用字母表示數(shù)及整式（提高）知識(shí)講解

1、用字母表示數(shù)及整式（提高）知識(shí)講解責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.知道字母能表示什么；能用字母寫出簡(jiǎn)單問題中的數(shù)量關(guān)系；2. 能按要求列出代數(shù)式，會(huì)求代數(shù)式的值；3.會(huì)識(shí)別單項(xiàng)式系數(shù)與次數(shù)、多項(xiàng)式的項(xiàng)與系數(shù)；4.理解并掌握單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式等概念，弄清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、字母表示數(shù)用字母表示數(shù)之后，有些數(shù)量之間的關(guān)系用含有字母的式子表示，看上去更加簡(jiǎn)明，更具有普遍意義了舉例：如果用a、b表示任意兩個(gè)有理數(shù)，那么加法交換律可以用字母表示為：abba乘法交換律可以用字母表示為：abba要點(diǎn)二、代數(shù)式1.代數(shù)式的定義：諸如：16n ，2a+3b ，34 ，等式子，它們都是用運(yùn)算符

2、號(hào)把數(shù)和字母連接而成的，像這樣的式子叫做代數(shù)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式.要點(diǎn)詮釋：帶等號(hào)或不等號(hào)的式子不是代數(shù)式，如，等都不是代數(shù)式.2.列代數(shù)式：在解決實(shí)際問題時(shí)，常常先把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)用代數(shù)式表示出來，即列出代數(shù)式，使問題變得簡(jiǎn)潔，更具一般性要點(diǎn)詮釋：代數(shù)式的書寫規(guī)范：（1）字母與數(shù)字或字母與字母相乘時(shí)，通常把乘號(hào)寫成“ ”或省略不寫；（2）除法運(yùn)算一般以分?jǐn)?shù)的形式表示；（3）字母與數(shù)字相乘時(shí)，通常把數(shù)字寫在字母的前面；（4）字母前面的數(shù)字是分?jǐn)?shù)的，如果既能寫成帶分?jǐn)?shù)又能寫成假分?jǐn)?shù)，一般寫成假分?jǐn)?shù)的形式；（5）如果字母前面的數(shù)字是1，通常省略不寫.3.代數(shù)式的值：一般地，

3、用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值.要點(diǎn)三、整式1.單項(xiàng)式（1）單項(xiàng)式的定義：如，-1，它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式要點(diǎn)詮釋：?jiǎn)雾?xiàng)式一定是代數(shù)式，但若分母中含有字母的代數(shù)式，如就不是單項(xiàng)式，因?yàn)樗鼰o法寫成數(shù)字與字母的乘積（2）單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù) 要點(diǎn)詮釋：確定單項(xiàng)式的系數(shù)時(shí)，最好先將單項(xiàng)式寫成數(shù)與字母的乘積的形式，再確定其系數(shù)圓周率是常數(shù)，單項(xiàng)式中出現(xiàn)時(shí)，應(yīng)看作系數(shù)當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或-1時(shí)，“1”通常省略不寫單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，通常寫成假分?jǐn)?shù)，如：寫成（3

4、）單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)要點(diǎn)詮釋：沒有寫指數(shù)的字母，實(shí)際上其指數(shù)是1，計(jì)算時(shí)不能將其遺漏2多項(xiàng)式(1)多項(xiàng)式的定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式 要點(diǎn)詮釋：“幾個(gè)”是指兩個(gè)或兩個(gè)以上(2)多項(xiàng)式的項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng) 要點(diǎn)詮釋：多項(xiàng)式的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào) 一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式，如：是一個(gè)三項(xiàng)式(3)多項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)要點(diǎn)詮釋：多項(xiàng)式的次數(shù)不是所有項(xiàng)的次數(shù)之和，而是多項(xiàng)式中次數(shù)最高的單項(xiàng)式的次數(shù)一個(gè)多項(xiàng)式中的最高次項(xiàng)有時(shí)不止一個(gè)，在確定最高次項(xiàng)時(shí)，都應(yīng)

5、寫出（4）升冪排列與降冪排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來,叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列；若按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列如:多項(xiàng)式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五項(xiàng)式,按x的降冪排列為-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在這里只考慮x的指數(shù),而不考慮其它字母;按y的升冪排列為-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4要點(diǎn)詮釋：重新排列多項(xiàng)式時(shí),每一項(xiàng)一定要連同它的正負(fù)號(hào)一起移動(dòng)；含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的多項(xiàng)式,常常按照其中某一個(gè)字母的升冪排列或降冪排列3.整式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式要點(diǎn)詮釋：（1）

