得 ABADAC.又O是 AC的中點(diǎn)， AC2AO，AC2AO， ABAD2AO.又ABADAO， 2. 1 2P是 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，AP3(AB AC)，則 ABC 的面積與 ABP 的面積之比為 ()A23C.32 解析：B3D6選 B. 由AP 31（AB AC），得 3AP AB AC，3 AP（APAB）（APAC）0.所以PBPCPA0，P 是ABC 的重心 所以 ABC 的面積與 AB

3、P 的面積之比為 3.1給出下列命題：(1) 兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；(2) 兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。?3) a0( 為實(shí)數(shù))，則 必為零；(4) ， 為實(shí)數(shù)，若 ab，則 a與 b共線 其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為 ( )A 1B2C3D 4解析： 選 C.(1) 錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)；(2) 正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮。钟蟹较?，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)， 故可以比較大??；(3) 錯(cuò)誤，當(dāng) a0 時(shí)，不論 為何值， a0；(4) 錯(cuò)誤，當(dāng) 0 時(shí)， a b 0，此時(shí)， a 與 b 可以是任意向量2(2015 福建四地六校聯(lián)考 )

4、已知點(diǎn) O，A， B 不在同一條直線上，點(diǎn) P 為該平面上一 點(diǎn)，且 2 OP2 OABA，則 ()A點(diǎn) P 在線段 AB 上B點(diǎn) P 在線段 AB 的反向延長(zhǎng)線上C點(diǎn) P 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上D點(diǎn) P 不在直線 AB 上解析：選 B.因?yàn)?2 OP2 OABA，所以 2 APBA，所以點(diǎn) P 在線段 AB 的反向延長(zhǎng) 線上，故選 B.3. 如圖，已知 ABa，ACb，BD3 DC，用 a，b表示 AD ，則AD ()31 3A a b B. a b44 41 13 1C. a b D. a b4 44 4解析： 選 B.CBABACab，又 BD3 DC， CD 14CB 14( a b

5、)， AD AC CD b 14(a b) 14a 43b.4若 A， B，C，D 是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子： ABCDBCDA；ACBD BCAD；ACBDDCAB.其中正確的個(gè)數(shù)是 ()A 0B1C2D 3解析： 選 C.式的等價(jià)式是 ABBCDACD ，左邊 ABCB，右邊 DADC，不 一定相等； 式的等價(jià)式是 ACBCADBD，ACCBADDBAB成立； 式的等價(jià) 式是 ACDCAB BD，ADAD成立 1 5. 如圖，在 ABC 中，A60，A 的平分線交 BC 于點(diǎn) D，若 AB4，且AD 4AC AB(R )，則 AD 的長(zhǎng)為 ()A 2 3B3 3C4 3D 5 3解析

6、： 選 B.因?yàn)?B， D， C 三點(diǎn)共線，所以有 11，解得 3，如圖，過(guò)點(diǎn) D 分別作 AC，AB44的平行線交 AB，AC 于點(diǎn) M，N，則AN14AC，AM34AB，經(jīng)計(jì)算得 ANAM 3，AD3 3.6已知 O 為四邊形 ABCD 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量 OA，OB， OC，OD滿足等式 OA OC OBOD，則四邊形 ABCD 的形狀為 解析： OAOC OBOD ， OAOBODOC，BACD，BA綊 CD， 四邊形 ABCD 為平行四邊形答案： 平行四邊形7在?ABCD 中，ABa，ADb，AN3 NC，M為 BC的中點(diǎn)，則 MN （用a， b 表示 ）解析： 由AN3 NC，

7、得 4AN3AC3（a b）， 1AMa2b， 所以 MN43（ab） a21b 41a 41b.答案： 41a 14b12 8（2013 高考江蘇卷 ）設(shè) D，E 分別是 ABC 的邊 AB，BC 上的點(diǎn)， AD2AB，BE3BC.若DE1AB2AC（1，2為實(shí)數(shù) ），則 1 2的值為 2 1 2 1 1 2 解析： 由題意 DEBEBD3BC 2BA3（ACAB）2AB 6AB 3AC， 12所以 1 61， 2 32，631故 1 2 2.答案： 129. 在ABC 中，D、E分別為 BC、 AC邊上的中點(diǎn)， G為 BE 上一點(diǎn)，且 GB2GE， 設(shè)ABa，ACb，試用 a，b表示 AD

