構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究畢業(yè)論文

1、 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題目 構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究 學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 年 級(jí) 2009級(jí) 專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí) 0401091 學(xué) 號(hào) 040109104 學(xué)生姓名 田偉 指導(dǎo)教師 戴培良 職 稱(chēng) 教授 論文提交日期 2013-5-22 常熟理工學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)誠(chéng)信承諾書(shū)本人鄭重聲明： 所呈交的本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。本人簽

2、名： 日期：常熟理工學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)使用授權(quán)說(shuō)明本人完全了解常熟理工學(xué)院有關(guān)收集、保留和使用畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)的規(guī)定,即：本科生在校期間進(jìn)行畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)工作的知識(shí)產(chǎn)權(quán)單位屬常熟理工學(xué)院。學(xué)校有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)被查閱和借閱；學(xué)校可以將畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索,可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），并且本人電子文檔和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致。保密的畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)在解密后遵守此規(guī)定。本人簽名： 日期：導(dǎo)師簽名： 日期：構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究摘要構(gòu)造法是一種重要的劃歸手段，

3、學(xué)生通過(guò)觀察、分析、抓住特征、聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，然后變換命題，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造新的數(shù)學(xué)模型來(lái)達(dá)到解題的目的，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中具有重要的作用，主要涉及函數(shù)，圖形，方程，數(shù)列等內(nèi)容。構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的方法，屬于非常規(guī)思維，運(yùn)用構(gòu)造法解題有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高學(xué)生觀察、分析、解決問(wèn)題的能力。 關(guān)鍵詞：構(gòu)造法，觀察，分析，創(chuàng)造性，解題application of the construction method in middle school mathematicsabstractconstruction is an important classified method, student

4、s achieve the objective of solving problems through constructing a new mathematical model which is obtained by students through observing, analyzing and grasping the characteristics, associating the mathematical model and transforming propositions. it plays an important roles in solving mathematical

5、 problems of middle school, mainly involves the function, pattern, equation, sequence and so on. construction method is also a method of creative, belongs to unconventional thinking, it can improve the students observation, analysis, problem solving skills.key words: construction method; analysis; c

6、reativity; problem solving.目 錄1.引言1.1 論文的研究背景. 11.2 本論文研究?jī)?nèi)容. 22.構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 2.1如何利用構(gòu)造法解方程類(lèi)問(wèn)題. 32.2巧妙構(gòu)造圖像性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 52.3用構(gòu)造法求解數(shù)列問(wèn)題 72.4用構(gòu)造三角函數(shù)法巧解數(shù)學(xué)問(wèn)題. . 9 2.5用構(gòu)造法巧解生活中常見(jiàn)問(wèn)題. 10 3.關(guān)于中學(xué)生對(duì)構(gòu)造法思想掌握情況的調(diào)查報(bào)告3.1調(diào)查的設(shè)計(jì)、方法和過(guò)程133.2調(diào)查結(jié)果及分析143.2.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果14 結(jié)語(yǔ). . .16 參考文獻(xiàn). 17 致謝. .191. 引言1.1 論文的研究背景構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題中一種十分重要的基本方法，

7、是根據(jù)題目中所給的條件或者結(jié)論，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想與綜合，利用各種知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，有目的的構(gòu)造一個(gè)特定的數(shù)學(xué)模型，從而將一個(gè)命題轉(zhuǎn)化成一個(gè)與之等價(jià)的命題。構(gòu)造法同樣是一種創(chuàng)新的思維方法，解題過(guò)程中要打破常規(guī)思維，另辟蹊徑，巧妙的解決。構(gòu)造法歷史發(fā)展過(guò)程：從數(shù)學(xué)產(chǎn)生的那天起，數(shù)學(xué)中的構(gòu)造性方法就伴隨著產(chǎn)生了。但是構(gòu)造性方法這個(gè)術(shù)語(yǔ)的提出，以至把這個(gè)方法推向極端，并致力于這個(gè)方法的研究，是與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的直觀派有關(guān)。直觀派出于對(duì)數(shù)學(xué)的“可行性”的考慮，提出一個(gè)著名的口號(hào)：“存在必須是被構(gòu)造?！边@就是構(gòu)造主義。構(gòu)造法的發(fā)展歷史主要包括以下幾個(gè)過(guò)程：（一）直觀數(shù)學(xué)階段，先驅(qū)者是19世紀(jì)末德國(guó)的克隆尼克

