譜方法和邊界值法求解二維薛定諤方程碩士學(xué)位論文1

1、碩士學(xué)位論文碩士學(xué)位論文 譜方法和邊界值法求解二維薛定諤方程譜方法和邊界值法求解二維薛定諤方程 摘摘 要要 薛定諤方程是物理系統(tǒng)中量子力學(xué)的基礎(chǔ)方程，它可以清楚地說(shuō)明量子在系 統(tǒng)中隨時(shí)間變化的規(guī)律。通過(guò)求解微觀系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的薛定諤方程，我們能夠得到 其波函數(shù)以及對(duì)應(yīng)的能量，從而計(jì)算粒子的分布概率，進(jìn)一步來(lái)了解其性質(zhì)。在 化學(xué)和物理等諸多科學(xué)研究領(lǐng)域當(dāng)中，薛定諤方程求解的結(jié)果都與實(shí)際很相符。 近年來(lái)，很多學(xué)者通過(guò)各種方法研究具有復(fù)雜勢(shì)函數(shù)的薛定諤方程，解釋了很多 重要的物理現(xiàn)象，因此對(duì)薛定諤方程的求解具有相當(dāng)重要的意義。 本文主要是用 galerkin-chebyshev 譜方法和邊界值法求解二維

2、薛定諤方程。 首先運(yùn)用 galerkin-chebyshev 譜方法來(lái)對(duì)空間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似，離散二維薛定諤方 程，從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域上的線性常微分方程組。然后用邊界值法求解該 方程組，所求得的數(shù)值解即為原問(wèn)題的解，之后進(jìn)行誤差分析。最后利用 matlab 進(jìn)行數(shù)值模擬，給出數(shù)值解的圖像以及誤差曲面圖像，結(jié)果顯示此方法精度高且 具有很好的穩(wěn)定性。 關(guān)鍵詞：薛定諤方程；galerkin-chebyshev 譜方法；邊界值法；數(shù)值解； 精度高；穩(wěn)定 abstract the schrdinger equation is the basic equations of quantum mechani

3、cs in the physical system. it can clearly describe the regular of the quantum evolves over time. by solving the schrdinger equation which the micro system correspond, we can get the wave function and energy, and thus calculate the probability distribution of the particles, further understand the nat

4、ure of it. in chemistry, physics and other fields of scientific research, the results of solving the schrodinger equation are basically consistent with the actual. in recent years, many researchers used a variety of methods to investigate the schrdinger equation with complex potential function, and

5、explained a lot of important phenomena. thus solving the schrdinger equation has very important significance. the main purpose of this paper is to solve the two dimensional schrdinger equation through the galerkin-chebyshev spectral method and the boundary value method. first we use the spectral met

6、hod to approximate the spatial derivation, discretize the two dimensional schrdinger equation，and transform the original problem into a set of linear ordinary differential equations in the complex number field. then by using the boundary value method to solve the equations, that the numerical soluti

7、ons is the solutions of the original problem, and then analyze the error. finally we use matlab to conduct the numerical simulation, and give the images of the numerical solutions and errors, which show that the methods have high precision and good stability. keywords: schrdinger equation, galerkin-

8、chebyshev spectral method, boundary value method, numerical solutions, high precision, stability 目 錄 摘 要.i abstract.ii 第 1 章 緒 論.1 1.1 課題研究的背景和意義 .1 1.2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀 .2 1.3 本文的主要研究?jī)?nèi)容 .2 第 2 章 預(yù)備知識(shí).4 2.1 克羅內(nèi)克積的簡(jiǎn)介 .4 2.2 chebyshev 多項(xiàng)式介紹及其性質(zhì) .5 2.3 chebyshev 正交逼近的性質(zhì) .6 2.4 投影算子的性質(zhì) .7 2.5 本章小結(jié) .8 第 3 章 galer

9、kin-chebyshev 譜方法和邊界值法.9 3.1 用 galerkin-chebyshev 譜方法求解橢圓型方程 .9 3.2 用邊界值法求解常微分方程 .10 3.3 本章小結(jié).14 第 4 章 求解二維薛定諤方程.15 4.1 區(qū)域和邊界條件的處理 .15 4.1.1 區(qū)域的處理.15 4.1.2 邊界條件的處理.17 4.2 二維薛定諤方程的求解 .20 4.3 誤差分析 .21 4.4 本章小結(jié) .26 第 5 章 數(shù)值模擬.27 結(jié) 論.32 參考文獻(xiàn).33 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明及使用授權(quán)說(shuō)明.37 致 謝.38 第第 1 章章 緒緒 論論 1.1 課題研究的背景

