概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、前言1.本課程包括兩大部分：第一部分為概率論部分：第一章至第五章，第五章為承前啟后章，第二部分為數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分：第六章至第九章。2.本課程不同于此前所學(xué)的其他課程，它是以研究某一結(jié)果出現(xiàn)的可能性為目的，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行推斷、預(yù)測(cè)和決策，以便指導(dǎo)人們的行為；其內(nèi)容更貼近人們的思維方式，因而有廣泛的應(yīng)用。3.本課程自從單獨(dú)考試以來(lái)，題目難度略高于線性代數(shù)，但是，線性代數(shù)比較抽象，概率統(tǒng)計(jì)往往有比較清楚的實(shí)際背景，各有不同的“難”的方式，所以，總的看來(lái)，兩門考試的難度基本相當(dāng)，并且，與以前的考題相比，難度略有下降。4.自從2005年以來(lái)，自考數(shù)學(xué)的試題難度都有一定程度的降低。對(duì)于能夠堅(jiān)持學(xué)習(xí)，注意方法

2、，反復(fù)收看講座的用戶來(lái)說(shuō)，取得理想的成績(jī)并不困難。希望用戶們堅(jiān)定信心，克服困難，堅(jiān)持到底，取得優(yōu)異成績(jī)。第一章內(nèi)容簡(jiǎn)介本章是概率論的基礎(chǔ)部分，所有內(nèi)容圍繞隨機(jī)事件和概率展開，重點(diǎn)內(nèi)容包括：隨機(jī)事件的概念、關(guān)系及運(yùn)算，概率的性質(zhì)，條件概率與乘法公式，事件的獨(dú)立性。考情分析2007年4月2007年7月2007年10月單項(xiàng)選擇題2題4分3題6分2題4分填空題4題8分4題8分4題8分計(jì)算題1題8分1題8分合計(jì)7題20分8題22分6題12分內(nèi)容講解1.1 隨機(jī)事件1.隨機(jī)現(xiàn)象：確定現(xiàn)象：太陽(yáng)從東方升起，重感冒會(huì)發(fā)燒等；不確定現(xiàn)象：隨機(jī)現(xiàn)象：相同條件下擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，在裝有紅、白球的口袋里摸出一個(gè)白球的

3、可能性等；其他不確定現(xiàn)象：在某人群中找到的一個(gè)人是否漂亮等。結(jié)論：隨機(jī)現(xiàn)象是不確定現(xiàn)象之一。2.隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)舉例：E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。E2：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。E3：記錄110報(bào)警臺(tái)一天接到的報(bào)警次數(shù)。E4：在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試它的壽命。E5：記錄某物理量（長(zhǎng)度、直徑等）的測(cè)量誤差。E6：在區(qū)間0，1上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)：試驗(yàn)的可重復(fù)性；全部結(jié)果的可知性；一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性，滿足這些條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)。樣本空間：試驗(yàn)中出現(xiàn)的每一個(gè)不可分的結(jié)果，稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，記作。所有樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間，記作

4、。舉例：擲骰子：1，2，3，4，5，6,1，2，3，4，5，6；非樣本點(diǎn)：“大于2點(diǎn)”，“小于4點(diǎn)”等。3.隨機(jī)事件：樣本空間的子集，稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，用A,B,C,表示。只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的單點(diǎn)子集稱為基本事件。必然事件：一定發(fā)生的事件，記作不可能事件：永遠(yuǎn)不能發(fā)生的事件，記作4.隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算由于隨機(jī)事件是樣本空間的子集，所以，隨機(jī)事件及其運(yùn)算自然可以用集合的有關(guān)運(yùn)算來(lái)處理，并且可以用表示集合的文氏圖來(lái)直觀描述。（1）事件的包含和相等包含：設(shè)A，B為二事件，若A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或事A包含于事件B，記作，或。性質(zhì)：例：擲骰子，A：“出現(xiàn)3點(diǎn)”，B：“出現(xiàn)奇

5、數(shù)點(diǎn)”，則。注：與集合包含的區(qū)別。相等：若且，則稱事件A與事件B相等，記作AB。（2）和事件概念：稱事件“A與B至少有一個(gè)發(fā)生”為事件A與事件B的和事件，或稱為事件A與事件B的并，記作或AB。解釋：包括三種情況A發(fā)生，但B不發(fā)生，A不發(fā)生，但B發(fā)生，A與B都發(fā)生。性質(zhì)：，；若；則。推廣：可推廣到有限個(gè)和無(wú)限可列個(gè)，分別記作和舉例：A：“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3”與B：“擲骰子點(diǎn)數(shù)大于4”則AB1，2，5，6（3）積事件概念：稱“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”為事件A與事件B的積事件，或稱為事件A與B的交，記作AB或AB。解釋：AB只表示一種情況，即A與B同時(shí)發(fā)生。性質(zhì)：，； 若，則ABA。推廣：可推廣