8、。他認(rèn)為“定義應(yīng)當(dāng)包括由有限步驟所定義對(duì)象的計(jì)算方法，而存在性的證明對(duì)于要確立其存在的那個(gè)量，應(yīng)當(dāng)許可計(jì)算到任意的精確度?！痹?jì)劃把數(shù)學(xué)算術(shù)化并在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中清除一切非構(gòu)造性的成分及其根源。后續(xù)代表人物包括彭加勒，其主張所有的定義和證明都必須是構(gòu)造性的。以及近代構(gòu)造法的系統(tǒng)創(chuàng)立者布勞威，其主張存在必須被構(gòu)造的觀點(diǎn)。（二）算法數(shù)學(xué)階段，由于直覺(jué)數(shù)學(xué)難以為人讀懂，同時(shí)直覺(jué)數(shù)學(xué)對(duì)排斥非構(gòu)造數(shù)學(xué)和傳統(tǒng)邏輯的錯(cuò)誤做法，無(wú)法解釋后者在一定范圍內(nèi)的應(yīng)用上的有效性，所以產(chǎn)生了另外幾種構(gòu)造性傾向，主要是算法數(shù)學(xué)。算法數(shù)學(xué)是馬爾科夫及其合作者創(chuàng)立的，并將此定義為：一種把數(shù)學(xué)的一切概念歸約為一個(gè)基本概念算法的構(gòu)造性方

9、法。但是，因?yàn)檫@種構(gòu)造法外行人讀起來(lái)十分困難，使之算法數(shù)學(xué)由于缺乏合適的框架來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐，而處于一種冬眠的狀態(tài)。（三）現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段，由比肖泊提出，他避免使用直覺(jué)派的超數(shù)學(xué)原理，擺脫了算法數(shù)學(xué)對(duì)遞歸函數(shù)理論方法的不必要依賴(lài)，超脫了對(duì)于形式體系的任何束縛，從而保留了進(jìn)一步創(chuàng)新的余地。同時(shí)比肖泊采用數(shù)學(xué)上大家熟悉的習(xí)慣術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，所以為一般數(shù)學(xué)家容易看懂。構(gòu)造法的應(yīng)用研究涉及各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，現(xiàn)在數(shù)學(xué)構(gòu)造法在中學(xué)方面的研究主要集中表現(xiàn)為以下兩類(lèi)。（一）構(gòu)造法的理論教學(xué)研究。構(gòu)造法的主要特點(diǎn)是創(chuàng)新性，發(fā)散性，需要學(xué)生具有一定的創(chuàng)新思維能力，同時(shí)要求學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的把握要牢固，學(xué)生只有通過(guò)自己的再創(chuàng)造

10、而獲得的知識(shí)才能被掌握和靈活應(yīng)用1。構(gòu)造法的教學(xué)有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的敏感性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和發(fā)散思維能力以及促使學(xué)生完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)學(xué)生自我建構(gòu)的能力2。隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，學(xué)校教育越來(lái)越重視學(xué)生的能力素質(zhì)的培養(yǎng)，特別是注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的了解，理解，掌握和靈活運(yùn)用。 教師應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛運(yùn)用構(gòu)造法，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力3。（二）構(gòu)造法解題的基本類(lèi)型分析。構(gòu)造法解題的巧妙之處不是直接去解所給問(wèn)題，而是構(gòu)造一個(gè)與問(wèn)題先關(guān)的輔助問(wèn)題，通過(guò)來(lái)解決問(wèn)題。如：構(gòu)造代數(shù)模型、幾何模型、不等式模型等4。構(gòu)造法解題同樣有其一定的規(guī)律性，通過(guò)學(xué)生對(duì)方法技巧的掌握，從構(gòu)造法的特點(diǎn)入手

11、，也能有效的利用好這個(gè)解題工具5。構(gòu)造法解題在中學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用，所涉及的知識(shí)點(diǎn)也很廣，但主要?dú)w納起來(lái)為以下幾個(gè)方面：1.構(gòu)造模式；2.構(gòu)造特例；3.構(gòu)造引理6。1.2論文研究?jī)?nèi)容上述兩種方法都是以分開(kāi)的形式進(jìn)行研究，雖然各有優(yōu)點(diǎn)，但是不能有效的，從整體上來(lái)分析中學(xué)生如何有效的掌握利用構(gòu)造法解題的方式。所以，為了有效的解決這一問(wèn)題，并且整合上述兩種研究方式的優(yōu)點(diǎn)，本文將主要論述中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中的構(gòu)造法實(shí)際應(yīng)用，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造方程，構(gòu)造圖形，以及構(gòu)造性思維培養(yǎng)幾個(gè)方面，來(lái)認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)運(yùn)用構(gòu)造法，并以例題分析的方式加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握。同時(shí)為了直觀的了解現(xiàn)在中學(xué)生對(duì)構(gòu)造法的理解程度

