專題13 幾何最值之瓜豆原理知識(shí)精講-沖刺2020年中考幾何專項(xiàng)復(fù)習(xí)

1、幾何最值之瓜豆原理知識(shí)精講初中數(shù)學(xué)有一類動(dòng)態(tài)問(wèn)題叫做主從聯(lián)動(dòng)，這類問(wèn)題應(yīng)該說(shuō)是非常出題，好多優(yōu)秀老師都在研究它，原因是它在很多名校?？嫉臅r(shí)候經(jīng)常出現(xiàn)，有的老師叫他瓜豆原理，個(gè)人理解可能是種瓜得瓜種豆得豆的意思吧，主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么，則從動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是什么。也有的老師叫他旋轉(zhuǎn)相似，或者手拉手。我感覺(jué)這類問(wèn)題在解答的時(shí)候需要有軌跡思想，就是先要明確主動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后要搞清楚主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡來(lái)解決問(wèn)題，但在解答問(wèn)題時(shí)，要符合解不超綱的原則，所以最后解決問(wèn)題還是用到了旋轉(zhuǎn)相似的知識(shí)，也就是動(dòng)態(tài)手拉手模型，下面整理一些題目來(lái)集中訓(xùn)練一下這類題目，希望對(duì)你能有所幫助.涉及的知

2、識(shí)和方法：知識(shí)：相似；三角形的兩邊之和大于第三邊；點(diǎn)到直線之間的距離垂線段最短；點(diǎn)到圓上點(diǎn)共線有最值。方法：第一步：找主動(dòng)點(diǎn)的軌跡 ；第二步：找從動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系；第三步：找主動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)；第四步：通過(guò)相似確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，第五步：根據(jù)軌跡確定點(diǎn)線、點(diǎn)圓最值在此類題目中，題目或許先描述的是主動(dòng)點(diǎn)p，但最終問(wèn)題問(wèn)的可以是另一點(diǎn)q（從動(dòng)點(diǎn)），根據(jù)p、q之間存在某種聯(lián)系，從p點(diǎn)出發(fā)探討q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡并求出最值。一、軌跡之圓篇例1：如圖，p是圓o上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，a為定點(diǎn)，連接ap，q為ap中點(diǎn)考慮：當(dāng)點(diǎn)p在圓o上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q點(diǎn)軌跡是？分析觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓o有什么關(guān)系

3、？考慮到q點(diǎn)始終為ap中點(diǎn)，連接ao，取ao中點(diǎn)m，則m點(diǎn)即為q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑mq是op一半，任意時(shí)刻，均有amqaop，qm:po=aq:ap=1:2結(jié)論：確定q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由a、q、p始終共線可得：a、m、o三點(diǎn)共線，由q為ap中點(diǎn)可得：am=1/2aoq點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是p點(diǎn)軌跡成比例縮放根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系例2：如圖，p是圓o上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，a為定點(diǎn)，連接ap，作aqap且aq=ap考慮：當(dāng)點(diǎn)p在圓o上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q點(diǎn)軌跡是？ 分析q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將ap繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得aq，故q點(diǎn)軌跡與p點(diǎn)

4、軌跡都是圓接下來(lái)確定圓心與半徑考慮apaq，可得q點(diǎn)軌跡圓圓心m滿足amao；考慮ap=aq，可得q點(diǎn)軌跡圓圓心m滿足am=ao，且可得半徑mq=po即可確定圓m位置，任意時(shí)刻均有apoaqm例3：如圖，apq是直角三角形，paq=90且ap=2aq，當(dāng)p在圓o運(yùn)動(dòng)時(shí)，q點(diǎn)軌跡是？分析考慮apaq，可得q點(diǎn)軌跡圓圓心m滿足amao；考慮ap:aq=2:1，可得q點(diǎn)軌跡圓圓心m滿足ao:am=2:1即可確定圓m位置，任意時(shí)刻均有apoaqm，且相似比為2模型總結(jié)為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)p、q，可稱點(diǎn)p為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)q為“從動(dòng)點(diǎn)”此類問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（paq是

5、定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（ap:aq是定值）結(jié)論（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：paq=oam；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：ap:aq=ao:am，也等于兩圓半徑之比按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，q與p的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮古人云：種瓜得瓜，種豆得豆“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”思考1：如圖，p是圓o上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，a為定點(diǎn)，連接ap，以ap為一邊作等邊apq考慮：當(dāng)點(diǎn)p在圓o上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q點(diǎn)軌跡是？分析q點(diǎn)滿足（1）paq=60；（2）ap=aq，故q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓：考慮paq=60，可得q點(diǎn)軌跡圓圓心m

6、滿足mao=60；考慮ap=aq，可得q點(diǎn)軌跡圓圓心m滿足am=ao，且可得半徑mq=po即可確定圓m位置，任意時(shí)刻均有apoaqm小結(jié)可以理解aq由ap旋轉(zhuǎn)得來(lái)，故圓m亦由圓o旋轉(zhuǎn)得來(lái)，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均等于ap與aq的位置和數(shù)量關(guān)系思考2如圖，p是圓o上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，a為定點(diǎn)，連接ap，以ap為斜邊作等腰直角apq考慮：當(dāng)點(diǎn)p在圓o上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何作出q點(diǎn)軌跡？分析q點(diǎn)滿足（1）paq=45；（2）ap:aq=：1，故q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓連接ao，構(gòu)造oam=45且ao:am=：1m點(diǎn)即為q點(diǎn)軌跡圓圓心，此時(shí)任意時(shí)刻均有aopamq即可確定點(diǎn)q的軌跡圓二、軌跡之線段篇引例：如圖，p是直線bc上一動(dòng)點(diǎn)

7、，連接ap，取ap中點(diǎn)q，當(dāng)點(diǎn)p在bc上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q點(diǎn)軌跡是？分析當(dāng)p點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，q點(diǎn)軌跡也是一條直線可以這樣理解：分別過(guò)a、q向bc作垂線，垂足分別為m、n，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)閍p=2aq，所以qn始終為am的一半，即q點(diǎn)到bc的距離是定值，故q點(diǎn)軌跡是一條直線引例如圖，apq是等腰直角三角形，paq=90且ap=aq，當(dāng)點(diǎn)p在直線bc上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求q點(diǎn)軌跡？分析當(dāng)ap與aq夾角固定且ap:aq為定值的話，p、q軌跡是同一種圖形當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的q點(diǎn)的位置，連線即可，比如q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得q點(diǎn)軌跡線段模型總結(jié)必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（paq是定值）；主動(dòng)