10、和意義 薛定諤方程是一個(gè)偏微分方程，它可以清楚地說(shuō)明量子在物理系統(tǒng)中隨時(shí)間 如何在變化，它是量子力學(xué)的一個(gè)基本的假設(shè)，也是量子力學(xué)的基礎(chǔ)方程，由物 理學(xué)家薛定諤提出而得名1。在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)當(dāng)中，人們分別是用牛頓第 二定律和薛定諤方程來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)的，這兩者在物理系統(tǒng)當(dāng)中具有相同的地 位。薛定諤方程式可以描述任何的微觀系統(tǒng)，通過(guò)求解該微觀系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的薛定 諤方程，我們能夠得到其波函數(shù)以及對(duì)應(yīng)的能量，從而進(jìn)一步來(lái)了解該微觀系統(tǒng) 的性質(zhì)。 薛定諤方程可以分為與時(shí)間有關(guān)和與時(shí)間無(wú)關(guān)兩種類型，其中量子系統(tǒng)的波 函數(shù)隨著時(shí)間的演化過(guò)程是通過(guò)與時(shí)間有關(guān)的薛定諤方程來(lái)描述的，而與時(shí)間無(wú) 關(guān)的薛定諤方程

11、則描述的是固定狀態(tài)的量子系統(tǒng)的物理性質(zhì)，方程的解即是該量 子系統(tǒng)固定狀態(tài)的波函數(shù)。 本文考慮的是二維與時(shí)間有關(guān)的薛定諤方程： (1-1) 22 22 ( , , )( , , )( , , )( , ) ( , , ) uuu ix y tx y tx y tw x y u x y t txy ( , , ),0,x y ta ba bt 初始條件為： ( , ,0)( , )u x yx y 邊界值條件為： (1-2) 12 34 ( , , )( , ),( , , )( , ),0 ( , , )( , ),( , , )( , ),0 u x a tx tu x b tx tt u a

12、 y ty tu b y ty tt 其中是任意的勢(shì)函數(shù)，是波函數(shù)，且在定義域內(nèi)連續(xù)。( , )w x y1i ( , , )u x y t 薛定諤方程是反應(yīng)微觀粒子隨著時(shí)間變化的非相對(duì)論波動(dòng)函數(shù)，它僅適用于 速度比較緩慢的非相對(duì)論粒子。其中波函數(shù)可以很好地描述微觀粒子的( , , )u x y t 狀態(tài)，在勢(shì)函數(shù)中微觀粒子運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程即為方程(1-1)。我們可以通( , )w x y 過(guò)給定的初始條件和邊界值條件以及波函數(shù)所滿足的條件，來(lái)求解出波函數(shù) ，進(jìn)而計(jì)算粒子的分布概率。( , , )u x y t 薛定諤方程被廣泛地應(yīng)用于化學(xué)和物理等領(lǐng)域中，如量子器件的建模2，光 纖傳播模型3，

13、光電子器件的設(shè)計(jì)4，電磁波的傳播5，天體系統(tǒng)的量子化6，軸 近似波動(dòng)方程的水下聲學(xué)7，量子動(dòng)力學(xué)計(jì)算的應(yīng)用8,9，化學(xué)核外電子的運(yùn)動(dòng)狀 態(tài)描述10等。它被應(yīng)用到原子、核等諸多方面問(wèn)題中，所得到的結(jié)果都與實(shí)際很 相符。近年來(lái)，很多學(xué)者通過(guò)各種方法研究具有復(fù)雜勢(shì)函數(shù)的薛定諤方程所描述 的問(wèn)題11-14，解釋了很多重要的物理現(xiàn)象，因此對(duì)薛定諤方程的求解具有相當(dāng)重 要的意義。 1.2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀 到目前為止，對(duì)薛定諤方程(1-1)的求解已經(jīng)有了很多種數(shù)值方法， 大多都 是采用的有限差分法15-17，或者是用三角正交函數(shù)系或冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開的譜方法 18,19。subasi 給出了具有二階精度的有限差

14、分方法20，kalita 等人給出了一個(gè)隱 式的半離散高階緊湊方法21，antonie 等人給出了一個(gè) crank-nicolson 隱格式方 法22，dehghan 給出了不同的有限差分方法包括三個(gè)全隱式和兩個(gè)全顯示差分方 法以及交替方向隱式法和 barakat 和 clark 類型的顯示方法23，dehghan 和 shokri 還給出了使用配置和薄板樣條徑向基函數(shù)的數(shù)值方法24，此外 dehghan 和 mohebbi 還給出了求解方程(1-1)的緊湊有限差分法25，gao 和 xie 還給出了緊湊 的交替方向隱式有限差分法26，該方法在空間上具有四階精度，在時(shí)間上具有二 階精度。li

15、等人還給出了多元二次（mq）和薄板樣條（tps）徑向基函(3)m 數(shù)的 mps 方法求解薛定諤方程，該方法類似于有限差分法27。dehghan 和 taleei 還提出了一種緊湊的分布有限差分方法來(lái)求解薛定諤方程28，該方法通過(guò)使用四 階精度緊致差分格式，來(lái)提高分布有限差分方法的準(zhǔn)確性，而且還具有無(wú)條件穩(wěn) 定的性質(zhì)。 譜方法的思想起源于傅立葉分析，它是一種既古老又新興的求解偏微分方程 的方法。求解偏微分方程的三種最基本的方法分別是譜方法，有限差分方法和有 限元方法。譜方法和另兩種方法相比，具有“無(wú)窮階”收斂的特點(diǎn)，即它的收斂 速度會(huì)隨著真解的光滑程度變高而變快，從而譜方法就能用限制自由度的方式