12、，本文將通過(guò)調(diào)查問(wèn)卷的形式，來(lái)分析中學(xué)生對(duì)這一重難點(diǎn)的認(rèn)知水平和知識(shí)建構(gòu)情況，調(diào)查對(duì)象為高中一年級(jí)和二年級(jí)，通過(guò)縱向與橫向研究，來(lái)分析不同年級(jí)以及不同學(xué)生間對(duì)構(gòu)造法掌握的差異程度，并且對(duì)所得結(jié)果提出了作者本人的看法。2.構(gòu)造思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中是一種重要的思維方法，運(yùn)用構(gòu)造法解題可以拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生分析，觀察，解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)好學(xué)生的創(chuàng)新思維。構(gòu)造法的大體結(jié)構(gòu)如下：構(gòu)造法有以下兩種基本特征： （一）：對(duì)所討論的對(duì)象能進(jìn)行較為直觀的描述； （二）：實(shí)現(xiàn)的具體性，就是不只是判明某種解的存在性，而且要實(shí)現(xiàn)具體求解2.1如何利用構(gòu)造性方法解決方程類(lèi)問(wèn)題方程的求解

13、方法最早出現(xiàn)在我國(guó)的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中，經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的不懈努力，在十六世紀(jì)，已經(jīng)找到三次和四次函數(shù)的求根公式，但至今無(wú)人能解決五次以上的代數(shù)方程的根式解。方程，作為中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的考察內(nèi)容之一，往往涉及到許許多多的難點(diǎn)和重點(diǎn)，考察的方式也多種多樣，學(xué)生在做到尤其是需要構(gòu)造法解決的問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)束手無(wú)策。如以下例題： 例1：已知，求證： 分析：學(xué)生在做這種題目時(shí)，會(huì)想到通過(guò)分母進(jìn)行通分得到：，做到這思維往往就會(huì)停滯，不知如何開(kāi)展，其實(shí)如果將不等式右邊的代數(shù)式移到左邊得，做到這，通過(guò)觀察，分析可以聯(lián)想到上述不等式與一元二次方程根的判別式：是相似的，通過(guò)逆向構(gòu)造一元二次方程可得，進(jìn)而通過(guò)判別式方法

14、來(lái)解決。詳細(xì)過(guò)程如下：例1： 已知，求證：證明： 因?yàn)?，所以將分母通分可得?將不等式的右邊移到不等式左邊可得： 。聯(lián)想到二次函數(shù)進(jìn)而構(gòu)造出一元二次方程：，通過(guò)觀察分析所得：是方程的一個(gè)根。所以方程根的判別式： ；即： 以上例題重在考查學(xué)生能否通過(guò)已知條件和結(jié)論，性質(zhì)與特征，構(gòu)造出一元二次方程的模型，以及觀察，發(fā)現(xiàn)，解決問(wèn)題的能力。如果說(shuō)上述方法重在創(chuàng)新，以下的例題則更強(qiáng)調(diào)對(duì)解題方法的記憶和理解。如以下在中學(xué)中最常見(jiàn)的方程練習(xí)題：例2： 解方程：分析：在做這類(lèi)習(xí)題時(shí)，如果采用常規(guī)方法即：平方差公式法解題或者平方法，在解題過(guò)程中會(huì)覺(jué)得難以奏效甚至?xí)絹?lái)越煩，在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要學(xué)生發(fā)揮好創(chuàng)造性

15、思維，但這類(lèi)問(wèn)題隨著時(shí)間的推移，逐漸形成了解題的固定方式，但仍需要學(xué)生在記憶的基礎(chǔ)上重在對(duì)解題方式的理解。解題通用過(guò)程大致如下：例2：解方程：解： 根據(jù)方程可以構(gòu)造出以下輔助恒等式：（1）將原方程標(biāo)記為等式（2），由（1）（2）可得：（3）（2）+（3）得： 解得： 總結(jié)：在做上述例題時(shí)，并不對(duì)所有類(lèi)似的題都是有效的，需要滿足以下條件 （一）：根號(hào)內(nèi)的未知數(shù)最高次項(xiàng)必須是相同的； （二）：最高次項(xiàng)前的系數(shù)必須是相同的；只有滿足以上兩個(gè)條件才能用上訴的方法解答。在解方程類(lèi)習(xí)題時(shí)，若果采用向思維難以解決時(shí)，或者越來(lái)越煩，可以考慮逆向思維，如：構(gòu)造相思結(jié)構(gòu)的方程等方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成一個(gè)自己熟悉的問(wèn)題

