七上實(shí)數(shù)經(jīng)典例題及習(xí)題

1、七上實(shí)數(shù)經(jīng)典例題及習(xí)題耐思教育第六章實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型3考點(diǎn)一.實(shí)數(shù)的概念及分類（3分）1、實(shí)數(shù)的分類1廠正有理數(shù)有理數(shù)彳1零1負(fù)有理數(shù) 正無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)彳L負(fù)無(wú)理數(shù)-有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)A無(wú)限不循環(huán)小數(shù)整數(shù)包括正整數(shù).零. 正整數(shù)又叫自然數(shù)。正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù).負(fù)整數(shù)。正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。2、無(wú)理數(shù)在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一實(shí)質(zhì)，歸納起來(lái)有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如，返等；（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率7T,或化簡(jiǎn)后含有7T的數(shù)，如中+8等；（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001-等；（4）某些三角函數(shù)，如sin60。等考點(diǎn)二.實(shí)數(shù)的倒數(shù).相反數(shù)和絕對(duì)值

2、（3分）U相反數(shù)實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零）, 從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有 a+b=0, a=b,反之亦成立。2. 絕對(duì)值一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,lal0o零的絕對(duì)值時(shí)它本身，也可 看成它的相反數(shù)，若lai希貝Ja0；若lal=G貝!） a0正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于 一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。3、倒數(shù)如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和1。零沒(méi)有倒 數(shù)?？?三、平方根、算數(shù)平方根和立方根（3-10分）U平方根如果一個(gè)數(shù)

3、的平方等于盯那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。一個(gè)數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。正數(shù)a的平方根記做“ 心”。2、算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“需”。正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。a (a0)la 0la2 =屮=;注意、仃的雙重非負(fù)性I a （03、立方根如果一個(gè)數(shù)的立方等于盯 那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。 注意：口=衛(wèi),這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面?？键c(diǎn)四、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)（36分）1、有效數(shù)字一個(gè)近似數(shù)四舍

4、五入到哪一位，就說(shuō)它精確到哪一位，這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù) 字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。2、科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)數(shù)寫做4x10的形式，其中ISdvlO, n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。 考點(diǎn)五、實(shí)數(shù)大小的比較（3分）數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素 缺一不可）。解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設(shè)刃、b是實(shí)數(shù)，a-bOoab、 a b 1 /); = 1 a =

5、 Z?;- 1 |b|odb2ab.考點(diǎn)六.實(shí)數(shù)的運(yùn)算1、加法交換律2、加法結(jié)合律3、乘法交換律4、乘法結(jié)合律（做題的基礎(chǔ)，分值相當(dāng)大） a + b = b + a(a + b) + c = a + (b + c) ab = ba(ab)c = a(bc)5、乘法對(duì)加法的分配律a（b + c） = ab + ac耐思教育第六章實(shí)數(shù)6、實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，對(duì)于運(yùn)算順序有什么規(guī)定？實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，將運(yùn)算分為三級(jí)，加減為一級(jí)運(yùn)算，乘除為二能為運(yùn)算，乘方為 三級(jí)運(yùn)算。同級(jí)運(yùn)算時(shí)，從左到右依次進(jìn)行；不是同級(jí)的混合運(yùn)算，先算乘方，再算乘 除，而后才算加減；運(yùn)算中如有括號(hào)時(shí)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào).

6、大括 號(hào)的順序進(jìn)行。7. 有理數(shù)除法運(yùn)算法則就什么？?jī)捎欣頂?shù)除法運(yùn)算法則可用兩種方式來(lái)表述：第一，除以一個(gè)不等于零的數(shù)，等于乘以這 個(gè)數(shù)的倒數(shù)；第二，兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。零除以任何一個(gè)不 為零的數(shù)，商都是零。8. 什么叫有理數(shù)的乘方？幕？底數(shù)？指數(shù)？相同因數(shù)相乘積的運(yùn)算叫乘方，乘方的結(jié)果叫瓶 相同因數(shù)的個(gè)數(shù)叫指數(shù)，這個(gè)因數(shù)叫 底數(shù)。記作：a9. 有理數(shù)乘方運(yùn)算的法則是什么？負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)。正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)。零的任何正整數(shù) 幕都是零。10、加括號(hào)和去括號(hào)時(shí)各項(xiàng)的符號(hào)的變化規(guī)律是什么？去（加）括號(hào)時(shí)如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去（加）括號(hào)后式子各