16、來(lái) 得到較高的精度29，另兩種方法在這一點(diǎn)上是無(wú)法比擬的。 1.3 本文的主要研究?jī)?nèi)容 本文主要是用 galerkin-chebyshev 譜方法和邊界值法求解二維 schrdinger 方 程，運(yùn)用 galerkin-chebyshev 譜方法對(duì)空間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似,離散薛定諤方程(1-1)， 從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域上的線性常微分方程組，然后再用邊界值法求解該方 程組，所求得的數(shù)值解即為原問(wèn)題的解，之后再進(jìn)行誤差分析，得到誤差分析結(jié) 果，最后再通過(guò) matlab 進(jìn)行數(shù)值模擬，給出數(shù)值解的圖像以及誤差曲面圖像。譜 方法求解偏微分方程具有高精度的性質(zhì)，邊界值法求解常微分方程同樣具有高精 度和穩(wěn)定

17、的特點(diǎn)，這樣問(wèn)題即得到解決。 在第一章中我們闡述了薛定諤方程在當(dāng)前科學(xué)研究中的應(yīng)用，表明求解薛定 諤方程具有很深遠(yuǎn)的意義，還介紹了現(xiàn)階段求解該方程的主要方法，以及本文即 將采用的方法。緊接著在第二章中，我們介紹了本論文所需要的一些預(yù)備的基礎(chǔ) 知識(shí)，為后面論文的順利進(jìn)行做好準(zhǔn)備工作。 在第三章當(dāng)中，我們采用 galerkin-chebyshev 譜方法求解橢圓型方程，以及 用邊界值法求解常微分方程，并給出求解特殊常微分方程組的求解格式，這兩個(gè) 方法求解微分方程都具有很高的精度和很好的穩(wěn)定性。 第四章中，先對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行區(qū)域映射處理，以及對(duì)邊界條件進(jìn)行齊次化處理 以后，然后運(yùn)用 galerkin-c

18、hebyshev 譜方法對(duì)二維薛定諤方程進(jìn)行離散，將其轉(zhuǎn) 化成常微分方程組，然后對(duì)該微分方程組進(jìn)行求解，得到數(shù)值解，接著對(duì)該方法 進(jìn)行誤差分析，得到誤差估計(jì)結(jié)果。 第五章進(jìn)行數(shù)值模擬，根據(jù)前面的內(nèi)容，編程得到問(wèn)題的數(shù)值解，并和相應(yīng) 的精確解進(jìn)行比較，分析其誤差，畫出誤差曲面圖像。 最后是本文的一個(gè)總結(jié)，以及研究此問(wèn)題的意義和前景展望。 第 2 章 預(yù)備知識(shí) 2.1 克羅內(nèi)克積的簡(jiǎn)介 定義定義 2.130：設(shè)是一個(gè)行列的矩陣，是一個(gè)行列的矩陣，amn m n (a ) ij a bpq ，克羅內(nèi)克積可以表示成：() ijp q bb ab 11121 21222 12 n n mmmn a b

19、a ba b a b a ba b ab a b aba b 它是一個(gè)的分塊矩陣。mpnq 克羅內(nèi)克積具有如下的一些性質(zhì)： 性質(zhì) 1：滿足結(jié)合律與雙線性的性質(zhì)： 如果矩陣存在，則 ；bc()abcabac 如果矩陣存在，則；ab()abcacbc ，其中是常數(shù)；()()()kabakbk abk .()()abcabc 性質(zhì) 2：，和是四個(gè)矩陣，如果矩陣乘積和存在，那么就有abcdabcd ()()ab cdacbd 性質(zhì) 3：是可逆的當(dāng)且僅當(dāng)和是可逆的，其逆矩陣是：abab 111 ()abab 性質(zhì) 4：.()t tt abab 定義定義 2.2：設(shè)是一個(gè)行列的矩陣，那么把矩陣按列將后一列

20、amn m n (a ) ij a a 堆在前一列后面，形成的一個(gè)新的列的向量記為，即：mn( )vec a 1112121231 ( )(a ,a ,a ,a ,a,a ,a)t nnmn vec a 定理定理 2.1：設(shè)是一個(gè)行列的矩陣，是一個(gè)行列的矩陣，是一個(gè)ammbnnu 行列的矩陣，也是一個(gè)行列的矩陣，那么有：mnfmn ()( )( ) t aubfba vec uvec f 證明：證明：先將矩陣,寫成如下的形式：buf 121212 , , t nnn bb bbuu uuffff 其中,分別是矩陣,第 列的列向量， i b i u i fbufi1,2,in 則有： ()( )

21、( )ba vec uvec f 1112111 2122222 12 n n nnnnnn abababuf abababuf ufababab , 1 ,1,2, n ijji j ab uf in 12 , n aub aubaubf t aubf 從而原題得證。 2.2 chebyshev 多項(xiàng)式介紹及其性質(zhì) 定義定義 2.3：在區(qū)間上的權(quán)函數(shù)以遞歸的形式定義的正交多項(xiàng)式 1,1 2 1 ( ) 1 x x 稱為 chebyshev 多項(xiàng)式，它可寫成：。( )cos( arccos ),0,1, n t xnx n chebyshev 多項(xiàng)式具有如下的性質(zhì)： 性質(zhì)(1) 31：正交性