6、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式與代數(shù)式這四者之間的關(guān)系：?jiǎn)雾?xiàng)式、多項(xiàng)式必是整式，整式必是代數(shù)式，但反過來就不一定成立（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代數(shù)式【典型例題】類型一、字母表示數(shù)1填空： (1)某商場(chǎng)將一種商品a按標(biāo)價(jià)的9折出售(即優(yōu)惠10%)仍可獲利10%，若商場(chǎng)商品a的標(biāo)價(jià)為a元，那么該商品的進(jìn)價(jià)為_元(列出式子即可，不用化簡(jiǎn))（2）有a名男生和b名女生在社區(qū)做義工，他們?yōu)榻ɑ▔岽u男生每人搬了40塊，女生每人搬了30塊這a名男生和b名女生一共搬了塊磚（用含ab的代數(shù)式表示）【思路點(diǎn)撥】和、差形式的代數(shù)式要在單位前把代數(shù)式括起來.【答案】(1)；(2)（40a+30b）【解析】本例

7、屬于實(shí)際生活問題，應(yīng)分清“進(jìn)價(jià)”、“標(biāo)價(jià)”、“利潤(rùn)”、“利潤(rùn)率”、“打折”等問題，打幾折就是標(biāo)價(jià)的十分之幾 【總結(jié)升華】解答本例需弄清以下兩個(gè)數(shù)量關(guān)系：(1)利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià); (2)利潤(rùn)率 舉一反三：【變式】（2015自貢）為慶祝戰(zhàn)勝利70周年，我市某樓盤讓利于民，決定將原價(jià)為a元/米2的商品房?jī)r(jià)降價(jià)10%銷售，降價(jià)后的銷售價(jià)為（）aa10%ba10%ca（110%）da（1+10%）【答案】c類型二、代數(shù)式2為了節(jié)約能源，某單位按以下規(guī)定收取每月電費(fèi)：用電不超過140度，按每度0.43元收費(fèi)；如果超過140度，超過部分按每度0.57元收費(fèi)（1）若某用戶10月份用去a度電，則他應(yīng)繳多少電費(fèi)？（2

8、）若該用戶11月份用了150度電，則該繳多少電費(fèi)？【思路點(diǎn)撥】當(dāng)a140，應(yīng)付費(fèi)用分為兩部分，一部分為0.43140元，另一部分為0.57（a-140）元.【答案與解析】解：（1）當(dāng)a140時(shí)，電費(fèi)為0.43a元；當(dāng)a140時(shí)，電費(fèi)為：元. （2）因?yàn)橛秒娏繛?50度，大于140度，因此把a(bǔ)150代入代數(shù)式，得（元）.因此，該繳電費(fèi)65.9元.【總結(jié)升華】根據(jù)a的不同取值，分別對(duì)應(yīng)不同的代數(shù)式舉一反三：【變式1】一個(gè)堤壩的截面是等腰梯形，最上面一層鋪石塊a塊，往下每層多鋪一塊，最下面一層鋪了b塊，共鋪了n層，共鋪石塊 塊？當(dāng)a20，b40，n17時(shí)，堤壩的這個(gè)截面鋪石塊 塊？【答案】（ab）n

9、，510塊.【變式2】代數(shù)式（ab）n的意義.【答案】答案不唯一，舉一例：設(shè)某兩數(shù)為，則表示“這兩個(gè)數(shù)平均數(shù)的n倍.類型三、整式3（2015杭州模擬）整式0.3x2y，0，2a2b3c中是單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)有（）a2個(gè)b3個(gè)c4個(gè)d5個(gè)【答案】c【解析】解：整式0.3x2y，0，2a2b3c中，單項(xiàng)式有：0.3x2y，0，2a2b3c，共4個(gè)【總結(jié)升華】根據(jù)單項(xiàng)式的定義：數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式，即可得出答案舉一反三：【高清課堂：整式的概念 例1】【變式】下列代數(shù)式：，其中單項(xiàng)式是_，多項(xiàng)式是_.【答案】， 4已知多項(xiàng)式 (1)求多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)和次數(shù) (2)如果多項(xiàng)式是七次五項(xiàng)式，求m的值【答案與解析】(1)依題意知此多項(xiàng)式是五項(xiàng)式，第一項(xiàng)的系數(shù)是-6，次數(shù)是3；第二項(xiàng)的系數(shù)是-7，次數(shù)是3m+1；第三項(xiàng)的系數(shù)是，次數(shù)是4；第四項(xiàng)系數(shù)是-l，次數(shù)3；第五項(xiàng)-5系數(shù)是-5，次數(shù)是0(2)由多項(xiàng)式是七次五項(xiàng)式，可得的次數(shù)是7，即3m-1+27，解得m2【總結(jié)升華】對(duì)于單項(xiàng)式的次數(shù)為3m+1，可能不太習(xí)慣，通過適量的練習(xí)，會(huì)對(duì)用字母表示多項(xiàng)式的次數(shù)或系數(shù)有較深地認(rèn)識(shí)舉一反三：【高清課堂：整式的概念 -練習(xí)題-3】【變式】多項(xiàng)式是關(guān)于的二次三項(xiàng)式，求a與b的差的相反數(shù)【答案】5（2016延慶縣一模）已知：x25x=6，請(qǐng)你