7 8 1幾何計數(shù)一題庫版

1、2. 熟記一些計數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；3. 根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進行計數(shù).知識要點本講主要介紹了計數(shù)的常用方法枚舉法、標數(shù)法、樹形圖法、插板法、對應(yīng)法等，并滲透分類計數(shù)和用 容斥原理的計數(shù)思想.一、幾何計數(shù)n條直線最多將平面分成在幾何圖形中，有許多有趣的計數(shù)問題，如計算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個數(shù)，若干個圖 分平面所成的區(qū)域數(shù)等等.這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認真分析，還是可以找到一些 處理方法的.常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.n(n-1)+2; n個三角形將平面最多分成n丄(n2 n 2)個部分；n個圓最多分平面的部分數(shù)為23n(n-1

2、)+2部分；n個四邊形將平面最多分成4n(n-1)+2部分在其它計數(shù)問題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等解題時需要仔細審題、 綜合所學(xué)知識點逐步求解.排列問題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)；組合問題與各事物所在的先 后順序無關(guān)，只與這兩個組合中的元素有關(guān).二、幾何計數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有n+1個點(包括兩個端點)(或含有n個基本線段”)，那么這n+1個點把這條線段一共分成的線段總數(shù)為n+(n-1)+2+1條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊.數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形(對應(yīng)法)，因為DE上有15條

3、線段，每條線段的兩端點與點A相連，可構(gòu)成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在 BC上的三角形也有15個，所以圖中共有30個三角形.數(shù)長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對于任意長方形(平行四邊形) 縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形(平行四邊形)mn個.，若其橫邊上共有n條線段,例題精講【題型】填空條對稱軸.模塊一、簡單的幾何計數(shù)【例11 七個同樣的圓如右圖放置，它有【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】1星【關(guān)鍵詞】2008年，迎春杯，六年級，初賽，試題【解析】【答案】如圖：6條.6條下面的表情圖片中:(A)3簡單的幾何計數(shù)【關(guān)鍵詞】2009年，第通過觀察可知，稱軸的個數(shù)為C【例2】【考點】【

4、解析】【答案】【鞏固】，沒有對稱軸的個數(shù)為(4(C)5(D)6【難度】2星【題型】選擇14屆，華杯賽，初賽，第 1題第1, 2, 5這三張圖片是有對稱軸的，其他的5,正確答案是(B)Co5張圖片都沒有對稱軸，所以沒有對中心對稱圖形是：繞某一點旋轉(zhuǎn) 對折后兩部分完全重合的圖形，180后能和原來的圖形重合的圖形，軸對稱圖形是：沿著一條直線 圖的4個圖形中，既是中心對稱圖形又是的軸對稱圖形的有簡單的幾何計數(shù)【考點】【關(guān)鍵詞】2009年，希望杯，第七屆，五年級，一試，第【解析】【答案】7題【難度】共有3個，除第二個外其余都是。3個【例3】兩條直線相交所成的銳角或直角稱為兩條直線的并且夾角”只能是30

5、60或90問：至多有多少條直線 簡單的幾何計數(shù)【難度】1星【題型】填空夾角”?，F(xiàn)平面上有若干條直線，它們兩兩相交,【考點】【關(guān)鍵詞】2005年，第十屆，華杯賽，初賽，試題，第【解析】至多有6條直線，如圖:12題【答案】【例4】下圖是王超同學(xué)為”環(huán)境保護專欄設(shè)計的一個報頭，用到基本的幾何圖形： 線段、三角形、四邊形、 圓、弧線，其中用得最多的一種圖形是O簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【題型】填空9題【考點】【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級，二試，第【解析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)是：線段最多【答案】線段最多【例5】下面的5 5和6 4圖中共有個正方形.【考點】【解析】【答案】【鞏固】【考點】【解析】

6、【答案】【鞏固】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【題型】解答在5 5的圖中，邊長為1的正方形52個；邊長為2的正方形42個; 為4的正方形22個；邊長為 的圖中邊長為1的正方形64的正方形3 1個；總共有42個邊長為3的正方形32個；邊長5的正方形有12，總共有 52 42 32 22 12 55(個 )正方形.在6 44個；邊長為2的正方形5 3個；邊長為3的正方形4 2個；邊長為6 45 3 4 2 3 1 42（個）.請看下圖，共有多少個正方形簡單的幾何計數(shù)【難度】假設(shè)最小的正方形邊長為1 ,正方形有1個.因此共有9+4+1=14個.14個2星則面積為1的正方形有9個；面積為4的正方形有4個；