6、到有限個(gè)和無(wú)限可列個(gè)，分別記作和。舉例：A：“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5”與B：“擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2”則AB3, 4（4）差事件概念：稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”為事件A與事件B的差事件，記作AB.性質(zhì)： A； 若，則AB。舉例：A：“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5”與B：“擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2”則AB1，2（5）互不相容事件概念：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB，則稱事件A與事件B互不相容。推廣：n個(gè)事件A1，A2，An兩兩互不相容，即AiAj，ij，i，j1，2，n。舉例：A：“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3”與B：“擲骰子點(diǎn)數(shù)大于5”則A與B互不相容。（6）對(duì)立事件：概念：稱事件“A不發(fā)生”為事件A的對(duì)立事

7、件，記做.解釋：事件A與B互為對(duì)立事件，滿足：AB；AB舉例：A：“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3”與B：“擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2”則A與B相互對(duì)立性質(zhì)：；，；ABAAB；注意：教材第5頁(yè)的第三條性質(zhì)有誤。A與B相互對(duì)立A與B互不相容.小結(jié)：關(guān)系：包含，相等，互不相容，互為對(duì)立；運(yùn)算：和，積，差，對(duì)立.（7）事件的運(yùn)算性質(zhì)（和、積）交換律ABBA，ABBA；（和、積）結(jié)合律（AB）CA（BC），（AB）CA（BC）；（和、積）分配律A（BC）（AB）（AC）；A（BC）（AB）（AC）對(duì)偶律；.1.2概率1.頻率與概率（1）頻數(shù)與頻率：在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生nA次，則稱nA為事件A發(fā)生的頻數(shù)；

8、而比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記作fn（A）.（2）fn（A）的試驗(yàn)特性：隨n的增大，fn（A）穩(wěn)定地趨于一個(gè)數(shù)值，稱這個(gè)數(shù)值為概率，記作P（A）.（3）由頻率的性質(zhì)推出概率的性質(zhì)推出，推出P（）0，P（）1A，B互不相容，推出P（AB）=P（A）P（B），可推廣到有限多個(gè)和無(wú)限可列多個(gè).2.古典概型概念：具有下面兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型，稱為古典概型：基本事件的總數(shù)是有限個(gè)，或樣本空間含有有限個(gè)樣本點(diǎn)；每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。計(jì)算公式：3.概率的定義與性質(zhì)（1）定義：設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，對(duì)于E的每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P（A），稱P（A）為事件A的概率，如果它滿足

9、下列條件：P（A）0；P（）1；設(shè)，是一列互不相容的事件，則有.（2）性質(zhì)，；對(duì)于任意事件A，B有；.1.3條件概率1.條件概率與乘法公式條件概率定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記做P（A|B）.例7P13例117.某工廠有職工400名，其中男女職工各占一半，男女職工中技術(shù)優(yōu)秀的分別為20人與40人，從中任選一名職工，試問(wèn)：（1）該職工技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少？（2）已知選出的是男職工，他技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少？解：設(shè)A表示“選出的職工技術(shù)優(yōu)秀”，B表示“選出的職工為男職工”。按古典概型的計(jì)算方法得：（1）（2）推廣：設(shè)

10、P（AB）0，則P（ABC）P（A）P（B|A）P（C|AB）設(shè)，則2.全概率公式與貝葉斯公式（1）劃分：設(shè)事件，滿足如下兩個(gè)條件：，互不相容，且，i1，2，n；，即，至少有一個(gè)發(fā)生，則稱，為樣本空間的一個(gè)劃分。當(dāng)，為樣本空間的一個(gè)劃分時(shí)，每次試驗(yàn)有且僅有其中一個(gè)發(fā)生。（2）全概公式：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，為樣本空間的一個(gè)劃分，B為任意一個(gè)事件，則.證明：注意：當(dāng)0P（A）0，則，i1，2，n.注意：在使用貝葉斯公式時(shí)，往往先利用全概公式計(jì)算P（B）；理解貝葉斯公式“后驗(yàn)概率”的意義.例題11P17例128【例1-28】在例1-25的假設(shè)下，若任取一件是廢品，分別求它是由甲、乙、丙生產(chǎn)的概率