8、，AG.解： AD21（ABAC）12a21b. 2 1 AGABBG AB3BEAB3（BABC） 332 1 3AB3（ACAB）1 1 13AB13AC113a3b.10設(shè)兩個(gè)非零向量 e1和 e2 不共線(1)如果AB e1 e2， BC 3e1 2e2， CD 8e1 2e2，求證： A、C、D 三點(diǎn)共線； (2)如果 AB e1 e2， BC 2e1 3e2 ，CD 2e1 ke2，且 A、C、D 三點(diǎn)共線，求 k 的值 解： (1)證明： ABe1e2，BC 3e12e2，CD 8e12e2 ， ACABBC 4e1 e2 12（ 8e1 2e2） 12CD ，AC與CD共線3e

9、1 2e2，又 AC與CD有公共點(diǎn) C，A、C、D 三點(diǎn)共線(2)AC AB BC (e1 e2) (2e1 3e2) A、 C、D 三點(diǎn)共線，使得 AC CD，AC與CD共線，從而存在實(shí)數(shù)即 3e1 2e2 (2 e1 ke2)， 3 2，得2 k，34解得 32， k43., 學(xué)生用書(shū) P82)方法思想 求向量中的范圍、最值問(wèn)題 ( 解析法 )給定兩個(gè)長(zhǎng)度為 1 的平面向量 OA和OB ，它們的夾角為 23.如圖所示，點(diǎn)C 在以 O 為圓心的 AB上運(yùn)動(dòng)若 OC xOAyOB，其中 x，yR ，求 xy 的最大值解 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， OA所在的直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示

10、，設(shè) AOC ，則 C(cos ， sin )，則 A(1，0)， B 12由 OC xOA yOB， 1 cos x2y得 32 ； sin 3y所以 xcos 33sin ，y233sin ，所以 xy cos 3sin 2sin 6 ，又 0，23，所以當(dāng) 3 時(shí)， x y3P時(shí)到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)， 所以 2 2 2 |c| 2 22.取得最大值 2.名師點(diǎn)評(píng) 本題首先通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算，然后用三角函 數(shù)的知識(shí)求出 x y 的最大值引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算使得本題比較容易解決，體現(xiàn)了坐標(biāo)法 解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，凸顯出了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)已知|

11、a|b|2，ab，若向量 c滿足 |cab|2，求|c|的取值范圍解： 因?yàn)?a b，不妨令 a（0，2），b（2，0），c（x，y），由 |cab|2，得（x2）2（y2）24，|c|可看做 （x，y）到原點(diǎn)的距離，而點(diǎn) （x，y）在以 （2，2）為圓心， 2 為半徑的圓上如圖所示，當(dāng)點(diǎn) （x，y）在位置 P 時(shí)到原點(diǎn)的距離最近，在位置 而 POOA2 2 22，P1如圖，在平行四邊形 ABCD 中，E 為 DC 邊的中點(diǎn)， 且ABa，ADb，則BE （）A b 12aBb 21a2211 Ca bD a ba 2ba 2b解析： 選 A.BEBAADDE ab 12ab 21a.2.（20

12、15 寧夏質(zhì)檢 ）如圖，設(shè) O 是平行四邊形 ABCD 兩對(duì)角線的交點(diǎn)， 給出下列向量組：AD與AB；DA與BC； CA與DC；OD與OB.其中可作為該平面 內(nèi)其他向量的基底的是 （ ）A BCD解析： 選 B.AD 與 AB不共線， CA與 DC不共線，而 DA 與BC共線， OD與OB共線，由平面 向量基底的概念知 可作為該平面內(nèi)其他向量的基底3已知向量 a（ 3，1），b（0，2）若實(shí)數(shù) k與向量 c 滿足 a 2b kc，則 c可以 是 （）A（ 3， 1）B（1， 3）C（ 3， 1）D（1， 3）解析： 選 D.a（ 3，1），b（0， 2）， a2b（ 3， 3） 3（1， 3）