7、項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi) 的式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同；括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)去（加）括號(hào)后式子各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào) 內(nèi)式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反。經(jīng)典例題類型一.有關(guān)概念的識(shí)別下面幾個(gè)數(shù)：0.1237 , 1.010010001- ，-VO.064 ,22311, T, 7,其中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）B、2C、3D、4解析：本題主要考察對(duì)無(wú)理數(shù)概念的理解和應(yīng)用,其中，1.010010001-, 3n ,石是無(wú)理數(shù)故選C舉一反三：【變式1】下列說(shuō)法中正確的是（）A、何的平方根是3 B、1的立方根是1 C、5耐思教育第六章實(shí)數(shù)心1 D、是5的平方根的相反數(shù)【答案】本題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方 根的概念，V=9

8、, 9的平方根是土3, AA正確.VI的立方根是1, 71=1,-厲是5的平方 根，B、C、D都不正確.【變式2如圖，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)線段為邊做一個(gè)正方形，以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為半徑 畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)A,則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）-101 A 2【答案】本題考察了數(shù)軸上的點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)的關(guān)系正方形的邊長(zhǎng)為1,對(duì)角線為血，由圓的定義知IAOI=旋，A表示數(shù)為旋，故選C.【變式3】 加-疔+加-訶 【答案】V n = 3.1415, /.93n 0, 3 n.l007（3jt-9）2 亠 J（3兀一ID）? =|3n-9 I+ | 3tt-10 |= 3jt- 9-（3兀一 10）

9、 = 1.#耐思教育第六章實(shí)數(shù)9類型二.計(jì)算類型題2設(shè)尿+,則下列結(jié)論正確的是()A. 4.5 a 5.0C. 5.5 c2 5.0 5.5D. 6,o 6.5解析：(估算)因?yàn)?所以選B舉一反三：【變式11 1) 1.25的算術(shù)平方根是方根是.2)27立方根是3),a/169=, 一 ”.753【答案】1)三；P.2) -3.3) 2,【變式2】求下列各式中的兀(1)工七(2)(1)2 = 9(3)化期【答案】(1) -5 (2) x=4 或 xn2 (3) x=-4類型三.數(shù)形結(jié)合3.點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為朮，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為-石，則兒B兩點(diǎn)的距離為解析：在數(shù)軸上找到A、B兩點(diǎn)，肛卜

10、曲 舉_反三:【變式1】如圖，數(shù)軸上表示1,龐的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A, B,點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C,則點(diǎn)C表示的數(shù)是（）? 1 Ji 411U.0 C A BA. 忑1 B 1 忑 C. 2罷 D V22【答案】選C變式2已知實(shí)數(shù)禺“在數(shù)軸上的位置如圖所示:化簡(jiǎn)【答案】： a-b-Ac類型四.實(shí)數(shù)絕對(duì)值的應(yīng)用4化簡(jiǎn)下列各式:(2) I 兀-3.1421(4) lx-lx3ll (xW3)(l) b/2.1.42|I屁同(5) lx2+6x+10l分析：要正確去掉絕對(duì)值符號(hào)，就要弄清絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，然后根據(jù)絕對(duì)值的定義 正確去掉絕對(duì)值。解：(1) V72=1.414 -1.42耐

11、思教育第六章實(shí)數(shù)A 12-1.421=1.42-72(2) V n =3.14159 -3.142AI n -3.1421=3.142- n(3) TQV希，Ah/2.|=.,/2(4) TXW3，Ax-30,lx-lx-3ll=lx-(3-x)l=I2x-3I =3-2x (x -) 2說(shuō)明：這里對(duì)1231的結(jié)果釆取了分類討論的方法,心 0lx2+6x+10l= x2+6x+10類型五.實(shí)數(shù)非負(fù)性的應(yīng)用紗5已知:血-49|瑋=0,求實(shí)數(shù)a，b的值。舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)：卜+卜f +冏一皿-調(diào)【答案】W 一 2嗎+ |忑+詞-網(wǎng)=2忑-朽+忑+朽.朽+龐 4忑-朽分析：已知等式左邊分母加不

12、能為0,只能有耐思教育第六章實(shí)數(shù)/ _49 =0a + 7 00,則要求a+70,分子+la2-49l=0,由非負(fù)數(shù)的和的性質(zhì)知：3ab=0且品49=0,由此得不等式組I從而求岀a，b的值。解：由題意得卜茲-0 = 0(1) a2 -49 =0(2)a + 7 0( 3)11由(2)得 a2=49.a二土7 由得a-7, Aa=-7不合題意舍去。只取a=7 把 a=7 代入(1)得 b=3a=21A a=7, b=21 為所求。舉一反三：【變式 1】已知(x-6)2+(-6力2 +|y+2zl=0, c(x-y)3-z3解：V (x-6)2+2-W2 +ly+2zl=0-6 = 0 2 x _