22、1 1 2 2 1 0, ( ),( )( )( )(1),0 2 ,0 nmnm mn t x txt x txxdxmn mn 性質(zhì)(2) 31：遞推關(guān)系 11 01 ( )2( )( ) ( )1,( ) nnn txxt xtx t xt xx 11 01021 1 ( )2(1)( )( ) 1 ( )0,( )( ),( )4 ( ) nnn n txnt xtx n t xt xt x t xt x 性質(zhì)(3) 31：是階多項(xiàng)式，是階多項(xiàng)式，是階多項(xiàng)式，( ) n t xn ( ) n t x1n ( ) n tx2n 滿足：，其中 1 0 1 ( )2( ) n nk k k

23、k nodd t xnt x c 1 22 0 1 ( )()( ) n nk k k k neven txn nk t x c 。 2,0 1,0 k k c k 定理定理 2.232：設(shè)，則: 2 ( )( )( ),( ),( ) ,( ),( ) kkkjkkjjkkj xt xtx axxbxx 2 (1)(2), 4 (1),2,4,6, 0,. jk jjkj ajkjjj kj or kjodd 1 , 2 ,2,2 2 0, k jk c kj bkjor kj otherwise 2.3 chebyshev 正交逼近的性質(zhì) 我們討論 chebyshev 逼近問(wèn)題，需要借助帶

24、權(quán)的 sobolev 空間，下面記以 為權(quán)的階空間為，它 11 22 22 (1)(1)xy msobolev( 1,1) ( 1,1)( ) mm hh 的內(nèi)積和范數(shù)定義分別為 (k)(k) , 0 ( , ), m m k u vu vdxdy 1 2 , , ( , )m m uu u 記。 2 11 22 0, ( , )( , ) l uu uu u 設(shè)區(qū)間是一個(gè)非空集，且是 lebesgue 可測(cè)的，記的范數(shù)為： n r( ) p l 1 () () , 1 p p l ffdxdyp 當(dāng)時(shí)，。p () sup l x i fessf 接下來(lái)定義空間，設(shè)空間是有界的，且，有 p l

25、 n r1p () ( ): p p l lff 在空間和上的全體次連續(xù)可微的函數(shù)所構(gòu)成的集合分別記為和k( ) k c 。記，( ) k c 12 (,) n n n 12n 12 12 n n dd dd 其中是廣義導(dǎo)算子，接下來(lái)定義弱導(dǎo)數(shù)。 i i d x 定義定義 2.433：設(shè)，滿足上面的式子，稱 是的階弱導(dǎo)數(shù)，記為 1 ,( ) loc u vlvu ，如果vd u 0 ( 1),( )uddxv dxc 有時(shí)又稱在弱的意義下。vd u 下面定義空間，設(shè)區(qū)域是有界的，是非負(fù)整數(shù)， ,k p w n rk1p ，有：( ) p pl , ( ):( ),( ), k ppp wffl

26、d flk , () k p p w l k fd f 其中為空間上面的范數(shù)。 ,k p w f , ( ) k p w 在空間上的閉包記為，當(dāng)時(shí)， 0 ( )c , ( ) k p w , 0, k p w 2p ,2 ( ) kk wh 。 ,2 0,0, ( ) kk wh 定理定理 2.3（gronwall 不等式）不等式）34：設(shè)和是上的非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，并( ) t( )g t0, t 且在是可微的，如果存在常數(shù)滿足，使得對(duì)任意的，都( ) t0, t0(0, )tt 有： ( ) ( )( )ttg t 或者等價(jià)的還有： 0 ( )(0)( )( ) t tgd 那么就有： ()

27、0 ( )(0)( ),0, t tt tegedtt 2.4 投影算子的性質(zhì) 記是一個(gè)多項(xiàng)式空間，其最大自由度是，是到的正( )npn n p 2 ( )l( )np 交投影算子，是到的橢圓投 11 0, ( )( )()0hhv v 0 n p 1 0, ( )h ( )np 影算子，則有如下的定義和性質(zhì)定理： 定義定義 2.535：空間 中從到的正交投影算子為： 2 ( )l 1 0, ( )h 2 n v n p 2 (, )0, nn p vvv 定義定義 2.635: 空間 中從到的橢圓投影算子為： 2 ( )l 1 0, ( )h ( )np 0 n p 02 ( (),()0,

28、 nwn p uuvvv 定理定理 2.436：對(duì)任意的非負(fù)整數(shù) ，都有下面的不等式：s( ) s h 2 ()() s s n lh pcn 定理定理 2.537：對(duì)任意的非負(fù)整數(shù) ，都有下面的不等式：s 1 0, ( )( ) s hh 12 00 () ()() s s nn h hl pnpcn 2.5 本章小結(jié) 本章給出了完成這篇論文所需要的一些必備的基礎(chǔ)知識(shí)，首先介紹了克羅內(nèi) 克積的定義以及性質(zhì)，然后介紹了切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)以及一些重要的關(guān)系定理， 之后介紹了 chebyshev 正交逼近的性質(zhì)，其中包括內(nèi)積和范數(shù)的定義，空間的定 義和性質(zhì)，最后還介紹了投影算子的定義和不等式性質(zhì)，