13、， 故向量 c 可以是 （ 1， 3）4已知點(diǎn) A（1，3），B（4， 1），則與向量 AB同方向的單位向量為 （ ） A. 3，A. 5 C. 35，4545B. 45，34，5，D.解析：選 A.AB（41，13）（3， 單位向量為 |AABB|15（3，4） 53，54 .535 4），則|AB| 32（ 4）25.與AB同方向的5. （2015長(zhǎng)春模擬 ）設(shè)向量OAe1，OBe2，若e1與e2不共線，且點(diǎn) P在線段 AB上，|AP| |PB|2，則 OP（）12A. 3e1 3e221B.3e13e212C.3e13e221D.3e13e2解析： 選 C.由題意知 AP2PB， ABA

14、PPB3PB，OPOBBPOB31ABOB31 1 2 3（OBOA）3e13e2.6若三點(diǎn) A（1，5），B（a，2），C（2，1）共線，則實(shí)數(shù) a 的值為 解析： AB（a1，3）， AC（3，4），據(jù)題意 ABAC， 4（a1）3（3），即 4a5， a 4.5答案： 547在 ABC 中，點(diǎn) P 在 BC 上，且 BP 2PC，點(diǎn) Q 是 AC 的中點(diǎn)，若 PA（4， 3）， PQ （1， 5），則 BC 解析： AQ PQPA（3，2），AC2AQ （6，4）7），BC3PC （6，21） 答案： （ 6， 21） 8（2015 九江模擬 ）P a|a（1，1）m（1，2），mR，Q

15、b|b（1， 2）n（2， 3），nR是兩個(gè)向量集合，則 PQ 等于解析： P 中，a（1m，12m），Q 中，b（12n，23n） 1m12n， m 12，12m 2 3n. n 7. 此時(shí) ab（13， 23） 答案： （ 13， 23） 9已知 a （1，0），b（2，1） （1）當(dāng) k為何值時(shí)， kab與 a2b共線？ （2）若AB 2a 3b， BC a mb且 A、 B、 C三點(diǎn)共線，求 m 的值 解： （1）kabk（1，0）（2，1）（k2，1）， a2b（1，0）2（2， 1） （5，2）kab 與 a2b 共線， 2（k2）（1）50，1 即 2k4 5 0，得 k 2.2

16、（2）法一： A、B、C 三點(diǎn)共線， AB BC ， 即 2a3b （ a mb）， ，解得 m .3 m2法二： AB2a3b2（1，0）3（2， 1）（8，3），BCamb （1， 0）m（2，1）（2m 1，m）A、B、C 三點(diǎn)共線， AB BC . 8m 3（2 m 1） 0，即 2m 30，m3.210.（2015 山東萊蕪模擬 ）如圖，已知 OCB 中，點(diǎn) C 是以 A 為中點(diǎn)的點(diǎn) B 的對(duì)稱點(diǎn)， D 是將 OB 分為 21 兩部分的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)， DC 和 OA 交于點(diǎn) E， 設(shè)OAa，OB b.（1）用 a 和 b 表示向量 OC、 DC；（2）若 OEOA，求實(shí)數(shù) 的值解： （

17、1）由題意知， A是 BC的中點(diǎn)，且 OD 23OB .3 由平行四邊形法則， 得OBOC2OA.OC 2OAOB2ab，DCOCOD（2a b）32b2a35b.（2）如題圖， EC DC .又EC OCOE（2a b）a（2）a b，5DC 2a3b，2 14 ， .2 55., 學(xué)生用書(shū) P85）交匯創(chuàng)新 平面向量與線性規(guī)劃的交匯（2013高考安徽卷 ）在平面直角坐標(biāo)系中， O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn) A，B 滿足|OA|OB|OAOB2，則點(diǎn)集 P|OPOAOB，|1，R所表示的區(qū)域的面積是（）A 2 2B23C4 2D43解析由|OA|OB|OAOB 2， 知 OA， OB 3當(dāng) 0， 0