13、 6y = 0/ + 2z = 0* y = 2解這個(gè)方程組得匸且(x-6)2$0,爐-奶2 $0，|y+2z|$o, 幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則必有每個(gè)加數(shù)都為A(x-y)3-z3=(6-2)3-(-l)3=64+l=65耐思教育第六章實(shí)數(shù)【變式2已知 R + 0+疔卄+1卜0那么a+b-c的值為【答案】初中階段的三個(gè)非負(fù)數(shù)：5 , /汕|傘019類型六.實(shí)數(shù)應(yīng)用題。6有一個(gè)邊長(zhǎng)為11cm的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為13cm,寬為8cm的矩形，要作一個(gè)面積為這兩個(gè)圖形 的面積之和的正方形，問(wèn)邊長(zhǎng)應(yīng)為多少cm。解：設(shè)新正方形邊長(zhǎng)為xcm,根據(jù)題意得x2=U2+13X8 x2=225x= 土 15T邊長(zhǎng)為正

14、，.；x=-15不合題意舍去，/.只取 x=15(cm)答：新的正方形邊長(zhǎng)應(yīng)取15cmo舉一反三：【變式1】拼一拼，畫一畫：請(qǐng)你用4個(gè)長(zhǎng)為a, 寬為的矩形拼成一個(gè)大正方形，并且正中間留下的空 白區(qū)域恰好是一個(gè)小正方形。(4個(gè)長(zhǎng)方形拼圖時(shí)不重 疊)(1)計(jì)算中間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么？(2)當(dāng)拼成的這個(gè)大正方形邊長(zhǎng)比中間小正方形邊長(zhǎng)多3c加時(shí)，大正方形的面積就比小正方形的面積多24cm求中間小正方形的邊長(zhǎng).解析：(1)如圖，中間小正方形的邊長(zhǎng)是:所以面積為=(疔大正方形的面積=葩疔，一個(gè)長(zhǎng)方形的面積=必O所以, 答：中間的小正方形的面積心九發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是:3莎+站護(hù)(或-新=/一2於

15、+護(hù))(2) 大正方形的邊長(zhǎng)：我，小正方形的邊 長(zhǎng)：+坊-()=3,即込 3 , b = ,5又大正方形的面積比小正方形的面積耐思教育多 24 cm2第六章實(shí)數(shù)所以有， (a+b)2- (a-b)2 = 24化簡(jiǎn)得：4込24將皿,代入,得:/. -=4-1.5= 2.5cm答：中間小正方形的邊長(zhǎng)2.5 cm.類型七.易錯(cuò)題紗7判斷下列說(shuō)法是否正確(1) 3的算術(shù)平方根是 方根是15(3)當(dāng)x=0或2時(shí)，皿二丸(2)亦的平(4)亍是分?jǐn)?shù)解析：(1)錯(cuò)在對(duì)算術(shù)平方根的理解有誤，算術(shù)平 方根是非負(fù)數(shù).故&-3)2 =3 = 3(2) 亦表示225的算術(shù)平方根，即亦=15 實(shí)際上，本題是求15的平方根

16、，故宓的平方根是士、厲.(3) 注意到，當(dāng)兀=0時(shí)， 72 =702 = 72 , 顯然此式無(wú)意義，發(fā)生錯(cuò)誤的原因是忽視了“負(fù)數(shù)沒(méi)有平 方根”，故兀HO,所以當(dāng)兀=2時(shí)，xV2=O.(4)錯(cuò)在對(duì)實(shí)數(shù)的概念理解不清.亍形如分?jǐn)?shù)，但不是分?jǐn)?shù)，它是無(wú)理數(shù).類型八.引申提高紗8. (1)已知阿的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b, 求a2-b2的值.(2)把下列無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù):。広 0.23O.ioT1=(1) 分析：確定算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分, 首先判斷這個(gè)算術(shù)平方根在哪兩個(gè)整數(shù)之間，那么較小 的整數(shù)即為算術(shù)平方根的整數(shù)部分，算術(shù)平方根減去整 數(shù)部分的差即為小數(shù)部分.解：由5 =儕何島=6,得

17、阿的整數(shù)部分a=5,阿的小數(shù)部分卜=儷-5, 化 a2 -h2 =52 -(J29-5)2= 25-(29-10/29+25)= -29 + 10/29 (2) 解:(1)設(shè)X則 10x = 6.6(2)-得9x=6亠=即毗二93 吁 -(2)設(shè)“a.居耐思教育第六章實(shí)數(shù)jl|iaQx = 23.23 得99x=23BP3.23 = S599 (3)設(shè)x = o.io7 貝 I|ia00x = 107.i07 -，得 999x=107,107x =995即 D.i0 7 =107959 e學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)：A組（基礎(chǔ)）一、細(xì)心選一選1.下列各式中正確的是（）A. J16 = 4c. 口 = 3D.