11、。解：由貝葉斯公式，例題12P17例129【例1-29】針對(duì)某種疾病進(jìn)行一種化驗(yàn)，患該病的人中有90%呈陽(yáng)性反應(yīng)，而未患該病的人中有5%呈陽(yáng)性反應(yīng)，設(shè)人群中有1%的人患這種病，若某人做這種化驗(yàn)呈陽(yáng)性反應(yīng)，則他患這種疾病的概率是多少？解：設(shè)A表示“某人患這種病”，B表示“化驗(yàn)呈陽(yáng)性反應(yīng)”，則P（A）=0.01，P（B|A）=0.9，由全概率公式得=0.010.9+0.990.05=0.0585再由貝葉斯公式得1.4事件的獨(dú)立性1.事件的獨(dú)立性（1）概念：若P（AB）P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A，B獨(dú)立。解釋：事件A，B相互獨(dú)立的含義是：盡管A，B同時(shí)發(fā)生，事件A發(fā)生的概率

12、對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響，如“兩個(gè)同時(shí)射擊的射擊員擊中靶子的環(huán)數(shù)”，“兩個(gè)病人服用同一種藥物的療效”等。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，往往根據(jù)實(shí)際情況來(lái)判斷事件的獨(dú)立性，而不是根據(jù)定義。（2）性質(zhì)： 設(shè)P（A）0，則A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是。證明： 若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與都相互獨(dú)立。證明：只證，B相互獨(dú)立則只需證=P（B）-P（AB）=P（B）-P（A）P（B）=P（B）1-P（A）從而得證。設(shè)A表示“甲射中目標(biāo)”，B表示“乙射中目標(biāo)”，C表示“目標(biāo)被擊中”，則C=AB。P（C）=P（AB） =P（A）+P（B）-P（AB）由題意，A，B相互獨(dú)立P（AB）=P（A）P（B）=1-0.

13、10.2=0.98注：A，B相互獨(dú)立時(shí)，概率加法公式可以簡(jiǎn)化為。例題2.P19【例131】袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球，從中有放回地連續(xù)取兩次，每次取一個(gè)球，求兩次取出的都是白球的概率。解：設(shè)A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球”，由于是有放回抽取，A與B是相互獨(dú)立的。所求概率為P（AB）=P（A）P（B）=點(diǎn)評(píng)：有放回：第一次不管抽取的是什么球，對(duì)第二次抽取沒影響。顯然，兩次抽取是相互獨(dú)立的。不放回：第一次取到白球概率就是，第二次再取到白球的概率是。顯然，兩次抽取不是相互獨(dú)立的。注：如果是“有放回”，則兩次取球就不是相互獨(dú)立的。（3）推廣： 3個(gè)事件相互獨(dú)立：設(shè)A，B，C為3個(gè)

14、事件，若滿足P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（C）， P（BC）P（B）P（C），P（ABC）P（A）P（B）P（C）則稱A，B，C相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A，B，C獨(dú)立。 3個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立：設(shè)A，B，C為3個(gè)事件，若滿足P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（C）， P（BC）P（B）P（C），則稱A，B，C兩兩相互獨(dú)立。顯然，3事件相互獨(dú)立必有3事件兩兩相互獨(dú)立，反之未必。 n個(gè)事件相互獨(dú)立：設(shè)A1，A2，An為n個(gè)事件，若對(duì)于任意整數(shù)k（1kn）和任意k個(gè)整數(shù)1i1 i2ikn滿足則稱A1，A2，An相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A1，A2，An獨(dú)立。例題3.P21【例134】3

15、門高射炮同時(shí)對(duì)一架敵機(jī)各發(fā)一炮，它們的命中率分別為0.1，0.2，0.3，求敵機(jī)恰中一彈的概率。解：設(shè)Ai表示“第i門炮擊中敵機(jī)”，i=1，2，3，B表示“敵機(jī)恰中一彈”。其中，互不相容，且A1，A2，A3相互獨(dú)立，則=0.10.80.7+0.90.20.7+0.90.80.3=0.3982.n重貝努利試驗(yàn)（1）概念：如果一次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：事件A發(fā)生或不發(fā)生，且P（A）p（0p0，P（B）0，則下列各式中錯(cuò)誤的是（）A.P（A）1P（）B.P（AB）P（A）P（B）C.P（）1D.P（AB）1答案：B2.（402）設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（A）0，則（）A.P（AB）B.P（A）C.P

