【W(wǎng)ord版導學案】學案30(2)

1、A % H魅亶東方工咋愛樓2備棵紐劇冷學案30等比數(shù)列及其前n項和導學目標：1理解等比數(shù)列的概念 2掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系 4能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系，并能用等比數(shù)列的有關知識解決相應的問題.茶方工咋魚樓心備棵紐制冷A f： X-CX1.等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，通常用字母 表示(q工0).2等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列an的首項為ai，公比為q，則它的通項an =.3.等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù) G,使a, G,

2、 b成等比數(shù)列，那么 G叫做a與b的等比 中項.4等比數(shù)列的常用性質(1) 通項公式的推廣：an= am (n, m N*).(2) 若 an為等比數(shù)列，且 k+ l = m + n (k, I, m, n N*),貝U.若an, bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則入a(將0), 1，an, an bn, an仍是 等比數(shù)列.(4)單調性:ai0,ai10q1q = 1? an是數(shù)列；q0,數(shù)列；0q1數(shù)列.ai1? an是數(shù)列；5. 等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列 an的公比為q (qz 0)，其前n項和為Sn,當q= 1時，3= na1;當 q 工 1 時，Sn=空/.1 - q q- 1 q

3、 - 1 q- 16. 等比數(shù)列前n項和的性質公比不為一1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn,則Sn, S2n-Sn, S3n S2n仍成等比數(shù)列, 其公比為.an(東方工咋黑核心備裸U制作c 成等比數(shù)1)A .充分不必要條件 B 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件2.若數(shù)列an的前n項和Sn= 3n a，數(shù)列an為等比數(shù)列，則實數(shù)a的值是A . 3B . 1C . 0D . 13 .(2011 溫州月考)設 f(n) = 2 + 24 + 27 + + 23n + 1 (n N*),)22A7(8n 1)B(8n+1 1)C.7(8n +2 1)D.7(8n+3 1)4. (

4、2011湖南長郡中學月考)已知等比數(shù)列an的前三項依次為 a 2, a+ 2, 等“bf(n)等于a + 8,則于* X-CZ方工昨金核心備裸U制作A . 8 -| nC. 8 -| n 1B -8 -|n2 D.8-r15.設an是公比為q的等比數(shù)列，|q|1，令bn= an+ 1 (n= 1,2,)，若數(shù)列bn有連 續(xù)四項在集合 53, 23,19,37,82中，貝U 6q=.探究點一等比數(shù)列的基本量運算A % H魅亶東方工咋愛樓2備棵紐劇冷1 已知正項等比數(shù)列an中，aia5+ 2a2a6 +a3a7= 100, a2a4- 2a3a5 + a4a6= 36,求數(shù)列an的通項 an 和前

5、 n 項和 S.變式遷移1在等比數(shù)列an中，ai+ an= 66, a2 an-1 = 128, Sn= 126,求n和q.探究點二等比數(shù)列的判定東方工咋愛樓2備棵紐劇冷2 (2011岳陽月考)已知數(shù)列an的首項ai=5，前 n項和為 Sn,且 Sn+1 = 2Sn+ n + 5, n N*.(1) 證明數(shù)列an+ 1是等比數(shù)列；(2) 求an的通項公式以及 Sn.變式遷移2 設數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a1+ 2a2 + 3a3+ nan= (n 1)Sn+ 2n(n N*).(1) 求a2, a3的值；(2) 求證：數(shù)列Sn+ 2是等比數(shù)列.探究點三等比數(shù)列性質的應用1 f： x-cx

6、東方工昨鑒核心備裸爼制作3 （2011湛江月考）在等比數(shù)列an中，ai +1 1 1 1 1 1 1 1 1a2 + a3 + a4+ a5= 8, 且I111= 2，求 a3. a1 a2 a3 a4 a5變式遷移3(1)已知等比數(shù)列an中，有a3an= 4a7,數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b7 = a7,求b5 + b9的值；(2)在等比數(shù)歹U an中，若 a1a2a3a4= 1, a13a14a15a16= 8, 求 a41a42a43a44.分類討論思想與整體思想的應用1 東方工作衰核Z.備課紐制昨A S 亶（12分）設首項為正數(shù)的等比數(shù)列an的前 n項和為80,它的前2n項和為6 560,