16、，從而巧妙簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題。2.2巧妙構(gòu)造圖像性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)形轉(zhuǎn)換是我們經(jīng)常采用的構(gòu)造方法之一，就是把代數(shù)與幾何相結(jié)合，抽象與直觀相聯(lián)系，使問(wèn)題直觀化。比如說(shuō)：在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)經(jīng)常遇到一些難以解決或者解起來(lái)很困難的函數(shù)類(lèi)問(wèn)題，如求函數(shù)的值域，如果通過(guò)常規(guī)法解題，需要先求出根號(hào)下一元二次函數(shù)的值域，然后再求總的函數(shù)的值域，過(guò)程相對(duì)較繁。但是我們通過(guò)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖像就是一個(gè)圓，轉(zhuǎn)化可得：，這樣就可以很直觀的得出函數(shù)的值域是，其次還有諸如數(shù)學(xué)符號(hào)“”可以將絕對(duì)值中的方程構(gòu)造成點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；數(shù)學(xué)符號(hào)“”構(gòu)造成平面中點(diǎn)到點(diǎn)的距離，圓，圓錐曲線等圖像形式，當(dāng)然，還有很多其他的一些構(gòu)造

17、圖像解問(wèn)題方法。通過(guò)下面例題的講解，可以更加直觀的了解構(gòu)造圖像解數(shù)學(xué)問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)。例3：求函數(shù)的值域解析：一般在做這種類(lèi)型題目時(shí)，往往會(huì)采用分類(lèi)討論的思想，但是考慮的因素會(huì)較多，不便于書(shū)寫(xiě)。本題中可以看成坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)到點(diǎn)-2的距離與到點(diǎn)3處的距離之和，存在下面三種情況：1.如圖1.當(dāng)點(diǎn)在-2和點(diǎn)3中間時(shí)，不管點(diǎn)是如何的移動(dòng)，其距離之和總是-2到3之間的距離，即為5 （圖1）2. 如圖2. 當(dāng)點(diǎn)處在點(diǎn)3的右側(cè)時(shí)，隨著點(diǎn)的不停右移，點(diǎn)到兩點(diǎn)間的距離之和將越來(lái)越大且大于5 （圖2）3. 如圖3.當(dāng)點(diǎn)處在-2的左側(cè)時(shí)，隨著點(diǎn)不停的左移，點(diǎn)到兩點(diǎn)間的距離之和將越來(lái)越大，且大于5。 （圖3）綜上所述：我們

18、可以得到，函數(shù)的值域是。（解題過(guò)程略）例4：設(shè)求證：解析：直觀上看相對(duì)復(fù)雜，按照平方法等常規(guī)方法做本題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是無(wú)從下手的，但是對(duì)本題進(jìn)行觀察分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)每一個(gè)根號(hào)下的未知數(shù)都是以平方的形式出現(xiàn)，易于聯(lián)想到勾股定理，構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的三角形，如下：設(shè),于是：，因?yàn)楣趟o結(jié)論成立。圖4上述問(wèn)題的變式很多，作者曾做到過(guò)很多類(lèi)似的問(wèn)題，如某市中考模擬卷中有如下一個(gè)問(wèn)題： 變式1：在中，三邊的長(zhǎng)為，求這個(gè)三角形的積？解析：用高中數(shù)學(xué)知識(shí)解答是能夠完成，通過(guò)聯(lián)立，兩個(gè)公式即可解決，但是計(jì)算起來(lái)相對(duì)復(fù)雜，況且是初中數(shù)學(xué)問(wèn)題。三角形是一個(gè)一般三角形，三邊無(wú)規(guī)律性，所以解決這類(lèi)問(wèn)題，可以通過(guò)增補(bǔ)的方法使之呈現(xiàn)

