【教學(xué)課件】第9章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算

1、第第9章章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算 學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求 1 1、理解本章的基本概念（自振頻率、周期、振型、理解本章的基本概念（自振頻率、周期、振型、 阻尼、自由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)、共振等）阻尼、自由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)、共振等） 2 2、掌握單、雙自由度體系在自由振動(dòng)及簡(jiǎn)諧荷載作、掌握單、雙自由度體系在自由振動(dòng)及簡(jiǎn)諧荷載作 用下的動(dòng)力計(jì)算。用下的動(dòng)力計(jì)算。 3 3、了解單自由度體系在任意荷載作用下的動(dòng)力解，、了解單自由度體系在任意荷載作用下的動(dòng)力解， 了解阻尼對(duì)振動(dòng)的影響，了解結(jié)構(gòu)的共振現(xiàn)象。了解阻尼對(duì)振動(dòng)的影響，了解結(jié)構(gòu)的共振現(xiàn)象。 4 4、了解多自由度體系在自由振動(dòng)及簡(jiǎn)諧荷載作用下、了解多自由度體系

2、在自由振動(dòng)及簡(jiǎn)諧荷載作用下 的動(dòng)力解，了解振型疊加法。的動(dòng)力解，了解振型疊加法。 9.1 概述概述 一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn) 動(dòng)力荷載和靜力荷載的區(qū)別：動(dòng)力荷載和靜力荷載的區(qū)別： 動(dòng)荷載動(dòng)荷載是指大小、方向或作用位置隨時(shí)間迅速變化，是指大小、方向或作用位置隨時(shí)間迅速變化， 所引起的結(jié)構(gòu)的加速度較大，由此產(chǎn)生的慣性力不容所引起的結(jié)構(gòu)的加速度較大，由此產(chǎn)生的慣性力不容 忽視的荷載。忽視的荷載。 由于動(dòng)力荷載作用使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力和位移稱(chēng)為動(dòng)由于動(dòng)力荷載作用使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力和位移稱(chēng)為動(dòng) 內(nèi)力和動(dòng)位移，統(tǒng)稱(chēng)為內(nèi)力和動(dòng)位移，統(tǒng)稱(chēng)為動(dòng)力反應(yīng)動(dòng)力反應(yīng)。 動(dòng)力計(jì)算的基本特點(diǎn)有兩個(gè)：動(dòng)力計(jì)算的

3、基本特點(diǎn)有兩個(gè)： 1 1、動(dòng)力反應(yīng)與時(shí)間有關(guān)。、動(dòng)力反應(yīng)與時(shí)間有關(guān)。 2 2、建立平衡方程要包括慣性力。、建立平衡方程要包括慣性力。 二、動(dòng)力荷載的種類(lèi)二、動(dòng)力荷載的種類(lèi) 1 1、周期荷載、周期荷載 周期荷載中最簡(jiǎn)單也是最重要的一種動(dòng)力荷載為周期荷載中最簡(jiǎn)單也是最重要的一種動(dòng)力荷載為簡(jiǎn)簡(jiǎn) 諧荷載諧荷載，即荷載隨時(shí)間，即荷載隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律可用正弦或余弦的變化規(guī)律可用正弦或余弦 函數(shù)表示。函數(shù)表示。 2 2、沖擊荷載、沖擊荷載 這類(lèi)荷載在很短時(shí)間內(nèi)，荷載值急劇增大或急劇減小。這類(lèi)荷載在很短時(shí)間內(nèi)，荷載值急劇增大或急劇減小。 各種爆炸荷載屬于這一類(lèi)。當(dāng)升載時(shí)間趨于零時(shí)，就各種爆炸荷載屬于這一

4、類(lèi)。當(dāng)升載時(shí)間趨于零時(shí)，就 是突加荷載。是突加荷載。 3 3、隨機(jī)荷載、隨機(jī)荷載 如地震荷載如地震荷載 三、彈性體系的振動(dòng)自由度三、彈性體系的振動(dòng)自由度 確定彈性體系中全部質(zhì)量在任意時(shí)刻的位置所需的確定彈性體系中全部質(zhì)量在任意時(shí)刻的位置所需的 獨(dú)立幾何參數(shù)的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為彈性體系的振動(dòng)自由度。獨(dú)立幾何參數(shù)的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為彈性體系的振動(dòng)自由度。 在建筑結(jié)構(gòu)振動(dòng)中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，把質(zhì)塊看作質(zhì)在建筑結(jié)構(gòu)振動(dòng)中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，把質(zhì)塊看作質(zhì) 點(diǎn)。在平面運(yùn)動(dòng)中確定一個(gè)點(diǎn)需要兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)。點(diǎn)。在平面運(yùn)動(dòng)中確定一個(gè)點(diǎn)需要兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)。 在確定振動(dòng)自由度時(shí)，假定變形前后桿上任意兩點(diǎn)在確定振動(dòng)自由度時(shí)，假定變形前后桿

