基于課本習(xí)題的一類高考試題的探究

1、 基于課本習(xí)題的一類高考試題的探究一 問題提出題目（2009年安徽文科14）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，且，其中，則= _.本題主要依據(jù)平面向量的加法運(yùn)算求解.，所以,，所以.問題可以進(jìn)一步一般化，如取，取，或者更一般的取，相應(yīng)的都可以得到以及的值.這類試題2009年之前考過，之后又多次在高考題和一些模擬題中出現(xiàn).這類試題?？疾凰ァ镑攘Α焙卧?？問題中求出的僅僅是一個(gè)數(shù)字？有沒有數(shù)學(xué)意義，如果有，那么它的數(shù)學(xué)意義是什么？它的“根”在哪里？ 二 試題尋“根” 新課標(biāo)人教A版必修四第102頁(yè)，習(xí)題B組第4題：如圖2，設(shè)OX、OY是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是與X軸、

2、Y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).假設(shè)，（1）計(jì)算的大??；（2）由平面向量基本定理，本題中向量坐標(biāo)的規(guī)定是否合理？【點(diǎn)評(píng)】如圖3，根據(jù)平面向量基本定理，以平面內(nèi)一組不共線的向量作基底，對(duì)平面內(nèi)任一向量 有且僅有惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)使得這樣，對(duì)應(yīng)于基底，向量就與惟一確定的有序?qū)崝?shù)對(duì)相對(duì)應(yīng)！顯然，規(guī)定有序數(shù)對(duì)為向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是合理的.如果一組基底是正交的，就是向量在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，如果不是正交基底，我們不妨把它稱為基底下的“斜坐標(biāo)”！至此，這類考試題的“根”就崢嶸再現(xiàn)！原來是“斜坐標(biāo)（系）”問題！直角坐標(biāo)系下的問題還是其特例，足見其“根”是相當(dāng)?shù)纳?！下?/p>

3、我們就對(duì)這個(gè)“根”的一些相關(guān)性質(zhì)做一些探究（為表述方便，我們也把向量在斜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)記為點(diǎn)P的坐標(biāo)，文中類似情形不再一一說明）.三 初步結(jié)論 類比直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面向量基本定理，不難得到，基于基底（）下的斜坐標(biāo)的一些結(jié)論，如結(jié)論1：點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（1，0），（0，1）；結(jié)論2：如圖4，向量所在直線把平面分成四個(gè)部分，在四個(gè)區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)與平面直角坐標(biāo)系下的規(guī)律一致；在直角坐標(biāo)系下，表示過點(diǎn)（1，0），（0，1）的一條直線，那么在斜坐標(biāo)系下表示什么呢？由平面向量基本定理，易知，結(jié)論3：如圖5，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P分別位于直線AB、上時(shí)，依次滿足方程、，也即直線AB、的方程分別為、；結(jié)論4

4、：如圖6，在斜坐標(biāo)系中為一族平行直線，其中為直線在向量上的“截距”；結(jié)論5：如圖7，向量正向所圍成的區(qū)域被直線AB分割成兩個(gè)部分（不含邊界），其中，包含點(diǎn)O的區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，另一區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足類似的，在直線分成的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)，包含點(diǎn)O的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，另一側(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，.結(jié)論6：四 在考題中的相關(guān)應(yīng)用 4.1 符號(hào)問題【示例1】（2007年上海春季高考試題第13題）如圖8，平面內(nèi)的兩條相交直線和將該平面分割成四個(gè)部分、 (不包括邊界）. 若，且點(diǎn)落在第部分，則實(shí)數(shù)滿足A B. C. D.【點(diǎn)評(píng)】直接利用結(jié)論2，答案選D；4.2 范圍問題【示例2】（2006湖南高考文科第10題）如

5、圖9：OMAB，點(diǎn)P由射線OM、線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，則實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）可以是AB. C. D. 【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)結(jié)論2，排除選項(xiàng)A；根據(jù)結(jié)論4排除選項(xiàng)B,D,所以答案為C；【示例3】（2006年湖南省高考理科第10題）如圖10, , 點(diǎn)在由射線, 線段及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng), 且,則的取值范圍是_; 當(dāng)時(shí), 的取值范圍是_. 【點(diǎn)評(píng)】由結(jié)論2，的取值范圍是；由結(jié)論4、5，由射線, 線段及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)點(diǎn)（x,y）滿足，當(dāng)時(shí).【示例4】（2010年上海高考試題）設(shè)點(diǎn)是三角形內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），且,則的取值范圍為 A B. C.

6、D. 【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)結(jié)論5有，根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)，作出如圖12陰影部分，表示點(diǎn)P(0,2)到陰影內(nèi)點(diǎn)的距離的平方，顯然到點(diǎn)A(0,1)的距離最近，為1，到點(diǎn)B（1,0）的距離最遠(yuǎn)，這時(shí)=5，故選B.43 截距問題回到開始提出的問題，令，求即在“斜坐標(biāo)系”下求“斜率”為-1過點(diǎn)C的直線在向量上的“截距”.如圖13，過點(diǎn)C作EF的平行線CG，交AF的延長(zhǎng)線與G，則為直線CG在坐標(biāo)軸AF上的“截距”，由，得到.【示例5】（2009安徽理科14）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120.如圖14所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng).若，其中，則x+y的最大值是 .【點(diǎn)評(píng)】x+y為過點(diǎn)C“斜率”為-1的直線的“截距”，如圖15，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)C且垂直于直線OC的直線的“截距”最大，在中 ，=2，即x+y的最大值是2.【示例6】(湖北省八市2011三月調(diào)考理科試題)如圖16，在直角梯形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則的取值范圍是A B C D 【點(diǎn)評(píng)】令，則為在上的截距.顯然只要考慮兩個(gè)極限位置.與BD相切時(shí)=1，直線BD、EF的方程分別為，兩個(gè)截距分別為1, ,故選D.【示例7】(2011屆蘇錫常鎮(zhèn)揚(yáng)五市高三調(diào)研測(cè)試)如圖17，在正方形中，為的中點(diǎn)，為以為圓心、為半徑的圓弧上