16、（B）D.1答案：D3.（701）從標(biāo)號(hào)為1，2，101的101個(gè)燈泡中任取一個(gè)，則取得標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的概率是（）A.50/101B.51/101C.50/100D.51/100答案：A4.（702）設(shè)事件A，B滿足P（A）0.2，P（A）0.6， 則P（AB）（）A.0.12B.0.4C.0.6D.0.8答案：B5.（704）設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p（0P1），則在3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中至少成功一次的概率為（）A.1（1p）3B.p（1p）2C.D.pp2p3答案：A6.（411）設(shè)事件A， B相互獨(dú)立，且P（A）=O.2， P（B）=0.4，則P（AB）_。答案：0.52解析：P（AB）=P（A）

17、+P（B）-P（AB） =P（A）+P（B）-P（A）P（B）解析：設(shè)A1表示“甲廠生產(chǎn)”，A2表示“乙廠生產(chǎn)”B：“次品”解析：=0.05解析：第二次取正品=一次且二正一正且二正P二正=P一次且二正+P一正且二正=第二章內(nèi)容簡(jiǎn)介1.本章引入隨機(jī)變量及其分布函數(shù)概念，討論了離散型和連續(xù)型兩種隨機(jī)變量，介紹了幾種常用的隨機(jī)變量。2.本章重點(diǎn)內(nèi)容包括：離散型隨機(jī)變量及其分布律，連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度，二項(xiàng)分布與正態(tài)分布?？键c(diǎn)分析2007年4月2007年7月2007年10月選擇題2題4分1題2分2題4分填空題2題4分2題4分2題4分計(jì)算題1題8分綜合題1題4分1題12分合計(jì)5題12分4題14分5

18、題20分內(nèi)容講解2.1離散型隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量的概念（1）引入隨機(jī)變量的理由： “常量”到“變量”； 全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的需要。（2）如何引入：一類：隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果用數(shù)量表示的，直接數(shù)量化。如：擲骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X，則X1，2，3，4，5，6分別表示事件“出現(xiàn)一點(diǎn)”，“出現(xiàn)二點(diǎn)”，“出現(xiàn)六點(diǎn)”。另一類：試驗(yàn)結(jié)果不是用數(shù)量表示的，如：擲硬幣，雙方比賽的結(jié)果等，可以人為賦值，如擲硬幣，設(shè)結(jié)果為隨機(jī)變量Y，“出現(xiàn)正面”用“Y1”表示，“出現(xiàn)反面”用“Y0”表示。如果雙方比賽結(jié)果使用記分法，可以用分?jǐn)?shù)表示，“Z3”表示“勝”，“Z1”表示“平”，“Z0”表示“負(fù)”，等等。（3）定義：設(shè)E是

19、隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間為，如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)，有一個(gè)實(shí)數(shù)X（）與之對(duì)應(yīng)，則稱XX（）為隨機(jī)變量，記做X, Y, Z,。（4）解釋： 隨機(jī)變量不是普通變量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一個(gè)值的，即具有隨機(jī)性，因此稱為“隨機(jī)變量”； 在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，可以根據(jù)不同的需要來(lái)定義不同的隨機(jī)變量。 引入隨機(jī)變量后，可用隨機(jī)變量來(lái)描述事件，如擲骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X，則“出現(xiàn)4點(diǎn)”可表示為X4，“不少于4點(diǎn)”可表示為X4,等等。 所以，其概率可表示為PX41/6, PX41/2。2.離散型隨機(jī)變量及其分布律（1）離散型隨機(jī)變量定義：若隨機(jī)變量X只取有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)值，則稱

20、X為離散型隨機(jī)變量。如擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，醫(yī)院門診一天接待的患者數(shù)，某停車場(chǎng)內(nèi)停放的車輛數(shù)，等等，都是離散型隨機(jī)變量。（2）離散型隨機(jī)變量的分布律：設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，可能取值為x1，x2，xk，且PXxkpk，k1，2，則稱 pk為X的分布律（或分布列，概率分布）。分布律也可以用表格形式表示：（3）分布律pk的性質(zhì)： pk0，k1，2，；.反之，若一個(gè)數(shù)列pk具有以上兩條性質(zhì)，則它可以作為某隨機(jī)變量的分布律。（4）用途：可用分布律求任意事件的概率.例題1.P30【例21】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：求常數(shù)c。1=0.2+c+0.5解得c=0.3。例題2.P31【例24】已知一批零件共10個(gè)

