利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值 基礎(chǔ)知識總結(jié)和邏輯關(guān)系一、函數(shù)的單調(diào)性求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法 :1) 確定函數(shù)的 f (x) 的定義區(qū)間；2) 求f (x)，令f (x)0 ,解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根；3) 把函數(shù)f (x)的無定義點的橫坐標(biāo)和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；4) 確定f (x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，由 f(x)的符號判定函數(shù)f x在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性 .二、函數(shù)的極值求函數(shù)的極值的三個基本步驟1) 求導(dǎo)數(shù) f (x)；2) 求方程 f (x)0 的所有實數(shù)根；3) 檢驗f(x)在方程f(x)0的根

2、左右的符號，如果是左正右負(左負右正) ，則f(x)在這個根處取得極大(小)值 .三、求函數(shù)最值1) 求函數(shù)f (x)在區(qū)間(a,b)上的極值；2) 將極值與區(qū)間端點函數(shù)值 f(a), f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就 是最小值 .四 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1) 利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于 (或小于) 0時，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增 (或 遞減) . 因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù) 的單調(diào)性 , 然后再用函數(shù)單調(diào)性達到證明不等式的目的 . 即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的 單調(diào)性 . 具體有如

3、下幾種形式：直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增(減)區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大(小)，來證明不等式成立把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達到證明不等式的目的2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值(或值域)后，再證明不等式導(dǎo)數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大(或最小)值時不等式都成立，可得該不等式恒成立從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題解題方法總結(jié)和題型歸類利用導(dǎo)數(shù)研究含參變量函數(shù)的恒成立問題1) 其中關(guān)鍵是根據(jù)題目找到給定區(qū)間上恒成立的不等式，轉(zhuǎn)化

4、成最值問題。2) 首先找不等式。一般來說，有以下五類題型： 在某個區(qū)間上“單調(diào)遞增減”：表明f(X)0( f (x) )恒成立； “無極值點”，表明f(x) 恒成立或f(x)恒成立； “曲線y f(x)在曲線y g(x)上方(下方)”：表明 f(x) g(x) ( f(x) g(x) )恒成立；“無零點”：表明f(x) 恒成立或f(x) 恒成立； 標(biāo)志詞：“任意”，“所有”，“均有”，“恒成立”等等，此時題干已給出不等式例1:設(shè)函數(shù)f(x)= ax3 3x+ 1 (x R)，若對于任意x 1,1，都有f(x)成立，則實數(shù)a的值為？【解析】 若x= 0,則不論a取何值，f(x) 顯然成立；331

5、31當(dāng) x，即 x (0,1時，f(x) = ax3 3x+ 1 可化為 a2 二設(shè) g(x) = _23,則 g (x) x xx x3 1 2x1 1 1所以g(x)在區(qū)間0, 2上單調(diào)遞增，在區(qū)間2，1上單調(diào)遞減，因此g(x)max= g 2 =4,從而a4.當(dāng)x0，即x 1,0)時，同理aw g(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增，二 g(x)min = g( 1) = 4,從而 a0，即(一x2+ 2)ex0，因為 ex0,所以x2+ 20 ,解得.2x 0對x (- 1,1)都成立.因為 f (x) = ( 2x+ a)ex+ ( x2 + ax)ex=x2 + (a 2)x+ aex,

6、所以x2 + (a 2)x+ aex0 對 x ( 1,1)都成立.因為 eSo，所以一x2+ (a 2)x+ a0 對 x (1,1)都成立，x2 + 2xx+ 1 2 11即 a= (x+ 1) 對 x ( 1,1)都成立.X+ 1X+ 1X+ 11 1令 y= (x+ 1) ，則 y = 1+20.x+1x+ 1 21所以y= (x+ 1)在(1,1)上單調(diào)遞增,x+ 1133所以y7.1 +1 223 因此a的取值范圍為a【點評】(1 )數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增 (減)時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間上大(小)于或者等于零恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決.在形式上的二次函數(shù)問題中，極易忘卻的就是

7、二次項系數(shù)可能等于零的情況，這樣的問題在導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的討論中是經(jīng)常遇到的，值得特別注意.3【答案】a的取值范圍為a ；【難度】*例3：已知函數(shù)f(X-alnx 2 (a 0). x(I)若曲線yf (x)在點P(1, f(1)處的切線與直線 y x 2垂直,求函數(shù)y f (x)的單調(diào)區(qū)間;(n)若對于x (0,)都有f (x 2(a1)成立，試求a的取值范圍;【解析】(I)直線y x2的斜率為1.函數(shù)f (x)的定義域為(0,1.因為f (x)所以f(x)2 a2 a2,所以f21，所以axx112 x 2-In x 2. f (x)xXf (X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,) 4分(II) f (x