29、為論文的進(jìn)行做好準(zhǔn)備 工作。 第第 3 章章 galerkin-chebyshev 譜譜方方法法和和邊邊界界值值法法 3.1 用 galerkin-chebyshev 譜方法求解橢圓型方程 考慮用 galerkin-chebyshev 譜方法來(lái)求解如下的橢圓型方程 (3-1) 22 22 ()( , )( , ) uu w x y uuf x y xy ( , ) 1,1 1,1x yi 邊界條件是： ( 1, )(1, )0,11uyuyy ( , 1)( ,1)0,11u xu xx 由 chebyshev 多項(xiàng)式的定義和性質(zhì)，設(shè)， 01 ( ),( ),( ) nn sspan t x

30、t xtx ，則方程(3-1)的, ( 1)0 nn vusu 2 ( )( ): ,0,1,2 nij vspanxyi jn galerkin-chebyshev 譜方法是求使得對(duì)任給的都滿足 2 nn uv 2 n vv 22 22 ( (), )( ( , ), )(, )( ( , ), ) nn nn uu vw x y uvuvf x y v xy 其中，。( , )u vuv dxdy 11 22 22 (1)(1)xy 1,1 1,1 令,取 2 ,0 ( , )( )( ) n nkjkj k j ux yuxy ( )( ), ,0,1,2, lm vxy l mn 則有

31、 (, )(, )( ( , )( , ), ) nnn uvuvw x y uf x y v (,( )( )(,( )( )( ( , )( , ),( )( ) nlmnlmnlm uxyuxyw x y uf x yxy 將上式用矩陣表示即可寫成 ()buaaubbubf 其中：，和滿足定理 2.2 中的條件關(guān)系， ,0,1,2 () kjk jn aa ,0,1,2 () kjk jn bb kj a kj b ，且。 ,0,1,2 () kjk jn uu ,0,1,2 () kjk jn ff ( ( , )( , ),( )( ) kjnkj fw x y uf x yxy 由

32、定理 2.1 有 (3-2)()( )()( )( )abba vec ubb vec uvec f 對(duì)方程(3-2)進(jìn)行求解，就可以求出其數(shù)值解，從而得到方程(3-1)的數(shù)值解 kj u 。( , ) n ux y 3.2 用邊界值法求解常微分方程 邊界值法是最近求解常微分方程數(shù)值解的常用方法，簡(jiǎn)稱為 bvms，它是線 性多步法的一個(gè)推廣，和其他常微分初值問(wèn)題的數(shù)值解法相比較，bvms 具有高 精度和無(wú)條件穩(wěn)定的特點(diǎn)38-41，是一個(gè)很好的方法。 考慮下面的初值問(wèn)題 (3-3) . 0 ( )( , ( ),(0),0y tf t y tyyt 用步線性多步法離散上面的方程即可得到k (3-

33、4) 00 ,0,1,., kk rrjrrj rr ytfjnk 其中，為系數(shù)。(),( ,) rrrrr yy r t tr t ff ty r r 由泰勒展開有： 23 ()() 2!3! rjjjjj rtrt yyrt yyy 23 (4) ()() 2!3! rjrjjjjj rtrt fyyrt yyy 從而令： (1)( ) 01 00 kk qq rrjrrjjjqj rr lytfc yctyct y 則有： (3-5) 0 0 1 10 1 10 11 ,2,3, !(1)! k r r kk rr rr kk qq qrr rr c cr crrq qq 如果有次的連續(xù)

34、微商，那么就可以選取和使得( )y t2pk, jj ，即選取使其滿足 01 0, p ccc 1 0 p c , rr (3-6) 0 11 1 11 0 0 11 0 !(1)! k r r kk rr rr kk pp rr rr r rr pp 此時(shí)就有 1(1)2 1 ( )() ppp p lctytot , 00 kk rrjrrjj k rr ytfr 其中為截?cái)嗾`差，略去，就得到了線性多步法(3-4)，該方法的精度是 , j k r , j k r 階的。p 求解方程(3-4)需要個(gè)初始邊界條件和個(gè)結(jié)尾邊界條件，即我們需要k 和，初始邊界條件可以由方程(3-3)得到。個(gè)初始

35、011 ,.,yyy 1,.,n kn yy 0 y1 邊界條件和個(gè)結(jié)尾邊界條件則來(lái)自于以下等式k (3-7) ( )( ) 00 ,1,.,1, kk jj rrrr rr ytfj 和 (3-8) ( )( ) 00 ,1,., kk jj rn k rrn k r rr ytfjnkn 其中系數(shù)和的選擇，要滿足使基于最初與最后的邊界條件的方法的截?cái)?( ) j r ( ) j r 誤差與基于公式(3-6)的方法具有相同的階。 方程(3-4)(3-8)用矩陣形式表示可以寫為 ( ,) eeeeee a ytb f ty 其中. 1(1) , nnn eeee tyra br (1)(1)(