21、，其中有3個(gè)不合格，現(xiàn)任取一件使用，若取到不合格零件，則丟棄，再重新抽取一個(gè)，如此下去，試求取到合格零件之前取出的不合格零件個(gè)數(shù)X的分布律。解：X的取值為0，1，2，3。設(shè)Ai（i=1，2，3，4）表示“第i次取出的零件是不合格的”，利用概率乘法公式可計(jì)算得PX=1=PX=2=PX=3=故X的分布律為例題3.P31【例25】對(duì)某一目標(biāo)連續(xù)進(jìn)行射擊，直到擊中目標(biāo)為止。如果每次射擊的命中率為p，求射擊次數(shù)X的分布律。i（i=1，2，）表示“第i次射擊未中”，事件X=k表示“前k-1次射擊未中，第k次命中“，則，而每次射擊命中與否又是相互獨(dú)立的，即A1，A2，Ak相互獨(dú)立。X的分布律為=（1-p）k

22、-1p，k=1，2，。3.三種常用的離散型隨機(jī)變量的分布（1）01分布（兩點(diǎn)分布）定義：若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能值0，1，且PX1p，PX0q, 其中0p1，q1p, 則稱X服從01分布，其分布律為舉例：擲一枚硬幣出現(xiàn)正面，向靶子射一發(fā)子彈等。（2）二項(xiàng)分布定義：若隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，n，而X的分布律為，k0，1，2，n其中0p0是常數(shù)，n是任意正整數(shù)，且，則對(duì)于任意取定的非負(fù)整數(shù)k，有。泊松定理的應(yīng)用：當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布可以用泊松逼近來(lái)近似計(jì)算。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n20，p0.05時(shí)計(jì)算效果頗佳。例題6.P33【例28】一個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中廢品率為0.005，任取100

23、0件，計(jì)算：（1）其中至少有兩件是廢品的概率；（2）其中不超過(guò)5件廢品的概率解：設(shè)X表示任取的1000件產(chǎn)品中的廢品數(shù)，則XB（1000，0.005）。利用泊松定理中的 公式近似計(jì)算，=10000.005=5。（1）PX2=1-PX=0-PX=1。（2） PX5=0.6160。最后一步為查附表2而得。此處還用到。（3）泊松分布定義：設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，n，而X的分布律為，k0，1，2，其中0，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記做X P（）.例題7.P34【例29】設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為5的泊松分布，求（1）PX=10；（2）PX10。解：（1）查附表2中這一欄的數(shù)據(jù)，可得PX=10

24、=PX10-PX11=0.018133（2）PX10=1-PX11=0.986305例題8.P34【例210】設(shè)X服從泊松分布，且已知PX=1=PX=2，求PX=4，由已知得解得=2，則2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.分布函數(shù)的概念引入： 從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度，引入函數(shù)概念是必然的； 此函數(shù)一定要與概率相聯(lián)系。對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，事件可表示為Xb,Xb, aXb, 等等，選取一個(gè)函數(shù)F，把這些事件的概率用此函數(shù)的函數(shù)值表示出來(lái)，取函數(shù)F（x）P Xx就可以做到這一點(diǎn)，其中x為任意實(shí)數(shù)； 由于x的取值為任意實(shí)數(shù)，所以，對(duì)于離散型、非離散型隨機(jī)變量，肯定也適用。定義：設(shè)X為隨機(jī)變量，稱函數(shù)F（x）=P（

25、Xx），x（-,+）為X的分布函數(shù)。離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為.例題1.P36【例211】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為求X的分布函數(shù)。解：當(dāng)x-1時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx=0；當(dāng)-1x0時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx=PX=-1=0.2；當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx= PX=-1+ PX=0=0.2+0.1=0.3；當(dāng)1x2時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx= PX=-1+ PX=0+ PX=1=0.2+0.1+0.3=0.6當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx= PX=-1+ PX=0+ PX=1+ PX=2=0.2+0.1+0.3+0.4=1則X的分布函數(shù)F（x）為F（x）的圖形如下：由F（x）的圖形可知，F(xiàn)（x）是分段函數(shù)