19、規(guī)則的形式。增補(bǔ)方式如圖5所示， 圖5在日常解題過(guò)程中要注意對(duì)問(wèn)題的歸納，再遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，尤其是自己無(wú)從下手的問(wèn)題，需要我們聯(lián)想到一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題，最終將它轉(zhuǎn)化成一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。其次要考慮它們的圖像意義，能夠?qū)⒊橄蟮膯?wèn)題直觀化。上述兩個(gè)例題主要分析了絕對(duì)值和根號(hào)問(wèn)題解答過(guò)程中所應(yīng)聯(lián)想到的方法。構(gòu)造圖像解數(shù)學(xué)問(wèn)題是中學(xué)中每一位學(xué)生都必須掌握的，利用好圖像工具不僅僅有利于問(wèn)題的解決，更能增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。2.3用構(gòu)造法求解數(shù)列問(wèn)題數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)最為重要的內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。數(shù)列與數(shù)、式、函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何的關(guān)系十分密切。數(shù)列中的遞推思想，函數(shù)思想，分類(lèi)討論思想以

20、及數(shù)列求和，求通項(xiàng)等各種方法和技巧在中學(xué)數(shù)學(xué)中都有十分重要的地位。解決數(shù)列問(wèn)題，往往不可忽視構(gòu)造法的應(yīng)用，這也是數(shù)列的難點(diǎn)所在，很多數(shù)列問(wèn)題題目較短，所給的文字信息有限，學(xué)生在做題時(shí)不容易找到突破口。其實(shí)，解題的方向就在題目中所給的關(guān)系式，只需通過(guò)合適的關(guān)系變換就容易解決。如數(shù)列求通項(xiàng)例5：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列通項(xiàng)解析：題目中只給出了，的關(guān)系，沒(méi)有其他條件，解題的難點(diǎn)就在于如何轉(zhuǎn)化關(guān)系式。表面上看既不符合等差關(guān)系也不符合等比關(guān)系，但是如果將關(guān)系式構(gòu)造成關(guān)系式。就能直觀的看出通項(xiàng)是等比數(shù)列，只需求出即可。完整過(guò)程如下：例5：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列通項(xiàng)解: 構(gòu)造如下關(guān)系式： ； 可得 ： 即： 結(jié)論

21、：當(dāng)題目中出現(xiàn)如關(guān)系式 ， 。上述數(shù)列的函數(shù)表達(dá)式是，通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列形式能夠容易解出來(lái)。但是遇到形式時(shí)，又該如何做呢？如：例6：已知數(shù)列滿足求。解析：這里與上一題明顯的區(qū)別是后面的常數(shù)轉(zhuǎn)換成了關(guān)于的一次函數(shù)。用上述的構(gòu)造方法做是行不通的。如何使這種形式向這方面來(lái)轉(zhuǎn)換，我們發(fā)現(xiàn)與的系數(shù)為2倍關(guān)系，能否將上述轉(zhuǎn)換成形式。例6：已知數(shù)列滿足求解： 即： 現(xiàn)令： 可得： 同上所得： 結(jié)論：當(dāng)諸如遇到以上數(shù)列形式時(shí)，即：。類(lèi)比，通過(guò)下述方法進(jìn)行構(gòu)造：，再令，從而實(shí)現(xiàn)形式的轉(zhuǎn)換。構(gòu)造法在數(shù)列解題中的應(yīng)用非常廣泛，不論在求通項(xiàng)方面還是在求和方面都有涉及。構(gòu)造法在解題過(guò)程中充當(dāng)著中介的作用，使一些看似復(fù)雜，

22、不符合常規(guī)方式的數(shù)列經(jīng)過(guò)中介作用變成簡(jiǎn)單的等差或者等比數(shù)列。還有許許多多的構(gòu)造方法在此就不在一一論述，如：構(gòu)造圖形法解數(shù)列題：等差數(shù)列數(shù)列，其中，問(wèn)在哪項(xiàng)時(shí)最大。（提示，等差數(shù)列的圖像相當(dāng)于一次函數(shù)的圖像）；構(gòu)造倒數(shù)式：數(shù)列中，是前n項(xiàng)和，且，已知，求與 。（提示：構(gòu)造等式，與提干中的條件聯(lián)立起來(lái)，可得：，兩邊同除，即可得出是以2為公差的等差數(shù)列）等。2.4.用構(gòu)造三角函數(shù)法巧解數(shù)學(xué)問(wèn)題。三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其考察方式主要與代數(shù)，幾何知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，它是研究其他各部分知識(shí)的重要工具，又是高考考察雙基的重要內(nèi)容。應(yīng)用三角函數(shù)方法解題技巧靈活，方式多樣，同學(xué)不容易掌握。尤其是以下幾種情

