《二元一次方程組》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識(shí)講解

1、樂博思二元一次方程組全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解二元一次方程（組）的有關(guān)概念，會(huì)解簡(jiǎn)單的（數(shù)字系數(shù)）；能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，并能檢驗(yàn)解的合理性.毛2.二元一次方程組的圖像解法，初步體會(huì)方程與函數(shù)的關(guān)系.3.了解解二元一次方程組的“消元”思想，從而初步理解化“未知”為“已知”和化復(fù)雜問題為簡(jiǎn)單問題的劃歸思想.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二元一次方程組的相關(guān)概念1. 二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個(gè)未知數(shù)（和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程. 要點(diǎn)詮釋：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指

2、方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解. 要點(diǎn)詮釋：二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般要用大括號(hào)聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為 的形式.3. 二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組. 此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù).例如，二元一次方程組.要點(diǎn)詮釋：（1）它的一般形式為（其中，不同時(shí)為零）（2）更一般

3、地，如果兩個(gè)一次方程合起來共有兩個(gè)未知數(shù)，那么它們組成一個(gè)二元一次方程組（3）符號(hào)“”表示同時(shí)滿足，相當(dāng)于“且”的意思4. 二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點(diǎn)詮釋：（1）方程組中每個(gè)未知數(shù)的值應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，所以檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個(gè)方程，若兩個(gè)方程同時(shí)成立，才是方程組的解，而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組 的解有無數(shù)個(gè). 要點(diǎn)二、二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元

4、一次方程組的基本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：從方程組中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；將（或）代入另一個(gè)方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個(gè)關(guān)于（或）的一元一次方程；解這個(gè)一元一次方程，求出（或）的值；把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解.要點(diǎn)詮釋： (1)用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程

5、；(3)要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡(jiǎn)便的解法.如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等的形式；根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；解這

6、個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.要點(diǎn)詮釋：當(dāng)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，用加減消元法較簡(jiǎn)單.（3）圖像法解二元一次方程組的一般過程：把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式在直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，并標(biāo)出交點(diǎn)交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解要點(diǎn)詮釋：二元一次方程組無解一次函數(shù)的圖像平行（無交點(diǎn)） 二元一次方程組有一解一次函數(shù)的圖像相交（有一個(gè)交點(diǎn)） 二元一次方程組有無數(shù)個(gè)解一次函數(shù)的圖像重合（有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)）利用圖像法求二元一次方程組的解是近似

7、解，要得到準(zhǔn)確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相反，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求這兩條直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立的二元一次方程組的解.要點(diǎn)三、實(shí)際問題與二元一次方程組要點(diǎn)詮釋：（1）解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.要點(diǎn)四、二元一次方程（組）與一次函數(shù)1.二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系 （1）任何一個(gè)二元一次方程都可以變形為即為一個(gè)一次函數(shù)，所以每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù).（2）我們知道每個(gè)

8、二元一次方程都有無數(shù)組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數(shù)解有，我們發(fā)現(xiàn)以這些整數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數(shù)y的圖像上，反過來，在一次函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)也適合方程.要點(diǎn)詮釋：1.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的函數(shù)圖像上；2.一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程；3.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖像與相應(yīng)一次函數(shù)的圖像相同.2. 二元一次方程組與一次函數(shù)每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這時(shí)的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方

9、程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo).3.用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)所給的條件確定表達(dá)式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達(dá)式的方法，叫做待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法解決問題的步驟：1.確定所求問題含有待定系數(shù)解析式.2.根據(jù)所給條件, 列出一組含有待定系數(shù)的方程.3.解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.要點(diǎn)五、三元一次方程組1定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組. 等都是三元一次方程組.要點(diǎn)詮釋：理解

10、三元一次方程組的定義時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程；（2）如果三個(gè)一元一次方程合起來共有三個(gè)未知數(shù)，它們就能組成一個(gè)三元一次方程組.2三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)，最后再求出另一個(gè)未知數(shù)解三元一次方程組的一般步驟是： （1）利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組； （2）解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值； （3）將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方

11、程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程； （4）解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值； （5）將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“”合寫在一起要點(diǎn)詮釋：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求比較簡(jiǎn)單的解法（2）要檢驗(yàn)求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個(gè)方程中，看每個(gè)方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個(gè)方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解3. 三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未

12、知數(shù)；（2）找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫出答案(包括單位名稱)要點(diǎn)詮釋：(1)解實(shí)際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一(3)一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組【典型例題】類型一、二元一次方程組的相關(guān)概念1. （2016春潮州期末）下列方程組中，不是二元一次方程組的是（ ） a. b. c. d. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二元一次方程組的定