7、面積為16的【題型】填空【關(guān)鍵詞】如下圖是一個圍棋盤，它由橫豎各19條線組成.正方形問：圍棋盤上有多少個右圖中的小正方形一樣的簡單的幾何計數(shù)【考點】【關(guān)鍵詞】第二屆，華杯賽，初賽，試題，第【解析】【難度】3星【題型】填空15題E作為代表點.然后將小正方形按題意放 不難發(fā)現(xiàn)：【解析】【解析】【解析】我們先在右圖小正方形中找一個代表點，例如右下角的點 在圍棋盤上，仔細觀察點 E應(yīng)在什么地方通過觀察，(1 )點E只能在棋盤右下角的正方形 ABCD(包括邊界)的格子點上.(2)反過來，右下角正方形 ABCD中的每一個格子點都可以作為小正方形的點E,也只能作為一個小正方形的點E.這樣一來，就將小正方形的

8、個數(shù)”化為正方形ABCD中的格子點個數(shù)”了.很容易看出正方形 ABCD 中的格子點為10X 10= 100個.【答案】答：共有100個。100個【例6】個正方形.【考點】【解析】【答案】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【題型】解答每個4 4正方形中有：邊長為1的正方形有42個；邊長為2的正方形有32個；邊長為3的正方形 有22個；邊長為4的正方形有12個；總共有42 32 22 12 30 （個）正方形.現(xiàn)有5個4 4的正方 形，它們重疊部分是 4個2 2的正方形.因此，圖中正方形的個數(shù)是13030 5 5 4 130【例7】圖中有個正方形.【題型】解答【考點】【解析】【答案】簡單的幾何計數(shù)【難度】

9、2星5 5的正方形1個；4 4的正方形4個；3 3的正方形5個；2 13個.共27個.272的正方形4個；11的正方形【鞏固】數(shù)一數(shù)：圖中共有個正方形。【題型】填空二試，第10題簡單的幾何計數(shù)【難度】3星【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級,按面積從小到大 4+17+9+4+1=35個 35個【考點】【解析】【答案】【鞏固】圖中共有個正方形?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，第6屆，走美杯，4年級，決賽，第 7題【解析】【答案】設(shè)最小正方形的邊長為1，那么邊長為1的正方形有2個，邊長為方形有5個，邊長為8的正方形有2個，邊長為12的正方形有1個，邊長為

10、16的正方形有1個，所以 總共有2 6 5 2 1 1 17 （個）。17個2的正方形有6個，邊長為4的正【例8】個正方形?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】3星【關(guān)鍵詞】2006年，迎春杯，中年級，初試, 【解析】【答案】【鞏固】4題分類計算邊長為1的正方形有12個；長為2的正方形有1個；邊長為 的有1個；邊長為1個對角線的有12 1 4 1 1 1 20 (個)20個圖1中共有個正方形。1個；邊長為2個對角線的有1個;3的正方形有4個；邊長為4 所以一共有：簡單的幾何計數(shù)【難度】【考點】【關(guān)鍵詞】2004年，希望杯，第二屆,【解析】【答案】3星五年級,【例9】【考點】 【解析】【答案】5+4+

11、1+5+4+1=2020個圖中共有多少個長方形【題型】填空一試，第12題簡單的幾何計數(shù)【難度】利用長方形的計數(shù)公式：橫邊上共有邊形)mn 個.所以有(4+3+2+1) x(4+3+2+1) =100.100n條線段，縱邊上共有 m條線段,則圖中共有長方形(平行四【例10】數(shù)一數(shù)，下邊圖形中有個平行四邊形.4題【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】1星【關(guān)鍵詞】2010年，迎春杯，四年級，初試，【解析】本題是一道幾何計數(shù)問題，應(yīng)不漏不重地按規(guī)律去數(shù) ，每相鄰兩個三角形可組成一個平行四邊形，共計6個.【答案】6個【例11】圖5中有_個平行四邊形?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【關(guān)鍵詞】2004年，第12+8+3=

