淺談導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)中的作用畢業(yè)論文

1、淺談導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)中的作用摘要：導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問(wèn)題上提供了有力的工具，對(duì)導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問(wèn)題中的作用進(jìn)行闡述：可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與最值、函數(shù)的凹凸性、函數(shù)的漸近線(xiàn)和描繪函數(shù)的圖像并研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、凹凸性和漸近線(xiàn)，并附上例題說(shuō)明關(guān)鍵字：導(dǎo)數(shù) 單調(diào)性 極值與最值 凹凸性 0引言 歷史上數(shù)學(xué)思想的突破點(diǎn)是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的重大轉(zhuǎn)史的發(fā)展歷程，因此在教學(xué)中，學(xué)生自然會(huì)提出的一系列問(wèn)題：“導(dǎo)數(shù)”概念是怎樣得出的？“趨近于”怎樣理解?要弄清這些問(wèn)題，只有翻開(kāi)數(shù)學(xué)史，從哲學(xué)的角度認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)，這樣不僅能幫助我們搞清楚導(dǎo)數(shù)的概念，有助于建立正確的數(shù)學(xué)觀(guān)念. 1 主要內(nèi)容(1）函數(shù)的單調(diào)性 高

2、中階段，我們對(duì)函數(shù)單調(diào)性的定義如下：定義：已知函數(shù)，定義域?yàn)?，如?那么且那么(1) 當(dāng)，就稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)；(2) 當(dāng)，就稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)（1.1）單調(diào)性的判別方法定理1 如果函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，那么（1） 若在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2） 若在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.定理2 若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)（1） 在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）函數(shù)在內(nèi)嚴(yán)格遞減，那么，有；在內(nèi)的任何子區(qū)間上不恒等于零推論 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，若（），則在內(nèi)嚴(yán)格遞增（嚴(yán)格遞減）注意：本推論只是嚴(yán)格單調(diào)的充分條件。如在r上是嚴(yán)格單調(diào)的，但并不是在r上不恒大于零的，有因此允許個(gè)別離散型的點(diǎn)

3、時(shí)的滿(mǎn)足方程的點(diǎn)為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)（又稱(chēng)駐點(diǎn)）（1.2） 單調(diào)區(qū)間的劃分（1）函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)可能是：駐點(diǎn)或者不可導(dǎo)點(diǎn)（2）求單調(diào)區(qū)間的步驟：先求出函數(shù)的定義域；再求出可能的分界點(diǎn)：駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；用上面的分界點(diǎn)將定義域分成若干小區(qū)間；最后判斷在每個(gè)小區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判斷單調(diào)區(qū)間（1.3）例題例1 判定函數(shù)的單調(diào)性分析：先判斷函數(shù)的定義域，再判定一階導(dǎo)為0 的點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)將定義域劃為幾個(gè)區(qū)間，然后分別確定在這些區(qū)間上的單調(diào)性解法一：（用定義求）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，?且 有 又1，且，有，.由 結(jié)合函數(shù)和函數(shù)在同一坐標(biāo)下的圖像得知，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減 解

4、法二： 函數(shù)的定義域?yàn)?，在定義域上連續(xù)，可導(dǎo)，且令，即因?yàn)樵?，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增相比較而言，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性就能更加的簡(jiǎn)便和通用.（2） 函數(shù)的極值、最值（2.1） 極值的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義若，且存在的某領(lǐng)域，有則稱(chēng)為的極大值點(diǎn)（極小值點(diǎn)）為的極大值（極小值）極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn)極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值 若函數(shù)的最大（?。┲迭c(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則必定為的極大（?。┲迭c(diǎn)又若在可導(dǎo)，在還是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)所以我們只需比較在所有穩(wěn)定點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和區(qū)間斷電上的函數(shù)值，就能從中找到在上的最大值與最小值最大值與最小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的最值（2.2） 極值存在的條件費(fèi)馬定理 若函數(shù)在可導(dǎo)，且為的