36、1) 01 (1)(1)(1) 01 01 0 0 (1)(1) 0 ()() 0 (1) k k k e k n kn k k nn k nn a 用代替矩陣中的，即為矩陣，并且. e a e b 0101 (,.,) ,(,.,) tt enen yyyyffff 對(duì)進(jìn)行劃分, eee a bf 0000 , , , , tt eeee aaa yyybb bfff (1)(1)(1)(1) 00000000 ,0,0,0,0 tt ab 將第一列分離出來(lái)，可以得到的等價(jià)式( ,) eeeeee a ytb f ty (3-9) 0 ( , )aytbf t yg 其中是一個(gè)未知量，且有

37、n yr 11000000 ,( ,) tt nn yyyfffga ytb f ty 在這里我們用四階 bvms 近似方程(3-3)，并取，由(3-6)得到3,2k 0123 1230123 123123 0 230 1227149 0 2438632 求解該方程組，得到其基礎(chǔ)解系，取其中的三組解，一組代入到方程(3-4)，另兩 組分別代入到(3-7)和(3-8)，即可以得到下面的關(guān)系式 (3-10) 32121 1 (99)() 122 jjjjjj t yyyyff 其中。 01230123 199111 ,0,0 1212121222 其對(duì)應(yīng)的初始邊界條件和結(jié)尾邊界條件分別為 (3-1

38、1) 321010 1 (9917)(3) 244 t yyyyff 其中。 01230123 1799113 ,0,0 2424242444 (3-12) 3211 1 (9917)(3) 244 nnnnnn t yyyyff 其中。 01230123 1991731 ,0,0, 2424242444 把上面的三個(gè)式子化為等式(3-9)的形式，則其中的分別為 00 , ,a b a b 9/ 249/ 241/ 24 9/129/121/12 1/129/129/121/12 1/129/129/121/12 1/ 249/ 249/ 2417/ 24 a 3/ 4 1/ 21/ 2 1/

39、 21/ 2 3/ 41/ 4 b , 0 171 ,0,0 2412 t a 0 1 ,0,0 4 t b 如果我們考慮的是特殊的線性常微分方程組 (3-13) . 0 ( )( )( ), (0),0 x y tb y tg tyyt 其中是的矩陣,且 x bm m 1212 ( )( ),( ),.,( ) , ( )( ),( ),.,( ) tt mm y ty ty tytg tg tg tgt 那么我們可以將(3-13)化為矩陣形式如下 (3-14) 00000 ()()() mxmx aitbbyt bigt bb ygay 其中是的單位矩陣，且 m im m 00 ( )gg

40、 t 112111222212 ( ),( ),.,( ),( ),( ),.,( ),.,(),(),.,()t mmnnmn yy ty tyty ty tyty ty tyt 112111222212 ( ),( ),.,( ),( ),( ),.,( ),.,(),(),.,()t mmnnmn gg tg tgtg tg tgtg tg tgt 如果線性常微分方程組可以化為下面的形式 (3-15) . 0 ( )( )( ), (0),0 xx a y tb y tg tyy t 其中是的非奇異矩陣, 那么用四階 bvm 法可以將方程(3-15)化為 x am m (3-16) 00

41、000 ()()() xxmxx aatbbyt bigt bb ygaa y 3.3 本章小結(jié) 本章給出了利用 galerkin-chebyshev 譜方法求解橢圓型方程的數(shù)值方法格式， 利用該方法將偏微分方程進(jìn)行離散以后得到常微分方程組，再利用常微分方程的 解法對(duì)其進(jìn)行求解即可達(dá)到將偏微分方程進(jìn)行求解的目的，譜方法精度很高，穩(wěn) 定性也很好，對(duì)于求解偏微分方程是一個(gè)非常好的方法。還給出了利用邊界值法 求解微分方程組的過(guò)程，并給出了幾種特殊形式的微分方程組的邊界值法求解的 數(shù)值格式，邊界值法求解微分方程具有很高的精度，對(duì)于求解常微分方程組也是 一個(gè)很好的方法。 第 4 章 求解二維薛定諤方程

42、4.1 區(qū)域和邊界條件的處理 由于 galerkin-chebyshev 譜方法只能解決齊次邊值條件的問(wèn)題，故針對(duì)本文 的二維 schrdinger 方程問(wèn)題，需要先進(jìn)行區(qū)域的映射處理，對(duì)非齊次的邊值問(wèn)題 進(jìn)行齊次化處理，將其轉(zhuǎn)化成方程的一般形式，再進(jìn)行求解。 4.1.1 區(qū)域的處理 原問(wèn)題中，我們?cè)谶@里對(duì)其進(jìn)行一定的變換處理，使區(qū)域 ( , ),x ya ba b 變成。 1,11,1 令 ， 1 2 x xaba 1 2 y yaba 11 , , , 22 xy u x y tu abaabatu x y t , , ,u x y tu x y t tt 11 , , , 22 11 ,

43、 , , 22 22 xy u abaabat u x y tx xxx xy u abaabat babau x y t xx 2 2 22 2 222 1 , , , , ,() 2 44 x u abay t u x y tbau x y tba xxx 11 , , , 22 11 , , , 22 22 xy u abaabat u x y ty yyy xy u abaabat babau x y t yy 2 2 22 2 222 1 , , , , ,() 2 44 x u abay t u x y tbau x y tba yyy 于是方程(1-1)就轉(zhuǎn)化為 (4-1) 22

