7化歸與轉(zhuǎn)化的思想0001

1、第 7 講 化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用一、知識(shí)整合1解決數(shù)學(xué)問題時(shí)， 常遇到一些問題直接求解較為困難， 通過觀察、 分析、類比、 聯(lián)想等思維過程， 選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換， 將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題 （相 對(duì)來說，對(duì)自己較熟悉的問題） ，通過新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思 想 方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”。2化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實(shí)現(xiàn)的。從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問題 就是從未 知向已知轉(zhuǎn)化的過程?；瘹w與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題 的過程實(shí)際上 就是一步步轉(zhuǎn)化的過程

2、。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化， 復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問 題轉(zhuǎn)化， 新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化， 命題之間的轉(zhuǎn)化， 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化， 空間向平面的轉(zhuǎn) 化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，超越式向 代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù) 與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。3轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件， 所以盡可能使轉(zhuǎn)化 具有等價(jià)性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性， 或?qū)?所得結(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證。4化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則：（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、 經(jīng)驗(yàn)和問題來解決。（2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜的問題

3、化歸為簡(jiǎn)單問題，通過對(duì)簡(jiǎn)單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。 （3）和諧化原則：化歸問題的 條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題， 使其 推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。 （4）直觀化原則： 將比較 抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決。（5）正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解。二、例題分析例 1 某廠 2001 年生產(chǎn)利潤(rùn)逐月增加，且每月增加的利潤(rùn)相同，但由于廠方正在 改 造建設(shè)，元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤(rùn)相等，隨著投入資金的逐月增加， 且

4、每月 增加投入的百分率相同， 到 12 月投入建設(shè)資金又恰好與 12 月的生產(chǎn)利潤(rùn)相同， 問全年 總利潤(rùn)m與全年總投入N的大小關(guān)系是（）A. mN B. m0,每月的投資額組成一個(gè)等比數(shù)列 bn，且公比q 1。 印d,且孔02，比較氐與T12的大小。若直接求和，很難比較出其大小，但 注意到等差數(shù)列的 通項(xiàng)公式an=ai+（ n-1）d是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是一條直線 上的一些點(diǎn)列。等比數(shù) 列的通項(xiàng)公式bn=aiqn-1是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，其圖象是指數(shù) 函數(shù)上的一些點(diǎn)列。在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，直觀地可以看出ai bi則氐 ti2，即m No 點(diǎn)評(píng) 把一個(gè)原本是求和的問題，退化到各項(xiàng)的逐一比

5、較大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是每個(gè)學(xué)生所熟悉的。在對(duì)問題的化歸過程中進(jìn)一步挖掘了問題的內(nèi)涵，通過對(duì)問題的反思、再加工后，使問題直觀、形象，使解答更清新。例2.如果，三棱錐 P-ABC中，已知PAL BC , PA=BC=I PA BC 的公垂線ED=h求1證三棱錐P-ABC勺體積V -I2h .6分析：如視P為頂點(diǎn)， ABC為底面，則無論是Saabc以及高h(yuǎn)都不好求？如果觀 察 圖形，換個(gè)角度看問題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境解：如圖，連結(jié) EB, EC，由PAL BC，PAL ED EDA BC=E 可得PAL面ECD這樣, 截面ECD各原三棱錐切割成兩個(gè)分別以 EC

6、D為底面，以PE、AE為高的小三棱錐，而它 們的底面積相等，高相加等于 PE+AE=PA=I所以111 1 1 1Vp-ab（ =Vp-ec-ec : = Saecd?AE Saecd?PE=- ecd?PA=- ? BCBED PA=/12h.333326評(píng)注：輔助截面ECD勺添設(shè)使問題轉(zhuǎn)化為已知問題迎刃而解.例3.在（x2 3x 2 ） 5的展開式中x的系數(shù)為（）(A)160(B)240(C) 360(D) 800分析與解：本題要求(X2 3x 2)5展開式中x的系數(shù)，而我們只學(xué)習(xí)過多項(xiàng)式乘法法則及二項(xiàng)展開式定理，因此，就要把對(duì)x系數(shù)的計(jì)算用上述兩種思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化：思路1:直接運(yùn)用多項(xiàng)式乘法

7、法則和兩個(gè)基本原理求解，則(x2 3x 2)5展開式是 一個(gè)關(guān)于 x 的 10 次多項(xiàng)式，(x2 3x 2)5 =(x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x2+3x+2)，它的展開式中的一次項(xiàng)只能從5個(gè)括號(hào)中的一個(gè)中選取一次項(xiàng)3x并在其 余四個(gè)括號(hào)中均選 擇常數(shù)項(xiàng)2相乘得到，故為C ； ? (3x) ? C4 ? 24=5X 3X 16x=240x ,所以應(yīng)選(B).思路2利用二項(xiàng)式定理把三項(xiàng)式乘幕轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理再進(jìn)行計(jì)算，T2 2 2 2x+3x+2=x+(3x+2)=(x +2)+3x=(x +3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)

8、(2+x)，二這條思路下又有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法.如利用x2+3x+2=x 2+(3x+2)轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)只有C?(3x+2) 5 中會(huì)有 x 項(xiàng)，即 C ; (3x) ? 24=240x,故選(B)：如利用 x2+3x+2= (x 2+2)+3x 進(jìn) 行轉(zhuǎn)化，則只C ； (x 2+2) 4 ? 3x中含有x 一次項(xiàng)，即C5 ? 3x ? C4? 24=240x;如利 用 x2+3x+2=(x2+3x)+2 進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就只有 C ; ? (x2+3x) ? 24中會(huì)有x項(xiàng)，即240X； 如選擇x2+3x+2=(1+x)(2+x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，(x2 3x 2)5=(1 x)5 X (2 x)5

9、展開式中的一次 項(xiàng)x只能由(1 + x)5中的一次項(xiàng)乘以(2+x)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)加上(2+x)5展開式中的一 次項(xiàng)乘以(1 + x)5展 開式中的常數(shù)項(xiàng)后得到，即為 C5X ? C ；25+c5?24?x?c5)? 15=160x+80x=240x做選(B).評(píng)注：化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)幫我們把未知轉(zhuǎn)化為已知。例4 若不等式x2 px 4x p 3對(duì)一切0 p 4均成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍。解：Q x2 px 4x p 3(x 1)p x22 4x 3 0令g(p) (x 1)p x 2 4x3，則要使它對(duì)0 p 4均有g(shù)(p) 0，只要有g(shù)(0) 0x 3或x 1。點(diǎn)評(píng)：在有幾個(gè)變量的冋g(4)0題中，常常有一個(gè)變?cè)幱谥饕匚?，我們稱之為主元，由于思維定勢(shì)的影響，在解 決這類問題時(shí)，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的。但在某些特定條件下，此路往往不通，這時(shí)若能變更主元，轉(zhuǎn)移變?cè)趩栴}中的地位，就能使問題迎刃而 解。本題中，若視 x 為主元來處理，既繁且易出錯(cuò)，實(shí)行主元的轉(zhuǎn)化，使問 題變成關(guān)于 p 的一次不等式，使問題實(shí)現(xiàn)了從高維向低維轉(zhuǎn)化，解題簡(jiǎn)單易行。三、總結(jié)提煉1熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、 基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)； 豐富的聯(lián)想、 機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意 識(shí)需 要對(duì)定理、公式、法則有本質(zhì)上的深