選修2-1知識總結(jié)(20210412233843)

1、選修2-1知識點小結(jié)第一章常用邏輯用語(1) 命題命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或” “且” “非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復(fù)合命題：由簡單 命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。常用小寫的拉丁字母 p, q, r, s, 表示命題，故復(fù)合命題有三種形式：p或q; p且q；非p。(2) 復(fù)合命題的真值“非p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：p非p真假假真p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示:pqp且q真真真真假假假真假假假假p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示:pqP或q真真真真假真假:真J真假假假注：1 像上面表示命題真假的表叫真值表；2。由真

2、值表得：“非p”形式復(fù)合命題的真假與 p的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當p與q同為真時為真，其他情況為假；“ p或q”形式復(fù)合命題當p與q同為假時為假，其他情況為真；3。真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。(3) 四種命題如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互為逆命題；如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原 命題的否命題；如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題，這個

3、命題叫 做原命題的逆否命題。兩個互為逆否命題的真假是相同的，即兩個互為逆否命題是等價命題若判斷一個命題的真假較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。(4) 條件一般地，如果已知 p q，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件?？煞譃樗念悾?1)充分不必要條件，即 p q,而q p； (2)必要不充分條件，即 p q,而q p； (3)既充分又必要條 件，即p q,又有q p； (4)既不充分也不必要條件，即p q，又有q p。一般地，如果既有 p q,又有q p,就記作：p q. “”叫做等價符號。p q表示p q且q p。這時p既是q的充分條件，又是 q的必要條件，則p是q的充分必要條

4、件，簡稱充要條件。(5) 全稱命題與特稱命題這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞， 并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。注意：1.一個語句是否為命題，關(guān)鍵要看能否判斷真假，陳述句、反詰問句都是命題，而祁使句、 疑問句、感嘆句都不是命題；2. 判斷命題的真假要以真值表為依據(jù)。 原命題與其逆否命題是等價命題 ，逆命題與其否命題是等價 命題，一真俱真，一假俱假，當一個命題的真假不易判斷時，可考慮判斷其等價命題的

5、真假；3. 判斷命題充要條件的三種方法：(1)定義法；(2)利用集合間的包含關(guān)系判斷，若 A B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；(3)等價法：即利用等價關(guān)系A(chǔ) B B A判斷，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系(或否定式)的命題，一般運用等價法; 第二章圓錐曲線與方程一.曲線方程(1)求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下:步驟含義說明1、“建”：建立坐標系； “設(shè)”：設(shè)動點坐標。建立適當?shù)闹苯亲鴺?系，用(x,y)表示曲線上任 意一點M的坐標。(1) 所研究的問題已給出坐標系，即可直接設(shè)點。(2) 沒有給出坐標系，首先要選取適當?shù)淖鴺讼怠?、現(xiàn)(限)：由限制條

6、件，列出幾何等式。寫出適合條件P的點M的集合 P=M|P(M)這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細分析題意，使寫出的條件簡明正確。3、“代”：代換用坐標法表示條件P(M)，列出方程 f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”:化簡化方程f(x,y)-0為取簡形 式。要注意冋解變形。5、證明證明化簡以后的方程的 解為坐標的點都是曲線 上的點?；喌倪^程若是方程的同解變形，可以不要證明， 變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補上(即要注意方程變量的取值范圍 )。這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化”(2) 求曲線方程的常見方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲

7、線方程的五個步驟來求解。這是求曲線方程的基本方法。轉(zhuǎn)移代入法：這個方法又叫相關(guān)點法或坐標代換法。即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可 尋求它們坐標之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進行求解。幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點的坐標，間接地把坐標x,y聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。待定系數(shù)法2 圓錐曲線綜合問題(1)圓錐曲線中的最值問題、范圍問題通常有兩類：一類是有關(guān)長度和面積的最值問題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問題。這些問題往往通過定義，結(jié)合幾何知識，建立目