23、況：常值代換，特別是“1”的代換，如：特殊替代，尤其是含有“”的情況，如，需要用代替題目中的。萬(wàn)能代換，利用所學(xué)的萬(wàn)能公式。在做三角函數(shù)題時(shí)，需要學(xué)生熟練掌握和，差，倍，半角的三角公式，利用銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，正弦定理，余弦定理等常用解題工具，能夠認(rèn)真分析和歸納題目要求，把握其中的方法和技巧，能通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖儞Q，構(gòu)造出相對(duì)簡(jiǎn)單和熟悉的三角結(jié)構(gòu)出來(lái)，從而解決問(wèn)題。下面通過(guò)幾個(gè)用構(gòu)造三角函數(shù)法解數(shù)學(xué)問(wèn)題的案例來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角函數(shù)的應(yīng)用。一：常值構(gòu)造法。例7：已知求的值。解：由條件 可得： ， 展開(kāi)可得： 因?yàn)椋?， 代換得： 同理： ， 分子分母同除以： ，可得： ，因?yàn)椋海宰罱K可得：

24、例8：求函數(shù)的最大值和最小值。解：構(gòu)造模型： 兩邊同平方： =常值構(gòu)造： 則：可得： =由二次函數(shù)的圖像可得 ；以上兩個(gè)例題都是常值變換中的常見(jiàn)用法，即題目中直接替代或者通過(guò)平方后替代。在做這一類(lèi)題目時(shí)，要注重觀察分析，看是否能夠替換，并不一定對(duì)所有的1都可以替換成，以免畫(huà)蛇添足，利用構(gòu)造法解題在于其中介作用，以繁化簡(jiǎn)，以難化易。二：模型構(gòu)造法（替代法）。例9：已知：，求證：。分析：由，。知，結(jié)論要求證明，容易聯(lián)想到，因此，我們構(gòu)造，所以=，可得，所以。模型構(gòu)造方法在解三角函數(shù)習(xí)題中最為常見(jiàn)，主要特點(diǎn)就是根據(jù)已知條件，通過(guò)符號(hào)等價(jià)轉(zhuǎn)換，從而形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型。這就要求學(xué)生在做題時(shí)要克服思維障

25、礙，以分析問(wèn)題，創(chuàng)新思維，順其自然地構(gòu)造常規(guī)解題模式，使問(wèn)題得到容易解決。2.5.用構(gòu)造法巧解生活中常見(jiàn)問(wèn)題日常生活中，我們會(huì)遇到各式奇奇怪怪的問(wèn)題，如：青蛙跳井問(wèn)題，抽屜問(wèn)題，摸小球次數(shù)問(wèn)題，韓信點(diǎn)兵問(wèn)題等。上述問(wèn)題通過(guò)常規(guī)思維去做是十分復(fù)雜，甚至是難以解決的，需要通過(guò)發(fā)散性思維來(lái)思考，通過(guò)豐富想象，邏輯構(gòu)造可以進(jìn)行有效解決。下面通過(guò)幾個(gè)例題進(jìn)行簡(jiǎn)要分析。例10：某學(xué)院內(nèi)組織一次考試，其中女生參加的人數(shù)要比男生多，其次，考試結(jié)果顯示不及格人數(shù)比幾個(gè)人數(shù)多，問(wèn)：不及格女生人數(shù)與及格男生人數(shù)之間的大小關(guān)系？解析：提取題目所給條件進(jìn)行，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型：女生人數(shù)男生人數(shù)不及格人數(shù)及格人數(shù)直觀上不容易看

26、出結(jié)論中誰(shuí)大誰(shuí)小。下面對(duì)模型繼續(xù)進(jìn)行構(gòu)造如下：不及格女生+及格女生不及格男生+及格男生；不及格女生+不及格男生及格女生+及格男生；數(shù)學(xué)化為： ，其中,問(wèn)兩者的大小關(guān)系，顯然有結(jié)論：，即：不及格女生人數(shù)多于及格男生人數(shù)。本題根據(jù)題目所給要求完全不能看出誰(shuí)大誰(shuí)小，但是經(jīng)過(guò)關(guān)系的轉(zhuǎn)換，可以很容易構(gòu)造出相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而就能直觀的看出題目的結(jié)論。在解這一類(lèi)題目時(shí)，需要學(xué)生理清題目中的關(guān)系，能夠構(gòu)造出相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。例11：一個(gè)袋子中有三種色彩的小球，其中黑色球有8個(gè)，白色球有12個(gè)，紅色球有17個(gè)。問(wèn)：最小取幾次能夠保證取到4種相同顏色的小球。解析：在遇到這種問(wèn)題時(shí)，學(xué)生思維容易混亂，很容易