5、極值點(diǎn)，則=0定理3 （極值的第一充分條件） 設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，在某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)（i） 若當(dāng)則在點(diǎn)取得極小值（ii) ,則在點(diǎn)取極大值定理4（極值的第二充分條件） 設(shè)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且（i) 若0，則在取極大值（ii）若0，則在取得極小值定理5 （極值的第三充分條件） 設(shè)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)存在知道階導(dǎo)函數(shù)，在 處階可導(dǎo)，且 ，則：（i) 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在取極值，且0時(shí)取極小值（ii） 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在處不取極值（2.3） 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值求法閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值求法：將閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的求法推廣為開(kāi)區(qū)間、半開(kāi)區(qū)間(包括無(wú)窮區(qū)間)即任意區(qū)間的連續(xù)函數(shù)最值的判定和求法。其方法就

6、是把函數(shù)的駐點(diǎn)、不可導(dǎo)的點(diǎn)、閉端點(diǎn)的函數(shù)值中的最大(最小)值與開(kāi)端點(diǎn)的單側(cè)極限值比較,達(dá)到最大(最小),就是函數(shù)的最大(最小)值;否則函數(shù)就沒(méi)有最大(最小)值（2.4）例題例2 求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值解 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，故存在最大最小值由于 ， ， ；因此 ， ， ；求出導(dǎo)數(shù)的不穩(wěn)定點(diǎn)以及端點(diǎn)的函數(shù)值所以函數(shù)在處取得最小值，在處取得最大值132（3）函數(shù)的凹凸性（3.1） 概念：定義1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，且連續(xù)。如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)，總有 ，那么，稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上的圖像是（向上）凸的（或凸?。┳?若是曲線(xiàn)的一個(gè)拐點(diǎn)，在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不一定存在，如在的情形定義2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義

7、，若對(duì)上的任意兩點(diǎn)和任意實(shí)數(shù)總有 則稱(chēng)為上的凸函數(shù)。反之，如果總有則稱(chēng)為上的凹函數(shù)定義 連續(xù)的曲線(xiàn)上凸弧段與凹弧段的分界點(diǎn)稱(chēng)為該曲線(xiàn)的拐點(diǎn)(3.2) 函數(shù)凹凸性判定定理定理6 設(shè)函數(shù)在區(qū)間i內(nèi)可導(dǎo)，如果在區(qū)間i內(nèi)單調(diào)增加（或單調(diào)減少），那么函數(shù)在區(qū)間上的圖像是凹的（或凸的）定理7 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，那么（1） 若在內(nèi)，0，則函數(shù)在區(qū)間上的圖像是凹的；（2） 若在內(nèi)，0，則函數(shù)在區(qū)間上的圖像是凸的(3.3)解題步驟若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，討論函數(shù)的凹凸性可按以下步驟進(jìn)行：（1） 求出函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)；（2） 令=0，求解其解將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間；（3） 判斷在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，

8、設(shè)，可按照下表來(lái)判斷函數(shù)的凹凸性： (曲線(xiàn)上的點(diǎn) +（嚴(yán)凸） 0 （嚴(yán)凹） 拐點(diǎn) （嚴(yán)凹） 0 +（嚴(yán)凸） 拐點(diǎn) +（嚴(yán)凸） 0 +（嚴(yán)凸） 非拐點(diǎn) （嚴(yán)凹） 0 （嚴(yán)凹） 非拐點(diǎn)(3.4)例題例3 求曲線(xiàn)的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間解 （1） 函數(shù)的定義域?yàn)閞（2） 解方程，得，；（3）及將函數(shù)的定義域r分成3個(gè)部分區(qū)間：，及下面列表考察的符號(hào)：的范圍 0 待添加的隱藏文字內(nèi)容3 的符號(hào) 0 0 嚴(yán)凹 拐點(diǎn) 嚴(yán)凸 拐點(diǎn) 嚴(yán)凹因此，該曲線(xiàn)在，上是凹的，在上是凸的，點(diǎn)都是該曲線(xiàn)的拐點(diǎn)(4) 求函數(shù)的漸進(jìn)性定義 在平面內(nèi)，當(dāng)曲線(xiàn)c上的動(dòng)點(diǎn)m沿著曲線(xiàn)c向無(wú)限遠(yuǎn)處移動(dòng)時(shí)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)m到一直線(xiàn)的距離無(wú)線(xiàn)接近0時(shí)，我