8、)2xaxax 22ax 2 2由 f (X)0 解得 x 2 ；由 f (x)xac20 x a所以f (x)在區(qū)間(-,)上單調(diào)遞增，在區(qū)間2(0,)上單調(diào)遞減aa所以當(dāng)x-時,函數(shù)f (x)取得最小值，ymin2f ( ) 因為對于 x (0,aa所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間是(2,)，單調(diào)減區(qū)間是(0,2).4分0解得)都有f (x)2(a 1)成立,2 2 2 2 2 所以 f(-) 2(a 1)即可 則一 aln 2 2(a 1)由 aln a 解得 0 a -a2 aaea2所以a的取值范圍是(0, 2) 8分eA ,直接求f (x)【點評】此題直接求最值。此時不等式一般形如f (

9、x) A或f(x)的最值2【答案】a的取值范圍是(0, 2)e【難度】*例4：已知函數(shù)f (x) ln(1 x) mx.(I )當(dāng) m1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(II )求函數(shù)f(x)的極值；(山)若函數(shù)f (x)在區(qū)間0,e2 1上恰有兩個零點, 求m的取值范圍.【解析】(I )依題意，函數(shù)f(x)的定義域為1,當(dāng) m 1 時，f(x) ln(1 x) x,1f (x)12 分1 x由f (x)0得丄10，即01 x1 x解得x 0或x 1,又 Q x 1 , x 01)(II ) f (X)(1) m 0時，f (x)0恒成立f(x)在(1,)上單調(diào)遞增，無極值.6分1(2) m

10、 0時，由于11m所以f (x)在 1, 1上單調(diào)遞增，在 丄1,上單調(diào)遞減,mm 1從而f (x)極大值f (1) m In m 1.9分m(III )由(II )問顯然可知，當(dāng)m 0時，f (x)在區(qū)間0,e21上為增函數(shù),在區(qū)間0,e21不可能恰有兩個零點.10分當(dāng)m 0時，由(II )問知f(x)極大值=1)，又 f (0)0 ,0為f (x)的一個零點.11分若f (x)在0,e恰有兩個零點，只需2f(e2 1)0丄1 me212 m(e211e1)13分【點評】首先考慮參量分離。得到a F (x)或 aF(x)，然后求F(x)的2e2 1最值。直接求最值。此時不等式一般形如f(x)

11、 A或f(x) A，直接求f (x)的最值【答案】【難度】例5：已知函數(shù)f (x) In x ax1 ax1(I)當(dāng)o a 時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；22 1(n)設(shè) g(x) x2 2bx 4，當(dāng) a時，若對任意 x (0,2) , f (x) g(x)恒成立,4求實數(shù)b的取值范圍.2匚、11 a ax x (1 a)八【解析】：(I) f (x) a 222分x xxax (1 a)(x 1),、(x 0)x令 f/(x)01 a得 x-|, x2 1 3 分a1當(dāng)a 時，f (x)0，函數(shù)f (x)在(0,)上單減 4分2當(dāng)11 a當(dāng)0 a 時，1 ,2 a1 a在(0,1)和(，)

12、上，有f(X)0,函數(shù)f (x)單減，a1 a在(1, ) 上, f (x)0,函數(shù)f(x)單增 6分a11a13(n)當(dāng) a 時，3, f (x) In x x14 a44x由(I)知，函數(shù)f (x)在(0,1)上是單減，在(1,2)上單增1所以函數(shù)f (x)在(0, 2)的最小值為f(1) 8分2若對任意捲(0, 2)，當(dāng)X21,2時，f (x) g(x)恒成立，1只需當(dāng)x 1,2時，gmax(x)-即可1g(1)211分13分所以2g(2)22代入解得所以實數(shù)b的取值范圍是b 114【點評】注意如果條件改為f(Xi) g(X2)”恒成立，怎么樣解答，還可以移項構(gòu)造新函例6：設(shè)I為曲線c：

13、在點(1,x0)處的切線.數(shù)嗎？【答案】11b的取值范圍是工，)4【難度】【答案】(I) y x 1求I的方程;(II)證明：除切點(1，0)之外，曲線c在直線I的下方【解析】(I)設(shè)f xIn x ，則 f xX1 In x2X所以f 11 .所以L的方程為()令x，則除切點之外，曲線C在直線L的下方等價于00, x 1 .滿足1 =0，且當(dāng)0v xv 1時,當(dāng)x 1時，X2x 1 In x x =xx 1v 0,Inxv0,所以g x v0,故g x單調(diào)遞減;1 0,1 n x 0,所以g x 0,故g x單調(diào)遞減.所以g x g 1=0 x 0, x 1 .所以除切點之外,曲線 C在直線

14、L的下方.【點評】構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化直接求最值。此時不等式一般形如f(x) A或f(x) A , 直接求f(x)的最值?！倦y度】【題】已知函數(shù)f (x) ax2 (a 2)x In x . (I)當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在點(1 , f(1)處的切線方程；(H)當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1 , e上的最小值為-2，求a的取值范圍；(川)若對任意 x-i, x2 (0,)， x-i x2，且 f (x-i)+2 x! f (x2)+2 x2恒成立，求 a 的取值范圍.：【難度】*1【題】己知函數(shù)f (x) - x3 2a x2 (a 1)x 5是R上的單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的3取值范圍.【難度】*.丿1 n2【題】已知函數(shù)f(x)x2 2ex 3e21 nx b在(x,0)處的切線斜率為零.2(I)求x。和