18、， 1時(shí)，在OAB中，取 OC OA，過(guò)點(diǎn) C作 CDOB交 AB于點(diǎn) D，作 DEOA交 OB于點(diǎn) E，顯然 ODOACD.由于 CODBAACO，CODB222，CD（1）OB，ODOA（1）OBOAOBOP， 1時(shí)，點(diǎn) P在線段 AB 上， 0，0，1時(shí)，點(diǎn) P必在OAB內(nèi)（包括邊界 ）考慮| |1的其他情形，點(diǎn) P構(gòu)成的集合恰好是以 AB 為一邊，以 OA，OB為對(duì)角 線一半的矩形，其面積為 S 4SOAB 412 2 2sin 3 4 3.23答案 D 名師點(diǎn)評(píng) 由平面向量的模與數(shù)量積求解夾角考查了應(yīng)用意識(shí)，由平面向量的分解考 查了抽象概括能力和推理能力yx，已知 x，y 滿足 xy

19、2，若OA（x，1），OB（2，y），且 OAOB的最大xa，1B.131D.18值是最小值的 8 倍，則實(shí)數(shù) a 的值是 （ ）A1C.14 解析： 選 D.因?yàn)镺A（x，1），OB（2，y），所以O(shè)AOB2xy，令 z2xy，依題意，不等式組 所表示的可行域如圖中陰影部分所示，觀察圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z2x y 過(guò)點(diǎn) C（1，1）時(shí)，zmax 2 1 1 3，目標(biāo)函數(shù) z2xy 過(guò)點(diǎn) F（a，a）時(shí)，zmin2aa3a，所以 383a， 1解得 a 1，故選 D.81（2014 高考山東卷 ）已知向量 a（1， 3），b（3，m）. 若向量 a， b的夾角為 6，則 實(shí)數(shù) m（）A 2 3

20、B 3C0D 3解析： 選 B. ab（1， 3） （3，m）3 3m， 又 ab 12（ 3）2 32m2 cos 6 ，3 3m 12（ 3）2 32 m2 cos 6 ，m 3.2（2015 云南省第一次統(tǒng)一檢測(cè) ）設(shè)向量 a（1，2），b（m，1），如果向量 a2b 與 2a b平行，那么 a與 b 的數(shù)量積等于 （ ）71A 2B 235C.2D.2解析： 選 D.a2b（12m，4），2a b（ 2 m，3），由題意得 3（1 2m）4（2 m） 0，則 m 12，所以 ab 1 21 2 1 25.3（2013 高考福建卷 ）在四邊形 ABCD 中， AC （1， 2），BD（4

21、，2），則該四邊形的 面積為 （ ）A. 5B 2 5C5D 10解析： 選 C.ACBD（1，2）（4，2） 440， AC BD， S四邊形 ABCD21|AC | |BD|21 52 55.4（2015 湖南長(zhǎng)沙模擬 ）關(guān)于平面向量 a， b，c，有下列三個(gè)命題：若 ab ac，則 a 0 或 b c；1若 a（1，k），b （2，6）且 a b，則 k 3；非零向量 a，b滿足|a| |b| |a b|，則 a與 a b的夾角為 30.其中所有真命題的個(gè) 數(shù)為 （ ）B1A0C2D 3解析： 選 C.若 ab ac，則 a（b c） 0，可得 a0 或 bc或 a （b c） ，即命題

22、 不 1正確；若 a（1，k），b（2，6）且 ab，則 ab 26k0，得 k3，即命題 正確； 3非零向量 a，b滿足|a|b|ab|，則可得出一個(gè)等邊三角形， 且a與 a b的夾角為 30， 即命題 正確，綜上可得真命題有 2 個(gè)5在 ABC 中，ACAB 1，|AB|A1BC BABC 2，則 AB 邊的長(zhǎng)度為 ( |BA|B3C5解析： 選 B. 由題意畫(huà)示意圖，D9AC AB 如圖， AC 1 表示AC在AB上的投影|AB|BC BA 為 1，即 AD 的長(zhǎng)為 1，BC2 表示 BC在BA上的投影為 2，即 BD 的長(zhǎng)|BA|為 2，故 AB 邊的長(zhǎng)度為 3.6（2014 高考重慶