26、，y= F（x）的圖形是階梯形曲線，在X的可能取值-1，0，1，2處為F（x）的跳躍型間斷點(diǎn)。2.分布函數(shù)的性質(zhì)（1）0F（x）1。（2）F（x）是不減函數(shù)，即對(duì)于任意的x1x2，有F（x1）F（x2）。（3）F（-）=0，F(xiàn)（+）=1，即，。（4）F（x）右連續(xù)，即。3.用分布函數(shù)表示事件的概率：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x）, 則（1）PXb=F（b）；（2）PaXb=F（b）-F（a），其中ab=1-F（b）.例題3.P37【例213】設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求（1）；（2）；（3）。解：（1）；（2）；（3）。2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度（1）定義：

27、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x），若存在非負(fù)函數(shù)f（x），使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱f（x）為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度（或密度函數(shù)）。解釋：連續(xù)型隨機(jī)變量的“連續(xù)”指的是其密度函數(shù)在某區(qū)間或整個(gè)實(shí)軸上是連續(xù)函數(shù)。（2）概率密度的性質(zhì)： f（x）0； 設(shè)x為f（x）的連續(xù)點(diǎn)，則存在，且.（3）概率密度的直觀解釋例題2.P41【例216】設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求（1）X的概率密度f(wàn)（x）；（2）X落在區(qū)間（0.3，0.7）的概率。解：（1）（2）有兩種解法：P0.3X0.7=F（0.7）-F（0.3）=0.72-0.32=0.4；或者P0.3X1500（2）各

28、元件工作相互獨(dú)立，可看做4重貝努利試驗(yàn)，觀察各元件的壽命是否大于1500小時(shí)，令Y表示4個(gè)元件中壽命大于1500小時(shí)的元件個(gè)數(shù)，則YB（4，），所求概率為PY=2。（3）所求概率為PY1=1-PY=0。2.三種常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布.均勻分布（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為，則稱X服從區(qū)間a,b上的均勻分布，記做XU（a,b）。（2）分布函數(shù)為分布函數(shù)圖象如下圖：（3）實(shí)際應(yīng)用：查表時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)修正值之間的數(shù)值服從均勻分布，在一段時(shí)間內(nèi)，公共汽車達(dá)到的時(shí)間認(rèn)為是服從均勻分布，等等。例題4.P43【例218】公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過(guò)，乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)汽車站是等可能的，求

29、乘客候車時(shí)間在13分鐘內(nèi)的概率。解：設(shè)X表示乘客的候車時(shí)間，則XU（0，5），其概率密度為所求概率為P1x3.指數(shù)分布（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為，其中0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記做XE（）.（2）指數(shù)分布的分布函數(shù)為，（3）實(shí)際應(yīng)用：電子元器件的使用壽命，動(dòng)物的壽命，電話的通話時(shí)間，接受服務(wù)的時(shí)間等等，都可以假定服從指數(shù)分布。例題5.P43【例219】設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，證明對(duì)任意的s0，t0，有.此性質(zhì)稱為指數(shù)分布的無(wú)記憶性。證明：對(duì)于任意的x0,.又因?yàn)?，所以，則.正態(tài)分布（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為，x，其中,2為常數(shù)，0，則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分

30、布，記做XN（,2）.（2）概率密度函數(shù)的性質(zhì)：曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱，則對(duì)于任意h0，有P（-hx）=P（X+h）。當(dāng)x=時(shí)取得最大值.在x=處曲線有拐點(diǎn)，曲線以x軸為漸近線.當(dāng)給定，12時(shí)，對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)的圖象可沿x軸互相平移得到.當(dāng)給定，10，有。證明。例題7.P47【例222】設(shè)XN（1.5，4），求。=0.8413。.上側(cè)分位數(shù)（1）定義：設(shè)XN（0,1），若u滿足條件PXu=，01，則稱點(diǎn)u為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)。（2）求法：反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表。2.4隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布1.隨機(jī)變量函數(shù)的概念：設(shè)是已知連續(xù)函數(shù)，為隨機(jī)變量，則函數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，稱之為隨機(jī)變量的函數(shù).2.離散

31、型隨機(jī)變量的概率分布設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為則在隨機(jī)變量的取值,，不同的情況下，其分布律為但是，若有相同的情況，則需要合并為一項(xiàng).故Y的分布律為有時(shí)我們只求Y=g（X）在某一點(diǎn)y處取值的概率，有，即把滿足的所對(duì)應(yīng)的概率相加即可。3.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度定理：設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為.設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)?，?記的反函數(shù)，則的概率密度為.證明：略解：利用例2-27所得的結(jié)論，fx（x）（1）,則（2）即.例2-28說(shuō)明兩個(gè)重要結(jié)論：當(dāng)時(shí)，,且隨機(jī)變量稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化。另外，正態(tài)隨機(jī)變量的線性變換仍是正態(tài)隨機(jī)變量，即aX+b，這兩個(gè)結(jié)論十分有用，必須記住。第二章小結(jié)一、