7、且前n項中數(shù)值最大的項為 54,求此數(shù)列的第2n項. 【答題模板】解 設數(shù)列an的公比為q,若 q = 1,貝V Sn= nai, S2n= 2nai= 2Sn.S2n = 6 560工 2Sn= 160,.q工 1, 2 分ai 1- qn=80, 1 q由題意得4分a1 1 q2n=6 560.1 q將整體代入得 80(1 + qn) = 6 560,qn= 81.6 分將 qn= 81 代入得 a1(1 81) = 80(1 q),ai= q 1，由 ai0，得 q1,數(shù)列an為遞增數(shù)列.8分 a1 n= 81 = 54.q東看工咋鑒核2備裸爼制作.n 1 o1 n-an= a1q =

8、qa12八q = 210 分ai = 2, q = 3,) 12 分與a1= q 1聯(lián)立可得a2n = 2X 32n 1 (n N【突破思維障礙】(1)分類討論的思想：利用等比數(shù)列前n項和公式時要分公比 q = 1和q工1兩種情況討論；研究等比數(shù)列的單調性時應進行討論：當a10, q1或a10,0q1時為遞增數(shù)列；當a11或a10,0q1時為遞減數(shù)列；當q0且q工1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系.整體思想：應用等比數(shù)列前n項和時，常把qn,也當成整體求解.1 q本題條件前n項中數(shù)值最大的項為 54的利用是解決本題的關鍵，同時將qn和竺1二1 - q 的值整體代入求解， 簡化了運算，體現(xiàn)了整體代換的思想，

9、 在解決有關數(shù)列求和的題目時應 靈活運用.n a1,q= 1,1等比數(shù)列的通項公式、 前n項公式分別為an= a1qn1,Sn= a1 1 qn,qz 1.1 q2等比數(shù)列的判定方法：an+1(1)定義法：即證明- = q (qz 0, n N) (q是與n值無關的常數(shù)).an中項法：證明一個數(shù)列滿足an+1= an an +2 (n N*且an an+1 an+ 2 z0).3.等比數(shù)列的性質：(1)an = am qn m (n, m N*)；東方工昨畫核心備課紐制件若an為等比數(shù)列，且 k + I = m+ n (k, I, m, n N*)，貝U ak ai= am an；設公比不為一

10、1的等比數(shù)列an的前n項和為3,貝y Sn, S2n Sn, S3n - S2n仍成等比 數(shù)列，其公比為qn.4在利用等比數(shù)列前 n項和公式時，一定要對公比q= 1或qz 1作出判斷；計算過程中要注意整體代入的思想方法.5等差數(shù)列與等比數(shù)列的關系是：（1）若一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列;若 an是等比數(shù)列，且an0，則lg an構成等差數(shù)列.（滿分：75分）、選擇題（每小題5分，共25分）1. （2010遼寧）設an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,S5Sn為其前n項和.已知a2a4 = 1, S3= 7,于T17()15A.y31B.31C332 . （2010浙江）設Sn

11、為等比數(shù)列）A . 11B . 83. 在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列）A.4.33等比數(shù)列B . 72an前n項的積為T25中D 4D. 2an的前n項和，.5D .a1= 3，前二項的和.84D .1711S3= 21,則 a3+ a4+ a5 等于Can 中,S58a2 + a5 = 0 ,則 等于CTn,右 a3a6a18是也 是189個確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10, T13,常 數(shù) 的 項 是T10B . T13C. T17D . T255. （2011佛山模擬）記等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S3 = 2, S6= 18,則詈等于（）A . 3B . 5C. 31D . 33題號1234

12、5答案、填空題（每小題4分，共12分）東方工咋愛按矗備課紐制冷A X-CZ6. 設an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若ai= 1, a5 = 16,則數(shù)列an前7項的和為7. (2011平頂山月考)在等比數(shù)列an中，公比q = 2,前99項的和S99= 30,則a3 + a6 + ag + a99=.& (2010福建)在等比數(shù)列an中，若公比q= 4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通 項公式an=.三、解答題(共38分)9. (12分)(2010陜西)已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a1= 1,且a1, a3, a9成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項；求數(shù)列2an的前n項和Sn.10. (12分

13、)(2011廊坊模擬)已知數(shù)列l(wèi)og 2(an-1)為等差數(shù)列，且 a1= 3, a2= 5.(1) 求證：數(shù)列an- 1是等比數(shù)列；1 1 1(2) 求 +的值.a2 a1 a3 a2an+1 an11. (14分)已知等差數(shù)列an的首項a1= 1，公差d0，且第2項、第5項、第14項分 別是等比數(shù)列bn的第2項、第3項、第4項.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；設數(shù)列cn對 n N* 均有善+ + cn= an + 1 成立，求 C1 + C2+ C3+-+ C2 010.答案自主梳理1 .公比 q 2.a1 qn 1 4.(1)qn m (2) ak al = am an遞增遞減常擺動