8、標函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來解 決。解題時要注意函數(shù)思想的運用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來。圓錐曲線的弦長求法：設(shè)圓錐曲線 C : f(x, y)=0與直線I : y=kx+b相交于A(x1, y1)、B(X2，y2)兩點，則弦長|AB|為：(1) | AB |=肉- a2|=亠辿= 4工禺或|ab|= Ji占 |也 fF卜 j知刃若弦AB過圓錐曲線的焦點 F,則可用焦半徑求弦長，|AB|=| AF|+| BF| 在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值注意點是要 考慮曲線上點坐標(x,

9、y)的取值范圍。(2) 對稱、存在性問題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法。(3) 實際應(yīng)用題數(shù)學應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實際應(yīng)用問 題，如橋梁的設(shè)計、探照燈反光鏡的設(shè)計、聲音探測，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運行軌道的計算等。涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問題的解決關(guān)鍵是建立坐標系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學問題作出 定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是：建立坐標系(4) 知識交匯題圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強

10、區(qū)分度的綜合題。2 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.點M(xO, yO)與圓錐曲線C： f(x, y)=0的位置關(guān)系曲錢條件結(jié)論楠圓點在曲線上2 2INK射冋山分曙1點在曲線外32悶HMi滬 2n 冷-+馬門點在曲蛾內(nèi)曲帆一|碼卜為乎醤=1點在曲線上唄隔15乎-帶1點在曲線外啊侶|2&乎一詈1點在曲絨內(nèi)拋物MF冋訃如點在曲壩上|MF| d y02 2p噸點在曲線外|MF| d yoa 0 ）焦點的弦，A（Xi , yj、B （x? 乂 ），直線AB的2傾斜角為則XiX2= P4F對A、B在準線yiy2= p2 ;|AB|= 巴L以AB為直徑的圓與準線相切；焦點上射影的張角為90 :|FA|1|FB

11、|sin第三章空間向量與立體幾何一、空間向量及其運算1 空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。說明：由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向 線段表示；平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。2.向量運算和運算律OB OA AB abBAOA OB a b OPa(R)加法交換率：a bba.加法結(jié)合率：（a b）ca (bc).數(shù)乘分配率：（a b）

12、 a b.說明：引導學生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四邊形法 則在空間仍成立。3平行向量（共線向量）：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。a平行于b記作a / b 。注意：當我們說 a、b共線時，對應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當我們說a、b平行時，也具有同樣的意義。fc-共線向量定理：對空間任意兩個向量a （ a豐0 ）、b , a / b的充要條件是存在實數(shù)使b = a注：上述定理包含兩個方面：性質(zhì)定理：若a / b （ a工0）,則有b = a，其中 是唯一確定的實數(shù)。判

13、斷定理：若存在唯一實數(shù)，使b = a （ a豐0）,則有a / b （若用此結(jié)論判斷 a、b所在直線平行，還需 a （或b ）上有一點不在 b （或a）上）。對于確定的和a , b = a表示空間與a平行或共線，長度為| a |，當 0時與a同向，當 0時與a反向的所有向量。若直線I/ a , A l , P為I上任一點，O為空間任一點，下面根據(jù)上述定理來推導op的表達式。推論：如果I為經(jīng)過已知點 A且平行于已知非零向量 a的直線，那么對任一點 O,點P在直線I上的充要條件是存 在實數(shù)t,滿足等式OP OA ta其中向量a叫做直線I的方向向量。在|上取AB a，則式可化為OP (1 t)OA

14、tOB.當t 1時，點P是線段AB的中點，貝UOP 1（OA OB） 2 2 或叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，是線段AB的中點公式。注意：表示式（*卜（* ）既是表示式 ，的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；推論的用途：解決 三點共線問題。結(jié)合三角形法則記憶方程。4. 向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段所在直線與平面平行或a在 平面內(nèi)，我們就說向量 a平行于平面 ，記作a / 。注意：向量a / 與直線a/ 的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果兩個向量 a、b不共線，則向量 p與向量a、b共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y,使p xa yb