9、們就稱(chēng)直線(xiàn)為曲線(xiàn)c的一條漸近線(xiàn)注：漸近線(xiàn)的條數(shù)不唯一，一條曲線(xiàn)可以有多條漸近線(xiàn)曲線(xiàn)有三種漸近線(xiàn)：斜漸近線(xiàn)、水平漸近線(xiàn)、垂直漸近線(xiàn)(4.1) 斜漸近線(xiàn) 如果直線(xiàn)是曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)是，在這里也可以改為(4.2) 水平漸近線(xiàn) 若直線(xiàn)為曲線(xiàn)的一條水平漸近線(xiàn)是當(dāng)斜漸近線(xiàn)中的時(shí)，為水平漸近線(xiàn)(4.3) 垂直漸近線(xiàn) 若直線(xiàn)為曲線(xiàn)的一條垂直漸近線(xiàn)是（或） 注：這樣的一般是由觀(guān)察法得到，一般為分母為零或?qū)?shù)的真數(shù)為零處 (4.4)例題 例4 求函數(shù)的漸進(jìn)性 解 已知，則是曲線(xiàn)的垂直漸進(jìn)性 又有 故 直線(xiàn)是曲線(xiàn)的斜漸近線(xiàn)(5) 描繪函數(shù)圖象(5.1) 步驟在描繪函數(shù)圖象的時(shí)候，如果事先能夠知道圖形上的醫(yī)學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)（

10、如“峰”、“谷”及拐點(diǎn)等）的位置，又能掌握?qǐng)D形在各個(gè)部分區(qū)間上的主要形態(tài)（如單調(diào)性、周期性、凹凸性等），那么只需要描出少數(shù)幾個(gè)點(diǎn)就可以比較準(zhǔn)確地畫(huà)出函數(shù)的圖像利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，可以確定函數(shù)的圖形在哪個(gè)區(qū)間上上升/下降，在哪里有“峰”“谷”點(diǎn)；利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，可以確定函數(shù)的圖形在哪個(gè)區(qū)間上位凹/凸，在哪里有拐點(diǎn)因此利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)的圖形的一般步驟如下： 確定函數(shù)的定義域，了解函數(shù)是否具有某些簡(jiǎn)單的特性（如奇偶性、周期性等），求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù) 求出一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)的全部的零點(diǎn)及不存在的點(diǎn)，并求出函數(shù)的間斷點(diǎn)用這些點(diǎn)將函數(shù)定義域分成若干部分區(qū)間 確定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階

11、導(dǎo)數(shù)在這些部分區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，由此確定圖形的單調(diào)性、凹凸性、極值點(diǎn)和拐點(diǎn)（通常制作成表格形式） 確定函數(shù)圖形是否有漸近線(xiàn)及其他變化趨勢(shì) 算出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)及不存在的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，定出函數(shù)圖形上相應(yīng)的點(diǎn)為了把圖形描繪的準(zhǔn)確一些，有時(shí)候需要補(bǔ)充求出圖形的一些點(diǎn)（特別可以考慮的是圖形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）最后，結(jié)合第三四步中得到的結(jié)果，連接這些點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)的圖形(5.2) 例題例5 作出函數(shù)的圖形解（1）所給函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上是連續(xù)的而（2）令,得穩(wěn)定點(diǎn)；,得此外，函數(shù)在r上無(wú)間斷點(diǎn)，并且也無(wú)使和不存在的點(diǎn)。因此，可將定義域劃分為4個(gè)區(qū)間：，（3） 討論函數(shù)圖形在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)的形態(tài)等，并將所得結(jié)論列為下表：123000的圖形凸極大值凸拐點(diǎn)凹極小值凹這里，箭頭表示圖像的單調(diào)性（4） 當(dāng)；當(dāng)，所以，函數(shù)的圖像無(wú)水平漸近線(xiàn)。又因?yàn)楹瘮?shù)不存在無(wú)窮間斷點(diǎn)，所以函數(shù)的圖形無(wú)垂直漸近線(xiàn)（5）算出從而得到函數(shù)圖形上的三個(gè)點(diǎn)：點(diǎn)是極大值點(diǎn)，點(diǎn)是拐點(diǎn)，點(diǎn)是極小值點(diǎn)算出因此，又得到三個(gè)點(diǎn)：將上面6個(gè)點(diǎn)描繪在坐標(biāo)平面上，然后，根據(jù)（3）中的結(jié)果，就可以作出函數(shù)的圖形如下： （1，7/3）（4，7/3）1（2，5/3）（3，1） -1 0 1 234 （-1，-13/3） 參考文獻(xiàn)：1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）m.高等教育出版社2001年6月2胡端平熊德之.高等數(shù)