44、 2222 , , ,44 (, , ) 11 (),() (, , ) 22 u x y tu x y tu ix y t txy baba xy w aba aba u x y t (, , )1,11,10,x y tt 初始條件為： 11 (, ,0)(),() 22 xy u x yaba aba 邊界值條件為： 12 34 11 (, 1, )(), ),(,1, )(), ),0 22 11 ( 1, , )(), ),(1, , )(), ),0 22 xx u xtaba tu xtaba tt yy uy taba tuy taba tt 對(duì)方程(4-1)進(jìn)行簡(jiǎn)化，可以將其

45、表示為 (4-2) 22 22 (, , ), , ,(, , ) uuu ix y tx y tx y tx y u x y t txy (, , )1,11,10,x y tt 初始條件為： (, ,0),u x yx y 邊界值條件為： 12 34 (, 1, )(, ),(,1, )(, ),0 ( 1, , )( , ),(1, , )( , ),0 u xtx tu xtx tt uy ty tuy ty tt 其中 2 4 ba 11 ,(),() 22 xy x yw aba aba 11 ,(,() 22 xy x yaaba 1122 11 (, )(), ),(, )()

46、, ) 22 xx x taba tx taba t 3344 11 ( , )(), ),( , )(), ) 22 yy y taba ty taba t 4.1.2 邊界條件的處理 在本文中對(duì)邊界條件的處理過(guò)程，就是一個(gè)對(duì)邊界條件進(jìn)行齊次化的過(guò)程。 由方程(4-2)，我們很容易得到 ， 22 11 22 1 xx 22 22 22 1 xx 22 33 22 1 yy 22 44 22 1 yy ， 11 tt 32 tt 33 tt 44 tt 于是令，則有 1121 1 , ,(, )(, )(, ) 2 y ux y tx tx tx t a 111 (, )(, ), 1,0x

47、tx tuxt a 221 (, )(, ),1,0x tx tuxt a 331 ( , )( , )1, ,y ty tuy t a 441 ( , )( , )1, ,y ty tuy t 2222 1121 2222 (, , )1 2 ux y ty xxxx 1121 (, , )1 2 ux y ty tttt a 331 1, , u y t ttt a 441 1, , u y t ttt a 2222 3331 2222 1, , u y t yyyy a 2222 4414 2222 ! 1, , ! un y t yyyyrnr 令，即可得到 aaa 3432 1 ,

48、,( , )( , )( , ) 2 x ux y ty ty ty t aaa 2222 3432 2222 (, , )1 2 ux y tx yyyy aaa 3432( , , )1 2 ux y tx tttt aaa aa 3432 34 3141 3141 1 (, 1, )( 1, )( 1, )( 1, ) 2 11 ( 1, )( 1, ) 22 11 ( 1, )( 1, 1, )( 1, )(1, 1, ) 22 11 ( 1, )( 1, )( 1, )(1, )0 22 x uxtttt xx tt xx tuttut xx tttt 同理可得 2( ,1, )0u

49、xt 從而有 a 112 ( , )(, ), 1,0x tx tuxt a 222 (, )(, ),1,0x tx tuxt a 332 ( , )( , )1, ,0y ty tuy t a 442 ( , )( , )1, ,0y ty tuy t 再令，則有 12 uuuu a 12 41 141 4 (1, , ) (1, , )(1, , )(1, , ) (1, , )(1, , )( , ) (1, , )(1, , )( , )(1, , ) (1, , )( , )0 uy tuy tuy tuy t uy tuy ty t uy tuy ty tuy t uy ty t

50、 同理有 ， ( 1, , ) 0uy t ( ,1, ) 0u xt ( , 1, ) 0u xt 即 1, , 1,0uy tu xt 由可以得到 12 uuuu 12 uuuu tttt 2222 12 2222 uuuu xxxx 2222 12 2222 uuuu yyyy 于是方程(4-2)就轉(zhuǎn)化為下面的方程 2222 1212 12 2222 , uuuuuuu ix yuuu tttxxyy 2222 12 2222 12 12 , , uuuuu ix y u txyxy uu x yuui tt 即可寫成 (4-3) 22 22 , , uuu ix y uf x y t

51、txy (, , )1,11,10,x y tt 初始條件為： 0 (, ,0),u x yux y 邊界值條件為： ( , 1, )0,0 ( 1, , ) 0,0 u xtt uy tt 其中 012 , ,0, ,0ux yx yux yux y 22 1212 12 22 , , uuuu f x y tx yuui xytt 于是原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題。 接下來(lái)我們需要去復(fù)數(shù)域，令： , uriq 12 ffif 帶入方程(4-3)得到 2222 12 2222 , rqrqrq iiiix yriqfif ttxxyy 根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可以得到 (4-4) 22 2 22 22