15、.注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面。推論：空間一點 P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y,使MP xMA yMB,或?qū)臻g任一定點 0,有OP OM xMA yMB.在平面MAB內(nèi)，點P對應(yīng)的實數(shù)對（x, y）是唯一的。式叫做平面 MAB的向量表示式。又 MA OA OM,. MB OB OM,.代入，整理得OP （1 x y）OM xOA yOB.由于對于空間任意一點 P,只要滿足等式、之一（它們只是形式不同的同一等式），點P就在平面MAB內(nèi)；對于平面 MAB內(nèi)的任意一點 P,都滿足等式、，所以等式、都是由不共線的兩個向量MA、MB（或不共線三點 M、A、B

16、）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點共面的充要條件。5. 空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y,z,使 p xa yb zc.說明：由上述定理知，如果三個向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是p|p xa yb zc,x、y、z R，這個集合可看作由向量 a、b、c生成的，所以我們把 a , b , c 叫做空間的一 個基底，a , b , c都叫做基向量；空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底；一個基底是指一 個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；由于

17、0可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是0。推論：設(shè) O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使OP xOA yOB zOC.6. 數(shù)量積(1)夾角：已知兩個非零向量 a、b，在空間任取一點 O,作oaOBb，則角/ AOB叫做向量a與b的夾角，記作a, b(1)aAO(3)說明：規(guī)定ow a, b w ，因而a, b = b, a ；如果 a, b =，則稱a與b互相垂直，記作 a丄b ；3)、(4)中的兩個向量的夾角不同,2在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖(圖（3）中/ AOB

18、= OA,OB ,圖（4）中/ AOB=AO,OB從而有 OA,OB = OA, OB = OA, OB .(2) 向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。(3) 向量的數(shù)量積：a b cos a,b叫做向量a、b的數(shù)量積，記作a b。即 a b = a b cos a,b ,向量AB在e方向上的正射影a e | AB | cos a,e A B(4)性質(zhì)與運算律片HJ 4 a e cos a, e 。m（ a） b （a b）a丄ba b =0 a b=b a2*丿蟲弓目扌 | a ia a. a （b C）、立體幾何中的向量方法i空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面

19、所成的角以及二面角。(1) 異面直線所成的角的范圍是 (0,。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面2問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決。具體步驟如下： 利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上； 證明作出的角即為所求的角； 利用三角形來求角。(2) 直線與平面所成的角的范圍是0,亍。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。具體步驟如下：所求的角；線所成的一切角中的最小角, 角，則有； 找過斜線上一點與平面垂直的直線； 連結(jié)垂足和斜足， 得出斜線在平面的射影， 確定出 把該角置于三角形中計算。注：斜線和平面所成的角， 是它和平面

20、內(nèi)任何一條直 即若B為線面角，a為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的(3) 確定點的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； 如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個角的平分線上；兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上； 利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點在底面上的射影的位置：a. 如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點到底面各邊距離相等或側(cè)

21、面與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心；(4)二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指(0,，解題時要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法精品 棱上一點雙垂線法：在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面 角的平面角； 面上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(即垂足) 斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角； 空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平

22、面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平 面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：S Seos (S為原斜面面積，S為射影面積，為斜面與射影所成二面角的平面角)這個公式對于斜面為三角形 ，任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當作二面角的平面角有困難時 ，如果能找得斜 面面積的射影面積，可直接應(yīng)用公式，求出二面角的大小。2. 空間的距離(1)點到直線的距離：點P到直線 a的距離為點P到直線 a的垂線段的長，常先找或作直線 a所在平面的垂線， 得垂足為A，過A作 a的垂線，垂足為E連pe，則由三垂線定理可得線段pe即為點P到直線a的距離。在直角三角形PAB中求出PE的長即可。點到平面的距離：點P到平面的距離為點P到平面的垂線段的長常用求法作出點P到平面的垂線后求出垂線段的長；轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點A，B到斜足C的距離AB，AC的比為m：n，則點A，B到平面的距離之比也為 m:n .特別地，AB = AC時，點A，B到平面的距離相等；體積法(2) 異面直線間的距離：異面直線a，b間的距離為a，b間的公垂線段的長常有求法先證線