14、6.qn自我檢測1. D 2.B3.B4.C5. 9課堂活動區(qū)例1解題導引(1)在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中共有 a1, an, q, n, Sn五個量，知道其中任意三個量，都可以求出其余兩個量.解題時，將已知條件轉化為基本量 間的關系，然后利用方程組的思想求解；(2)本例可將所有項都用 a1和q表示，轉化為關于 a1和q的方程組求解；也可利用等比 數(shù)列的性質來轉化，兩種方法目的都是消元轉化.解方法一由已知得：a1q4 + 2a1q6 + a2q8= 100,a1q4 2a1q6+ a1q8= 36.一，得 4a1q6= 64, / a1q6= 16.2備課M制作代入，得 q + 2X

15、 16 + 16q2= 100.qi解得q32 26-nx 2 Sn=2 = 64 26-n.1-2 8= 4或q當 a3= 2, a5 = 8 時，q = 2= 4,且 q0,= 4.1又數(shù)列an為正項數(shù)列， q = 2或或21當q = 2時，可得a1= 2，pn_ 22 ,如-2n)2= 2n- 11當q = 2時，可得a1= 32.1- an= 32 X 2 n1= 2由 a3= a1q2, 得 a1 = ：= j. n,32 1 =64 26n.a4a6= a5,方法二 T a1a5= a2a4= a3, a2a6= a3a5, a3a7a1a5+ 2a2a6+ a3a7= 100,

16、由a2a4 2a3a5+ a4a6= 36,a3 + 2a3a5 + a2= 100, 可得a3 2a3a5 + as= 36,(a3 + a5)2 = 100, 即(a3 a5)2 = 36.a3+ a5 10,a38,解得a3 a5= 5.當 a3= 8, a5 = 2 時，q2=a5 = 2,as2a3= 84a3= 2, 或a5 = 8.2 a3= a1q = 8,1得 a1= 32, an= 32 X 2 n1= 26 n東方工咋愛樓心備裸紐劇冷* % X1EX an =2n-1 = 2n- 2.1 n2(21) 13= 2= 2n-1 2.2 1 2變式遷移1解由題意得a2 ani

17、 = ai an= 128,a1 + an= 66,a1 = 64,a1 = 2,解得或an = 2an = 64.a1= 64，a1 anq 64 2q若貝y Sn= 126,an= 2,1 q 1 q1 1解得 q= 2，此時,an= 2 = 64 三 n1,- n= 6.a1= 2，2 64q若則 Sn= 126, q = 2.an= 64,1 q an = 64 = 2 2n 1. n = 6.1綜上n= 6, q = 2或例2解題導引(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個基本方法：an+1 =q (q為與n值無關的常數(shù))(n N*).an a2+1 =anan+ 2 (an0, n N ).

18、(2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列，可以通過具體的三個連續(xù)項不成等比數(shù)列來證明，也可用 反證法.(1)證明 由已知 Sn+ 1 = 2Si + n + 5, n N ,可得 n2 時，Sn= 2Sn1 + n + 4,兩式相減得 Sn + 1 S = 2(Sn Sn 1)+ 1,即 an+ 1 = 2an + 1，從而 an+ 1 + 1 = 2(an+ 1),當 n = 1 時，S2= 2S + 1+ 5,所以 a2+ a1 = 2a1+ 6,又 a1= 5，所以 a2= 11,從而 a2+ 1 = 2(a1+ 1),故總有 an+1 + 1 = 2(an+ 1), n N ,an + 1 + 1又

19、 a1= 5, a1 + 1 工 0,從而=2,an+ 1即數(shù)列an+ 1是首項為6,公比為2的等比數(shù)列.5方 MX 賓 xx(2)解由(1)得 an+ 1 = 6 2n所以 an= 6 2n 12 1 2 1=_+_ 2+ q + _ 2+_=_ 4 q 2十q十2十2此式顯然不成立，經(jīng)驗證，a3= 2符合題意，故a3= 2.變式遷移 3 解(1) / a3an = a2= 4a7,t a7M 0, . a7= 4, b7= 4, 1,-1于是 Sn= 4十 6 2n- n-6.1-2變式遷移 2 (1)解 ai+ 2a2 + 3a3+ nan= (n- 1)Sn+ 2n(n N*),.當