23、卷 ）已知向量 a 與 b的夾角為 60，且 a（2， 6），|b| 10，則ab解析： a（2， 6），|a| （ 2）2（ 6）22 10， ab2 10 10cos 60 10.答案： 107（2015 昆明市第一次調(diào)研）在 ABC 中，B90，ABBC1，點(diǎn) M 滿足 BM 2AM ，則CMCA解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 因?yàn)锽M 2AM，故點(diǎn) A 是 BM 的中點(diǎn)依題意 C（1，0），A（0，1），M（0，2），則 CA（1，1），CM（1， 2），所以 CM CA（1）（1）123.答案： 38（2015 山西省第三次四校聯(lián)考 ）圓 O 為 ABC 的外接圓， 半徑為 2

24、，若 AB AC 2AO， 且|OA| |AC|，則向量 BA在向量 BC方向上的投影為 解析：ABAC2AO，O是 BC的中點(diǎn)，故 ABC為直角三角形在 AOC中， 有|OA|AC|，B30.由定義知，向量BA在向量 BC方向上的投影為 |BA|cos B2 3 23 3.答案： 39已知|a|4，|b|8，a與 b的夾角是 120（1）計(jì)算： |a b|， |4a2b|；（2）當(dāng) k 為何值時(shí)， （a 2b）（ka b）? 解：由已知得， ab48 21 16.（1） |ab|2a22abb2162（16）6448， |a b| 4 3. |4a2b|216a2 16ab4b21616 1

25、6（16）464768. |4a2b|16 3.（2）（a2b）（kab），（a2b） （kab）0， ka2（2k1）ab2b20，即 16k16（2k1）2640.k 7.即 k 7 時(shí)， a 2b 與 ka b 垂直10已知 a（1，2），b（2，n），a 與 b 的夾角是 45 （1）求 b；（2）若 c 與 b 同向，且 a 與 c a 垂直，求 c. 解： （1）ab2n2，|a| 5，|b| n24， cos 452n22 22， 3n216n120（n1）5 n2 4 22n6 或 n 3（舍去 ）， b（2， 6）2（2）由（1）知， ab10，|a|25.又c與 b同向，故

26、可設(shè) cb（0） （c a） a 0， ba|a|20， |a|2 51.ba 10 21c2b（1，3）1已知 AB，AC是非零向量，且滿足 （AB2AC）AB，（AC2AB）AC，則ABC 的形 狀為 （ ）A 等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形解析： 選 C.（AB2AC）AB? （AB 2AC） AB0，即 ABAB2ACAB0.ABABACAC （AC 2AB） AC? （AC2AB） AC0，即ACAC2ABAC0，2ABAC，即 |AB| |AC|，而 cos AABAC|AB|AC|12， A 60， ABC 為等邊三角形x， x y，y，xy，2（2014 高

27、考浙江卷 ）記 maxx，ymin x，y設(shè) a，b 為平面y， xy，x，x|a b|，此時(shí)， |a b|2|a|2|b|2；當(dāng) a， b 夾角為鈍角時(shí)， |ab|a|2|b|2；當(dāng) ab 時(shí)，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故選 D.3單位圓上三點(diǎn) A，B，C 滿足 OAOBOC0，則向量 OA ，OB的夾角為 解析：A，B，C 為單位圓上三點(diǎn)， |OA | |OB|OC|1， 又OAOBOC0， OC OB OA ， OC2（OBOA）2OB2OA22OBOA，可得 cos OA ，OB 21，向量 OA，OB的夾角為 120 .答案： 1204設(shè)集合 D 平面向量 ，定義在 D上的映射 f滿足：對(duì)任意 xD，均有 f（x） x（R， 且0）若|a|b|且a，b不共線，則 f（a）f（b） （ab）；若 A（1，2），B（3，6），C（4，8），且 f（BC） AB，則 2 2 解析： f（a）f（b） （ab）（ab） （ab）（a2b2）0；BC（1，2），AB（2，4），又 f（BC）AB，則 BCAB，2.答案： 0 25已知向量 a （cos ，sin ），b（cos ，sin ），c（ 1，0） （1）求向量 bc 的長(zhǎng)度的最大值；（2）設(shè) 4