27、被題目中的數(shù)據(jù)所困擾，同時(shí)小球的色彩種類(lèi)較多，不易找出題目所含問(wèn)題的突破口。為了達(dá)到解題的目的，不妨將問(wèn)題簡(jiǎn)化為如下情況：第一步：構(gòu)造模型：假設(shè)有三個(gè)標(biāo)有編號(hào)的小盒子，每取一種顏色的球，就放到相應(yīng)的盒子中去。第二步：動(dòng)手操作：向盒子中放小球，為了保證取到4種相同的球，那么就取其極端情況，即：每種顏色的球都取到了三次第三步：得出結(jié)論：因?yàn)槊總€(gè)盒子中都有三個(gè)小球，現(xiàn)在只需再取一個(gè)小球，就能滿足三個(gè)盒子中必有一個(gè)是四個(gè)球，即：某種色彩的小球取到了四次，所以答案是10次。變題12：一個(gè)袋子中有三種色彩的小球，其中黑色球有8個(gè)，白色球有12個(gè)，紅色球有17個(gè)。問(wèn)：最小取幾次能夠保證取到10個(gè)相同顏色的球

28、？解析：和上題題干信息相同，但是問(wèn)題是取10個(gè)相同顏色的球。而我們知道黑色球只有8個(gè)，看似不符合上述方法，但其實(shí)質(zhì)是相同的，即這10個(gè)相同顏色的球必須是白色或者紅色球當(dāng)中的一種。我們只需首先將黑色球全部取出，再通過(guò)剛剛方法求出另外兩種顏色的取法。最終結(jié)果為: (次)。上述例11和其變題所涉及的方法叫做抽屜法，抽屜法的定義是：如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)物體可以代表一個(gè)元素，假如有或者多于個(gè)元素放到個(gè)集合中取，其中必定至少有一個(gè)集合里有兩個(gè)元素。抽屜原理又稱(chēng)鴿巣原理。它是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。例13: 64人訂a,b,c三種雜志，訂a中雜志的有28人，訂b中雜志的有41人，訂c中雜志的有

29、20人，訂a，b兩種雜志的有10人，訂b,c兩種雜志的有12人，訂a,c兩種雜志的有12人，問(wèn)三種雜志均訂的有多少人？解析：通過(guò)題干所給信息可以得出下面結(jié)論： 1. , 2. ,3. , 4 . 圖6構(gòu)造相應(yīng)的交集圖像模型：可得圖6：將三者相加，其中多加了陰影部分的面積，又因?yàn)槿齻€(gè)陰影部分有交集（深色部分），所以多減了這部分的面積，可設(shè)深色部分的面積為。其結(jié)果為：28+41+20-10-12-12+=64，=9（人）。3. 關(guān)于中學(xué)生對(duì)構(gòu)造法思想掌握情況的調(diào)查報(bào)告。根據(jù)新課標(biāo)要求，強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的掌握，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式去觀察，分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)

30、用數(shù)學(xué)的意識(shí)。構(gòu)造法作為中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)方法，正好起著考察學(xué)生發(fā)散，創(chuàng)新思維能力的作用。3.1調(diào)查的設(shè)計(jì)、方法和過(guò)程本次調(diào)查采用分層調(diào)查的模式，隨機(jī)選擇同一學(xué)校的高中二年級(jí)和三年級(jí)的學(xué)生，樣本總數(shù)為94人。在掌握基本數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，在課堂教學(xué)中應(yīng)用構(gòu)造思想的滲透教學(xué)，進(jìn)行課堂交流，能培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)良思維品質(zhì)，有助于激發(fā)學(xué)生的非智力因素，提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。采用問(wèn)卷調(diào)查的方式，問(wèn)卷設(shè)置主要以選擇題為主，加以簡(jiǎn)單的解答題，主要考察不同學(xué)習(xí)階段和不同學(xué)習(xí)情況的學(xué)生對(duì)構(gòu)造法的認(rèn)識(shí)程度，以及是否能熟練利用構(gòu)造法解題的能力。3.2調(diào)查結(jié)果及分析3.2.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 下面通過(guò)列表法對(duì)