20、n= 1 時，ai =2 X 1 = 2;當 n = 2 時，a1+ 2a2 = (a1+ a2)+ 4, / a2= 4;當 n = 3 時，a1+ 2a2 + 3a3= 2(a1 + a2+ a3)+ 6,a3= 8.(2)證明/ a1 + 2a2+ 3a3+ nan=(n 1)Sn+ 2n(n N )，當 n2 時,a1 + 2a2 + 3a3+ + (n 1)an 1=(n 2)Sn 1 + 2(n 1).一得 nan= (n 1)S (n 2)Sn1 + 2 = n(Sn Sn 1) Sn+ 2Sn 1 + 2 = nan Sn+ 2Sn1 + 2. 31 + 2Sn 1 + 2=

21、0, 即卩 Sn = 2Sn 1 + 2 ,- Sn+ 2= 2(S 1 + 2). S1 + 2= 4工 0, Sn 1+ 2 工 0,Sn+ 2二 =2,Sn 1 + 2故Sn + 2是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.例3解題導引 在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特 別是性質若m + n = p + q,貝U am an = ap aq”，可以減少運算量，提高解題速度.解由已知得11111+_+_+_+_a1 a2 a3 a4 a5a1 + a5 a2 + a4 a3 話+肓+語a1 + a2 + a3+ a4+ a58a2ai=2,q,a3= 4, a3= i2

22、.若a3= 2，設數(shù)列的公比為一2 一2 2則孑 +可2 2q 2q2= 8,1 1 “ 2即 q2 + q+1 + q+q2車方工咋愛樓心備棵制作T bn為等差數(shù)列，/. b5+ b9= 2b7= 8.(2)a1a2a3a4= a1 a1q a1q2 a1q3= a1q6= 1.12131415a13a14a15a16= aq aq aqaq=a1 q54= 8.454噸：14 = q48 = 8? q16 = 2,40414243乂 a41a42a43a44= a1q a1q a1qa1q=a1 q166=a1 q6 q160= (a1 q6) (q16)10=1 210= 1 024.課

23、后練習區(qū)1. B t an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a4= 1,設an的公比為q,則q0，且a3= 1,!卩a3= 1. S3 = 7, - a + a2 + a3= + +1 = 7，即卩 6q2 q 1 = 0.q q1 1 1故 q = 2或 q= 3(舍去), a1 =孑=4.-S5 =4(1 25)131=8(1 25) = 4.25)2)=11.1 22. A,S5 ai(1 +由 8a2 + a5 = 0,得 8aiq + aiq = 0，所以 q= 2,則& =S2 ai(1 由題可設等比數(shù)列的公比為3(1 q3)22則=21? 1 + q + q2 = 7? q2+ q

24、6= 01 q? (q + 3)(q 2) = 0, 根據(jù)題意可知q0 ,故q = 2.所以 a3+ a4 + a5= q2S3= 4X 21 = 84.a3a6a18 = a1q2+ 5+17 = (a1q8)3= a3,!卩 a9 為定值，所以下標和為 T17為定值.因為等比數(shù)列an中有S3= 2, S6= 18,3. Cq,4. C定值，可知5. D9的倍數(shù)的積為S61 qS3 =a1(1 q3)1 q即1 + q3= 18= 9,a1(1 q6)a1(1- q10)故q = 2,從而警S51q ag q5)1 q=1 + q5= 1 + 25= 33.L5J東看工作愛樓z備課紐制作*

25、XTCX6. 127解析公比 q4 = a5= 16,且 q0, / q= 2,1 27-S = 127.1 2120解析/ S99 = 30,即 a1(299 1) = 30,t數(shù)列a3, a6, a9,，a99也成等比數(shù)列且公比為8,4a1(1 833)二 a3 + a6 + a9+ + a99=1 84al(2- 1)= 4x 30= 12077& 4n1解析/等比數(shù)列不妨設首項為a1,1 = 4n 1.an的前3項之和為21，公比q= 4,則 a1+ a1q+ a1q2= a1(1 + 4 + 16)= 21a1 = 21, / a1= 1, / an= 1 x 4n_9.解（1）由題設知公差d豐0, 由ai= 1, ai, a3, a9成等比數(shù)列,1 + 2d 1+ 8d 得丁 =芯,(4 -分)解得d= 1或d= 0(舍去).故a