32、內(nèi)容分布律二、試題選講1.（1016）拋一枚硬幣5次，記正面向上的次數(shù)為，則_.答案：2.（0404）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為則（）.A.B.C.D. 1答案：A3.（1004）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為則常數(shù)等于（）.A. 1B.C.D. 1答案：D4.（1003）設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間2，4上服從均勻分布，則（）.A.B.C.D.答案：C5.（1015）設(shè)隨機(jī)變量，已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值，為使，則常數(shù)_.答案：36.（0704）設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為，則在3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中至少成功一次的概率為（）.A.B.C.D.答案：A7.（0715）已知隨機(jī)變量，且，則_.答案：58.（0716）設(shè)隨機(jī)變量的分布函

33、數(shù)為，則常數(shù)_.答案：19.（0727）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，試求：（1）的概率密度；（2）.解：10.（1028）司機(jī)通過(guò)某高速路收費(fèi)站等候的時(shí)間（單位：分鐘）服從參數(shù)為的指數(shù)分布，（1）求某司機(jī)在此收費(fèi)站等候時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率；（2）若該司機(jī)一個(gè)月要經(jīng)過(guò)此收費(fèi)站兩次，用表示等候時(shí)間超過(guò)10分鐘的次數(shù)，寫出的分布律，并求.解：第三章內(nèi)容介紹本章討論多維隨機(jī)變量的問(wèn)題，重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量及其概率分布。內(nèi)容講解3.1多維隨機(jī)變量的概念1. 維隨機(jī)變量的概念：個(gè)隨機(jī)變量，構(gòu)成的整體（，）稱為一個(gè)維隨機(jī)變量，稱為的第個(gè)分量（）.2.二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念： 設(shè)（，）為一個(gè)二維隨

34、機(jī)變量，記， 稱二元函數(shù)為二維隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合分布函數(shù)，或稱為（，）的分布函數(shù). 記函數(shù)， 則稱函數(shù)和為二維隨機(jī)變量（，）的兩個(gè)分量和的邊緣分布函數(shù).3.二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）是變量（或）的不減函數(shù)；（2）01，對(duì)任意給定的，；對(duì)任意給定的，；，；（3）關(guān)于和關(guān)于均右連續(xù)，即.（4）對(duì)任意給定的，有.例題1. P62【例31】判斷二元函數(shù)是不是某二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。解：我們?nèi)?= 1-1-1+0=-10,不滿足第4條性質(zhì)，所以不是。4.二維離散型隨機(jī)變量（1）定義：若二維隨機(jī)變量（X，Y）只取有限多對(duì)或可列無(wú)窮多對(duì)（），（1，2，），則稱（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量.（2

35、）分布律： 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值為（），（1，2，），（X，Y）的各個(gè)可能取值的概率為，（1，2，），稱，（1，2，）為（X，Y）的分布律.（X，Y）的分布律還可以寫成如下列表形式（X，Y）分布律的性質(zhì)1，（1，2，）；2例題2. P62【例32】設(shè)（X,Y）的分布律為求a的值。解：（3）分布函數(shù) 由離散型二維隨機(jī)變量（X，Y）分布律，可以求得其分布函數(shù).例題3. P63【例33】設(shè)（X,Y）的分布律為求：（1）PX=0；（2）PY2；（3）PX1,Y2；（4）PX+Y=2（1）X=0=PX=0,Y=1PX=0,Y=2X=0,Y=3（2）Y=1=X=0，Y=1X=1，Y=1Y

36、=2=X=0，Y=2X=1，Y=2，（3）X1,Y2=X=0,Y=1 X=0,Y=2,且事件X=0,Y=1,X=0,Y=2互不相容，所以PX1,Y2=PX=0,Y=1+ PX=0,Y=2=0.1+0.1=0.2（4）X+Y=2=X=0,Y=2X=1,Y=1,類似可得PX+Y=2=PX=0,Y=2+PX=1,Y=1=0.1+0.25=0.35（4）邊緣分布律： 定義：對(duì)于離散型隨機(jī)變量（X,Y），分量X（或Y）的分布律稱為（X,Y）關(guān)于X（或Y）的邊緣分布律，記為（或 求法：它們可由（X,Y）的分布律求出，. 性質(zhì)：例題5. P64【例35】求例3-4中（X,Y）關(guān)于X和Y的邊緣分布律。解：X與