12、2323【難度】2星2屆，希望杯，4年級，1試【解析】【答案】【例12】如右圖中共有7層小三角形，求白色小三角形的個數(shù)與黑色小三角形的個數(shù)之比?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【關(guān)鍵詞】第三屆，華杯賽，初賽，試題，第【解析】白色小三角形個數(shù)=1 + 2 + 6 =10題d 6 6 = 21,黑色小三角形個數(shù)=1十2 + 7= d 7)7 =2 228,所以它們的比=-，白色與黑色小三角形個數(shù)之比是284【答案】【例13】如圖，由小正方形構(gòu)成的長方形網(wǎng)格中共有線段條?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】2【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，希望杯，第六屆，六年級，一試，第 【解析】【答案】8題橫的有

13、5X (1+2+3+4+5)=75條，豎的有 6X (1+2+3+4)=60條，一共 135條135條【例14】圖中線段的條數(shù)比三角形的個數(shù)多【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【關(guān)鍵詞】2008年，學(xué)而思杯，2年級，第6題通過比較發(fā)現(xiàn)，線段的條數(shù)比三角形的個數(shù)多的正好是6【解析】【答案】6條斜邊?！纠?5】右圖中共有個三角形?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，第12屆，華杯賽，五年級，決賽，第【解析】由1個，2個，3個，4個，6個，8個小三角形組成的三角形分別有：8, 7, 4, 3, 1, 1個，也即一共有 8+7+4+3+2=24 個?！敬鸢浮?4 【例1

14、6】如圖AB, CD, EE MN互相平行，則圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)的差是多少【考點】【解析】【答案】簡單的幾何計數(shù) 圖中共有三角形個.20個【難度】3星(1+2+3+4) X 4=40個.【題型】解答梯形(1+2+3+4) X(2+4) =60;所以梯形比三角形多 60-40=20【例17】右邊三個圖中,個。都有一些三角形，在圖A中，有.個；在圖B中，有個；中圖C中，有A【題型】填空1屆，希望杯， 圖B 8個;【考點】簡單的幾何計數(shù)【關(guān)鍵詞】2003年，第【解析】圖A 5個；【難度】2星4年級，1試圖C 5個【例18】請看下圖，共有多少個三角形【考點】【解析】【難度】【答案】2星【題型】填

15、空簡單的幾何計數(shù)獨立的三角形有7個，由4個三角形組成的三角形有1個，加上最大的三角形，因此共有7+1 + 1=9個三角形.9【例19】右圖中共有個三角形.【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，迎春杯，三年級，初賽，【解析】(個)【答案】20個【例20】右圖中三角形共有個.分類枚舉得到：邊長是1個單位長度的有12個三角形; 邊長是2個單位長度的有6個三角形 邊長是3個單位長度的有2個三角形 共有12 6 2 204題【難度】4星五年級，初賽,7個.【考點】簡單的幾何計數(shù)【關(guān)鍵詞】2009年，迎春杯， 【解析】不可分割的三角形有由2個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有6個

16、.【答案】【鞏固】由3個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 由5個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 由7個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 一共有三角形7 6 4 2 1 20個.20個4 個.2個.1 個.數(shù)一數(shù)圖中有個三角形.簡單的幾何計數(shù)【難度】4星【題型】填空【考點】【關(guān)鍵詞】2007年，第5屆，走美杯，3年級，初賽，第14題【解析】【答案】分類枚舉，只由一個三角形構(gòu)成的有6個，由兩個小三角形組合而成的三角形有3個。由三個小三角形組合而成的三角形有 3個，所以一共有6 3+3=12 （個）。12個【鞏固】數(shù)一數(shù)，圖中有簡單的幾何計數(shù)【難度】【考點】【關(guān)鍵詞】2006年，希望杯，第四屆,【解析】

17、【答案】4星五年級,【題型】填空二試，第 9題【例21】10個10個圖中共有個三角形?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】【關(guān)鍵詞】2009年，第7屆，希望杯，4年級，1試【解析】【答案】從圖形所包含的小塊數(shù)的個數(shù)來數(shù)，包含一塊的三角形有10個,角形有10個，包含三塊的三角形有10個，包含五塊三角形有35個包含兩塊的三5個，所以共有35個。【例22】在圖中，一共有10個三角形,40條線段.【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，學(xué)而思杯，2年級，第3題【解析】一共有10個三角形.五角星的每個角上分別有 1個小三角形, 三角形，所以共有5 5 10 （個）三角形.一共有40條線段. 長線段上