完整word版2015大二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)高等代數(shù)

1、1.過(guò)度矩陣的求法（兩種）（特別地：?jiǎn)挝幌蛄拷M 例1.求有4維線性空間V的一組基5,3嚴(yán)4到基3 + &4, 4 二公4第八早 - 公2 + 億2 = 3乞2&3-肌43 =的過(guò)渡矩陣；例 2.設(shè) g廠（Xi，X2）嚴(yán) 2 = （%2）廠（Pl,卩2）亠=（qi，q2）， 是向量空間P2 的兩組基，則從基J, . 2到基51,2的 過(guò)渡矩陣2. 子空間的判定，維數(shù)和基的求法例3.設(shè)a是3維空間的一個(gè)行向量，判定 -滿足什么條件時(shí),V = （ %, X2, X3 ）（為，X2, X3 ） 作成子空間 I a b p的基和維數(shù)a丿 ia例4.求p22的子空間W - nlib5、4，求全體與A可交換

2、的矩陣所成子空0間的維數(shù)和一組基。3例6.設(shè)V是一 n維歐氏空間，d是V中正交向量組.1）證明：V廠x|（x,a） = （x,P） = 0,x迂V是V的一個(gè)子空間;2）證明：Vi的維數(shù)等于n-2.3. 齊次線性方程組AX = 0的解空間的維數(shù)、基與維數(shù)公式例7.設(shè)W1, W2是數(shù)域P上9元齊次線性方程組 AX =P9，BX = 0 的解空間，rankA = 3, rankB = 4 , W1+W2 =求 dim（WjlW2）5.直和的充要條件(習(xí)題)及其直和分解例8.證明：每個(gè)n ( 1)維線性空間都可以表示成一個(gè) 子空間和一個(gè)n-1維子空間的直和。第七章1.線性變換A在一個(gè)基下的矩陣求法的一

3、組基，1255例1.設(shè)S嚴(yán)2，.嚴(yán)4是4維線性空間I線性變換A在這組基下的矩陣為! 0I2II1)-2)已知V中求線性變換A在基“1 1-2 + “2 = 下的矩陣；+ %，-12132、I -2| 1 ! 2丿+ %,“402.線性變換空間L(V)3.矩陣的特征多項(xiàng)式與特征值、跡、行列式、正定的關(guān)系例2.三階方陣A的特征多項(xiàng)式為% =宀2 - 4a + 6 ,求A的行列式和跡。(2 例 3.設(shè) A= j -24例4.若A是正定矩陣，4、4的3個(gè)特征值為A1則A的特征值都大于04. 矩陣(線性變換)可對(duì)角化充要條件、充分 條件例5.設(shè)A是n維線性空間V上的線性變換,則A在某組基下 的矩陣為對(duì)角

4、陣的充要條件、充分條件fa b、例 6.證明：設(shè) A= I I， ad - bc= 2 ， (a+ d)2 8 ,.c d)證明A與對(duì)角矩陣相似。5.可逆線性變換的特征值例7.設(shè)A是線性空間V上的可逆線性變換,證明:1) A的特征值一定不為0；2)如果兀是A的特征值，那么扎2,-分別是A2，A -1的特征第八章1.入-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形求法1） -3）（對(duì)角形）A 3I的標(biāo)準(zhǔn)形a2+21 丿2.矩陣相似的例2.設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n咒n矩陣，證明A與A 相似.（充分、必要、充分必要）條件3.矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子 與特征多項(xiàng)式、最小多項(xiàng)式的關(guān)系,最小多項(xiàng)式例3.設(shè)矩陣A的特征多項(xiàng)式為（A + 2）a - 1）2 為a + 2）0 -1），求矩陣A的初等因子組0、0 I的最小多項(xiàng)式1丿4.最小多項(xiàng)式與若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的求法i 1例4.求I 0為60 :求x例3.已知三維歐氏空間f3 2 0、V中一組基s宀宀,其度量矩陣為3.標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)、求法例4.若n維歐氏空間中一組基客1，名21丨嚴(yán)n為標(biāo)準(zhǔn)正交基，求名1,1丨，名n的度量矩陣?yán)?.證明：任一 n維歐氏空間都存在標(biāo)準(zhǔn)正交基。3.正