18、2尿的平方根是（）A. 4C.2D. 2耐思教育第六章實(shí)數(shù)3下列說(shuō)法中無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)2是4的平方根 帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)。其中正確的說(shuō)法有（）A. 3個(gè)B2個(gè)C. 1個(gè)D. 0個(gè)4.和數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是（）A.整數(shù)B.有理數(shù)C.無(wú)理數(shù)D.實(shí)數(shù)5. 對(duì)于血-語(yǔ)來(lái)說(shuō)（）A.有平方根B.只有算術(shù)平方根C.沒(méi)有平方根D.不能確定6. 在1010010001-（兩個(gè) “1” 之間依 次多1個(gè)“0”）中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A. 3個(gè)B4個(gè)C5個(gè)D. 6個(gè)7. 面積為11的正方形邊長(zhǎng)為x,則x的范圍是（）A.C 5x10D.耐思教育10 100第六章實(shí)數(shù)218. 下列各組數(shù)中，互為相反

19、數(shù)的是（）A. -2與冷B. | M |與龐C. 丙與2D與-9. -8的立方根與4的平方根之和是（）A. 0B.4C. 0 或-4D.0 或 410.已知一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是a則該自然數(shù)的下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是（）A Q+1Be J+l，絕對(duì)值等于徙的數(shù)是12.13.它本身,14.是一、耐心填一填11.-質(zhì)的相反數(shù)是, I I I =一屈的算術(shù)平方根是,屮=O的平方根等于它本身，的立方根等于的算術(shù)平方根等于它本身。已知丨X |的算術(shù)平方根是8,那么x的立方根15. 填入兩個(gè)和為6的無(wú)理數(shù)，使等式成立:耐思教育第六章實(shí)數(shù)+=6 o16. 大于-旋，小于血的整數(shù)有個(gè)。17. 若丨2a-5

20、 |與松巨互為相反數(shù)，則a=,b=o18若 | a | =6,皿=3,且 ab0,貝！ a-b=。19. 數(shù)軸上點(diǎn)A,點(diǎn)B分別表示實(shí)數(shù)的-2,則a、B兩點(diǎn)間的距離為o20. 個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是a+2和a-4,貝!1 a=, x=o三、認(rèn)真解一解21.計(jì)算(2)-Vs2+i52(1) +Vao9 3 7729(4)| -V2 | + | 龐-2 |(*何+后(6) 4X9 + 2X (-2)(結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字)22.在數(shù)軸上表示下列各數(shù)和它們的相反數(shù)，并把 這些數(shù)和它們的相反數(shù)按從小到大的順序排列，用 號(hào)連接： -1.5,0,2,-72,-ti-耐思教育第六章實(shí)數(shù)29參考答案:一：1

21、、B2、D3、B4、D5、C6、A7、B8、C9、CIO、D二：11、+伍士盪，n-313、0； 0, i ； 0, 1 答案不唯一如：17、沖19、212、 3, 214、416、515、20、 1, 9三:21、如179(4)23637.922、-4-3-1 U 134-7T V 2 -1.5 _恵 0 V2 1.5 2 /TB組(提高)一、選擇題：1. 0 0196的算術(shù)平方根是()A 0.14B 0.014C 0.14耐思教育D 0.014第六章實(shí)數(shù)2（尸的平方根是（）A. 一6B. 36C. 6D 3.下列計(jì)算或判斷：土3都是27的立方根； 辰的立方根是2；卿=4,其中正確的個(gè)數(shù)有（）A. 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D. 4個(gè)4.在下列各式中，正確的是()A河=2；B. V064 =-0.4 ;C.=D.(-72f + (W = 05.下列說(shuō)法正確的是（）A.有理數(shù)只是有限小數(shù)B.無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)c無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù)D. E是分?jǐn)?shù)6.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.阿B.阿C. 2的平方根是土龐D. J(-(- 2)= 7-3 x 7-27若宀4,滬=9,且必0,則宀的值為（）BiCiD-i8下列結(jié)論中正確的是（）數(shù)軸上任一點(diǎn)都表示唯一的有理數(shù);B. 數(shù)軸上任一點(diǎn)都表示唯一的無(wú)理數(shù)；C. 兩個(gè)無(wú)理數(shù)之和一定是無(wú)理數(shù)；D.數(shù)軸