52、 1 22 , , rqq x y qf txy qrr x y rf txy (, , )1,11,10,x y tt 初始條件為： 0000 (, )re(, ) ,(, )im(, )r x yux yq x yux y 邊界值條件為： (, 1, )(, 1, )0,0 ( 1, , )( 1, , )0,0 r xtq xtt ry tqy tt 4.2 二維薛定諤方程的求解 對(duì)上面的方程組(4-4)進(jìn)行移項(xiàng)變換，得到 (4-5) 22 2 22 22 1 22 , , qqr x y qf xyt rrq x y rf xyt 令 ， 2 ,0 n nkjkj k j rrtxy

53、2 ,0 n nkjkj k j qqtxy ， a 1 2 ,kj nkj fx y qfxy a 2 1 ,kj nkj fx y rfxy 0 0 , kjkj i rrx yxyd 0 0 , kjkj i qqx yxyd a a 00 0,1,20,1,2 0,1,2 , kj kjkj kjnkjn kjn rrqqrr aa aa 12 00 0,1,2 0,1,20,1,2 , kj kjkj kjn kjnkjn ffffqq 令，由第三章的方法即可以得到解的弱形式 lm vxy (4-6) 22 2 22 22 1 22 , , nnn n ii nnn n ii qqr

54、 x y qv dfv d xyt rrq x y rv dfv d xyt 00 , ,0,0, ,0,0 nn ii rx yrx yv dqx yqx yv d 將(4-6)用矩陣表示即可寫成 (4-7) aaaa aaaa () () bqaaqbbr bf braarbbq bf ， a 0 (0)brbr a 0 (0)bqbq 其中 ， a a dr r dt a a dq q dt 0,1,2 kj kjn bb 利用定理 2.1，方程組(4-7)等價(jià)于 (4-8) aaa aaa ()()()( )() ()()()( )() bb vec rabba vec qvec f

55、bb vec qabba vec rvec f a 0 ()( (0)()bb vec rvec r a 0 ()( (0)()bb vec qvec q 然后利用第三章的邊界值法對(duì)上面的常微分方程組進(jìn)行求解，所得的數(shù)值解 即為原問(wèn)題的數(shù)值解。 4.3 誤差分析 由定理 2.4 可以得到 ， 2 h 000 s s n l rrcnr 2 h 000 s s n l qqcnq 那么問(wèn)題(4-4)的弱形式是求使得 221 0, ,0, ;0, ;h,r qlt llt (4-9) 2 1 (), (), iii iii r qvdx y qv dfv d t q rvdx y rv dfv d

56、 t galerkin-chebyshev 譜方法是求,使得 2 ,v nnn rq 2 v,0, n tt (4-10) 2 1 0 0 (), (),. n nn iii n nn iii nn nn r qdx y qdfd t q rdx y rdfd t rp r qp q 令 ， 00 pp nnnn r rrrrr 00 pp nnnn q qqqqq ,，, 0 p nnn rr 0 pnrr 0 p n nn qq 0 pnqq 則有 ， nn r r n n q q 定理定理 4.14.1：假設(shè)，滿足上面的關(guān)系，那么對(duì)任意的都有r n rq n q0, ,tt 22 nn

57、s ll rrqqcnm 其中 hh 1 22 2 ()()()() 0 2(0)(0) 2( )( ) ss s ss s t tt hhhh rqr tq tdm r tq t 證明：證明：由定理 2.5 可以得到 2 2 0 h ( )p s s n l l tr tr tcnr t 由定理 2.4 可以得到 22000 h 0,p s s nn ll rrrx yrcnr 同理可得 2 2 22 0 h 000 h p 0,p s s s n ll s nn ll tq tq tcnq t qqqx yqcnq 接下來(lái)估計(jì)和，令 2 n l 2 n l , ,(), ii a t g

58、vgvdx y gv d 由方程組(4-9)，(4-10)可以得到 2 (), (), iiii n nn iii r qvdx y qv dv df v d t r qvdx y q v dv d t 從而有 ()(),()0 n nn iii rr qqvdx yqqv dv d t 2 ( , , )( , )(, )(, )0,( ) n n n a tva tvvvvv tt 同理得到 2 ( , , )( , )(, )(, )0,( ) n nn a tva tvvvvv tt 由投影算子的性質(zhì)，我們可以得到 0 0 0 0 0 0 2 0 0 ( , )(, )( , )(,

59、)(, ) ( , )(),(, ) ( , )(, ) ( , )(, )() n n n n n n n n nn n n n nn iii i p r r a tvva t p qqvvv ttt p r r a t p q vqvdx y q v dvv d tt p r a t p q vvf v d t p r a t p q vvqvd t 0 00 0 00 0 , (),(, )() , (, )(, )()(),() (, )(, )( n nn n nn n iii iii ii ii r x y qv dv d t p r p qvdx y p qv dvqvd t r

60、 x y qv dv d t p r r vvp qqvdx yp qq v d tt p r r vv tt , )v t 即 0 ( , )(, )(, )0,( ) n n n a tvvvvv tt 同理有 0 ( , )(, )(, )0,( ) n nn a tvvvvv tt 分別取，分別帶入到上面兩個(gè)式子中，就有 n v nv ( ,)(,)(,)0 n n nnn a t tt ( ,)(,)(,)0 n nnn n a t tt 由于，且 2 2 (,) nn l n 2 2 (,)(,)(,) 2(,)2(,) nnnnnnn nnnn l tttt tt 故得到 2 2