31、數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，因?yàn)檎{(diào)查人數(shù)相對(duì)有限，所以數(shù)據(jù)都采用了近似值。通過(guò)幾個(gè)數(shù)據(jù)表進(jìn)行橫向與縱向?qū)Ρ?，?duì)數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行分析，并且根據(jù)所得結(jié)論提出建議。（1）調(diào)查數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)為近似值）：高二學(xué)生調(diào)查數(shù)據(jù) 表一：（選擇）選項(xiàng) 題目1234a bc高二學(xué)生調(diào)查數(shù)據(jù) 表二：（簡(jiǎn)答）方法 題目12構(gòu)造法非構(gòu)造法 高三學(xué)生調(diào)查數(shù)據(jù) 表三：（選擇）選項(xiàng) 題目1234abc 高三學(xué)生調(diào)查數(shù)據(jù) 表四：（簡(jiǎn)答）方法 題目12構(gòu)造法非構(gòu)造法（2）數(shù)據(jù)分析： .高二和高三學(xué)生結(jié)果對(duì)比在選擇題部分的共同點(diǎn)表現(xiàn)在：在數(shù)學(xué)興趣方面和教師講課方式的趨向性方面基本一致，說(shuō)明不同階段的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣比例差別不大；而差異性表現(xiàn)在：數(shù)學(xué)構(gòu)

32、造法的掌握，高二的結(jié)果只有，高三學(xué)生的結(jié)果為，說(shuō)明高三的學(xué)生相對(duì)高二的學(xué)生更加注重對(duì)數(shù)學(xué)方法的掌握。第三題中高二學(xué)生對(duì)方法的重視程度明顯比高三學(xué)生低，這與第一題的結(jié)果是相似的，說(shuō)明高年級(jí)的學(xué)生更傾向于對(duì)知識(shí)的構(gòu)建，全面的掌握，這與高三處于復(fù)習(xí)階段是有一定的關(guān)系的。第五題主要側(cè)重于對(duì)學(xué)生掌握構(gòu)造法程度的檢測(cè)，其結(jié)果對(duì)比更加明顯，高二學(xué)生能采用構(gòu)造法的有，而高三的達(dá)到了，差距達(dá)到了倍。歸因分析從上述數(shù)據(jù)來(lái)看，高三學(xué)生對(duì)構(gòu)造法的掌握要明顯強(qiáng)于高二學(xué)生，這與目前學(xué)校廣泛采用傳統(tǒng)授課方式有關(guān)，在學(xué)習(xí)知識(shí)過(guò)程中，學(xué)生往往處于被動(dòng)的地位，不能很好的參與到知識(shí)的構(gòu)建當(dāng)中去，不利于以后的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的形成。對(duì)于構(gòu)造

33、性方法的學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，需要學(xué)生靈活，開(kāi)放的思維，但是現(xiàn)在的教育背景正好與之相反，導(dǎo)致構(gòu)造法在中學(xué)部分成為一個(gè)重難點(diǎn)。高三部分之所以能相較高二取得較好的成績(jī)，主要是高三年級(jí)教師在知識(shí)的復(fù)習(xí)和鞏固當(dāng)中對(duì)知識(shí)點(diǎn)的把握和基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)投入大量的精力，學(xué)生在二次復(fù)習(xí)當(dāng)中對(duì)自己薄弱的環(huán)節(jié)進(jìn)行了加強(qiáng)，從而有效的構(gòu)建了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這就是為什么高三學(xué)生能取得較好成績(jī)的原因。思考與建議。構(gòu)造性方法在中學(xué)中占有重要地位，對(duì)構(gòu)造性思想方法的學(xué)習(xí)能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與運(yùn)用，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的構(gòu)建，拓寬學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。但是目前大部分學(xué)生對(duì)構(gòu)造法認(rèn)知還很淺顯，學(xué)生的創(chuàng)新能力，發(fā)散思維能力還很不夠。改變這個(gè)現(xiàn)狀，關(guān)鍵要很好的實(shí)行新課改教學(xué)，教師在教學(xué)過(guò)程中要更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用，以及做好教師的引導(dǎo)作用，讓學(xué)生參與到知識(shí)的構(gòu)建，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。結(jié)語(yǔ) 在開(kāi)始論文寫(xiě)作之前，我發(fā)現(xiàn)構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用非常廣泛，也是高考考察的重點(diǎn)和難點(diǎn)，所以我選擇以此為研究方向，。為了更好的進(jìn)行論文的寫(xiě)作，我閱讀了很多的相關(guān)文獻(xiàn)，其中文獻(xiàn)主要分為兩類(lèi)，一類(lèi)為如何進(jìn)行構(gòu)造性方法教學(xué)的理論知識(shí)，一類(lèi)為構(gòu)造性方法的運(yùn)用解題。