37、Y的可能值均為1，2，3.（X，Y）關(guān)于X的邊緣分布律為：（X，Y）關(guān)于Y的邊緣分布律為：可以將（X，Y）的分布律與邊緣分布律寫在同一張表上：值得注意的是：對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量（X，Y），雖然它的聯(lián)合分布可以確定它的兩個(gè)邊緣分布，但在一般情況下，由（X，Y）的兩個(gè)邊緣分布律是不能確定（X，Y）的分布律的。例題6. P65【例3-6】設(shè)盒中有2個(gè)紅球3個(gè)白球，從中每次任取一球，連續(xù)取兩次，記X，Y分別表示第一次與第二次取出的紅球個(gè)數(shù)，分別對(duì)有放回摸球與不放回摸球兩種情況求出（X，Y）的分布律與邊緣分布律。解：（1）有放回摸球情況：由于事件X=i與事件Y=j相互獨(dú)立（i，j=0，1），所以PX=

38、0，Y=0=PX=0PY=0=PX=0，Y=1=PX=0PY=1=PX=1，Y=0=PX=1PY=0=PX=1，Y=1=PX=1PY=1=則（X，Y）的分布律與邊緣分布律為（2）不放回摸球情況：類似地有PX=0，Y=1=PX=1，Y=0=PX=1，Y=1=則（X，Y）的分布律與邊緣分布律為5.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度（1）設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x,y），若存在非負(fù)可積函數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有，則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量；并稱為（X，Y）的概率密度或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù).（2）概率密度的性質(zhì)： 非負(fù)； ； 若在處連續(xù)，則有； .6.兩種二維連續(xù)型隨機(jī)變量分布（

39、1）均勻分布定義：設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S0，如果二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為則稱（X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布（或稱（X,Y）在D上服從均勻分布），記作（X,Y）UD。兩種特殊區(qū)域的情況：.D為矩形區(qū)域axb，cyd，此時(shí).D為圓形區(qū)域，如（X,Y）在以原點(diǎn)為中心，R為半徑的圓形區(qū)域上服從均勻分布，則（X,Y）概率密度為解：根據(jù)上圖，D的面積，所以（X，Y）的概率密度為事件X+Y1意味著隨機(jī)點(diǎn)（X，Y）落在區(qū)域上，則（2）正態(tài)分布定義：若二維隨機(jī)變量（X，Y）概率密度為1其中都是常數(shù)，且則稱（X,Y）服從二維正態(tài)分布，記為2三維空間的曲面。7.二維隨機(jī)變量的邊緣分布（1

40、）定義：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度稱為（X,Y）關(guān)于X（或Y）的邊緣概率密度，簡(jiǎn)稱邊緣密度，記為（2）求法：它們可由（X,Y）的概率密度f(wàn)（x，y）求出，例題10：P70【例310】設(shè)（X,Y）在矩形域D上服從均勻分布，其中D：求（X,Y）的邊緣概率密度解：3.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性1.兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性用兩個(gè)隨機(jī)事件的獨(dú)立性導(dǎo)出兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性。（1）定義：設(shè)F（x,y），F(xiàn)X（x）和FY（y）分別是二維隨機(jī)變量（x,y）的分布函數(shù)和兩個(gè)邊緣分布函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有F（x,y）= FX（x）FY（y），則稱X與Y相互獨(dú)立.（2）等價(jià)關(guān)系：PXx,Yy=P

41、XxPYy.2.二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性的充要條件設(shè)（X,Y）為二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為其邊緣分布律為X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是，對(duì)一切i，j有反之，只要有一對(duì)（i，j）使上式不成立，X與Y就不相互獨(dú)立.例題14：P74【例3-15】判斷3.1節(jié)例3-6中X與Y是否相互獨(dú)立。解（1）有放回摸球情況：因?yàn)樗訶與Y相互獨(dú)立。（2）不放回摸球情況：因?yàn)镻X=0，Y=0PX=0PY=0，所以X與Y不相互獨(dú)立。例題15：P75【例316】設(shè)（X,Y）的分布律為且X與Y相互獨(dú)立，求常數(shù)a,b之值。解：3.二維連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件設(shè)（X,Y）為二維離散型隨機(jī)變量，其概率密度及關(guān)于X和Y的邊緣概率密度分別為f（x,y），和則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是等式幾乎處處成立.例題16