13、義判斷即可.【答案】c.【解析】c選項(xiàng)是二元二次方程組，不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)符合題意，選c.【總結(jié)升華】熟記二元一次方程組的定義是解此題的關(guān)鍵.舉一反三：【高清課堂：二元一次方程組章節(jié)復(fù)習(xí)409413 例1（3）】【變式1】若關(guān)于x、y的方程是二元一次方程，則m = 【答案】1【變式2】已知方程組有無數(shù)多個(gè)解，則a、b 的值等于 【答案】a3，b14類型二、二元一次方程組的解法 2.解方程組【思路點(diǎn)撥】本題結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，一般應(yīng)先化簡(jiǎn)，再消元仔細(xì)觀察題目，不難發(fā)現(xiàn)，方程組中的每一個(gè)方程都含有(x-y)，因此可以把(x-y)看作一個(gè)整體，消去(x-y)可得到一個(gè)關(guān)于y的一元一次方程【答案與

14、解析】 解：由9得：6(x-y)+9y45 4得：6(x-y)-10y-12 -得：19y57， 解得y3 把y3代入，得x6所以原方程組的解是【總結(jié)升華】本題巧妙運(yùn)用整體法求解方程組，顯然比加減法或代入法要簡(jiǎn)單，在平時(shí)求方程組的解時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)方程組的特點(diǎn)，運(yùn)用整體法求解會(huì)收到事半功倍的效果舉一反三：【變式】（2015黃岡模擬）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，求k的值【答案】解：由方程組得：此方程組的解也是方程2x+3y=6的解27k+3（2k）=6即k=3.方程的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是 【思路點(diǎn)撥】把1表示成兩個(gè)非負(fù)整數(shù)的和，這兩個(gè)數(shù)只能是1與0，于是一個(gè)方程裂

15、變?yōu)槎鄠€(gè)方程組，通過解方程組來求解的個(gè)數(shù)【答案】2組【解析】解：由條件得或 即 或即或或或，解得，或或或【總結(jié)升華】根據(jù)已知條件構(gòu)造出方程組，再選擇恰當(dāng)方法求得方程組的解，然后再所求得出答案舉一反三：類型三、實(shí)際問題與二元一次方程組4.（2015朝陽）為響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，各省先后出臺(tái)了居民用電“階梯價(jià)格”制度，如表中是某省的電價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（每月）例如：方女士家5月份用電500度，電費(fèi)=1800.6+220二檔電價(jià)+100三檔電價(jià)=352元；李先生家5月份用電460度，交費(fèi)316元，請(qǐng)問表中二檔電價(jià)、三檔電價(jià)各是多少？階梯電量電價(jià)一檔0180度0.6元/度二檔181400度二檔

16、電價(jià)三檔401度及以上三檔電價(jià)【答案與解析】解：設(shè)二檔電價(jià)是x元/度、三檔電價(jià)是y元/度，根據(jù)題意得，解得，答：二檔電價(jià)是0.7元/度、三檔電價(jià)是0.9元/度【總結(jié)升華】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確列出方程組舉一反三：【變式】甲、乙兩班學(xué)生到集市上購(gòu)買蘋果，價(jià)格如下： 甲班分兩次共購(gòu)買蘋果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班則一次購(gòu)買蘋果70千克。(1)乙班比甲班少付出多少元？(2)甲班第一次、第二次分別購(gòu)買蘋果多少千克？ 【答案】解：（1） （元）答：乙班比甲班少付出49元（2）設(shè)甲班第一次、第二次分別購(gòu)買蘋果、千克，則依據(jù)題意得：當(dāng)，則有：，解得：，

17、經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意； 當(dāng)，則有： ，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足題意；當(dāng)，則有：，不滿足題意答：甲班第一次購(gòu)買蘋果28千克，第二次購(gòu)買42千克類型四、二元一次方程（組）與一次函數(shù)5.在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2x+1和y=2x+1的圖象，并利用圖象寫出二元一次方程組的解【答案與解析】解：如圖，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），所以，方程組的解是【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解6. 甲車以某一速度沿公路從a地勻速駛往b地，到達(dá)b地停留m小時(shí)后，立即以原速沿原路勻速返回a地，共用11小時(shí)甲車出發(fā)一段時(shí)間后，乙車沿同一條公路以每小時(shí)120千米的速度從a地勻速駛往b

18、地，甲車從a地出發(fā)9小時(shí)后，兩車在距離a地160千米處相遇，甲車回到a地的同時(shí)乙車到達(dá)了b地如圖所示的折線是甲車離a地的距離y1（千米）與行駛時(shí)間 x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象（1）求乙車離a地的距離y2（千米）與所用時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并在同一坐標(biāo)系中畫出其函數(shù)圖象；（2）求m的值【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)y2=kx+b，根據(jù)題意可得當(dāng)x=9時(shí)，y=160，當(dāng)x=10時(shí)，y=160+120=280，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，再求出x=11時(shí)的y值，然后作出圖形即可；（2）先求出甲車的速度，再求出甲車往返兩地的時(shí)間，然后求解即可【答案與解析】解：（1）設(shè)y2=kx+b（k0），當(dāng)x=9時(shí)，y=160，乙車以120千米/小時(shí)的速度從a地勻速