5、上任意兩點(diǎn) 之間的距離保持不變。之間的距離保持不變。 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 1個(gè)個(gè) 1個(gè)個(gè) 2個(gè)個(gè) 2個(gè)個(gè) 1個(gè)個(gè) 確定體系自由度與結(jié)構(gòu)是否為靜確定體系自由度與結(jié)構(gòu)是否為靜 定或超靜定無(wú)關(guān)。定或超靜定無(wú)關(guān)。 四、體系振動(dòng)的衰減現(xiàn)象四、體系振動(dòng)的衰減現(xiàn)象阻尼力阻尼力 使結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中能量耗散的因素，統(tǒng)稱(chēng)為使結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中能量耗散的因素，統(tǒng)稱(chēng)為阻尼阻尼。 阻尼是結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要?jiǎng)恿μ匦浴Ｗ枘崾墙Y(jié)構(gòu)的一個(gè)重要?jiǎng)恿μ匦浴?所以，在建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，除了動(dòng)力荷載、慣性力所以，在建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，除了動(dòng)力荷載、慣性力 等外，還須引入造成能量損耗的力，即阻尼力。等外，還須引入造成能量損耗的力，即阻尼力。 單自由度體系的阻

6、尼力可表示為：?jiǎn)巫杂啥润w系的阻尼力可表示為： D(t) = c 式中：式中：c 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 質(zhì)點(diǎn)位移速度質(zhì)點(diǎn)位移速度 式中的負(fù)號(hào)表示阻尼力的方向恒與速度的方向相反。式中的負(fù)號(hào)表示阻尼力的方向恒與速度的方向相反。 五、動(dòng)力計(jì)算問(wèn)題的分類(lèi)五、動(dòng)力計(jì)算問(wèn)題的分類(lèi) 1、自由振動(dòng)、自由振動(dòng) 自由振動(dòng)自由振動(dòng)是由初始位移和初始速度引起的振動(dòng)，在振是由初始位移和初始速度引起的振動(dòng)，在振 動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有動(dòng)荷載作用。動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有動(dòng)荷載作用。 2、強(qiáng)迫振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng) 結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)仍受到動(dòng)力荷載的作用，這時(shí)的振結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)仍受到動(dòng)力荷載的作用，這時(shí)的振 動(dòng)稱(chēng)為強(qiáng)迫振動(dòng)。動(dòng)稱(chēng)為強(qiáng)迫振動(dòng)。 9.2 單自由度體系自由

7、振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方單自由度體系自由振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方 程程 y m k y m k 圖中彈簧的剛度系數(shù)圖中彈簧的剛度系數(shù)k11（使彈簧伸長(zhǎng)單位（使彈簧伸長(zhǎng)單位 距離所需施加的力）距離所需施加的力），必須等于結(jié)構(gòu)的剛度系，必須等于結(jié)構(gòu)的剛度系 數(shù)（圖中立柱在柱頂有單位水平位移時(shí)在柱頂數(shù)（圖中立柱在柱頂有單位水平位移時(shí)在柱頂 所需施加的水平力）。所需施加的水平力）。 m ky m 一、剛度法一、剛度法 取質(zhì)量取質(zhì)量mm為對(duì)象，畫(huà)受力圖為對(duì)象，畫(huà)受力圖 m(t) + k11y(t) = 0 k11y 彈性力，它的方向恒與位移的方向相反彈性力，它的方向恒與位移的方向相反 m 慣性力，它的方向恒與加速度的方向相

8、反慣性力，它的方向恒與加速度的方向相反 由達(dá)朗伯原理，任一時(shí)刻的動(dòng)力平衡方程為：由達(dá)朗伯原理，任一時(shí)刻的動(dòng)力平衡方程為： 2、柔度法、柔度法 y(t) m 根據(jù)達(dá)郎伯原理，以靜力平衡位置為計(jì)算位移的起點(diǎn)，作用在質(zhì)量根據(jù)達(dá)郎伯原理，以靜力平衡位置為計(jì)算位移的起點(diǎn)，作用在質(zhì)量mm上只有慣性上只有慣性 力力FI = m(t)，則運(yùn)動(dòng)方程為：，則運(yùn)動(dòng)方程為： m y(t) = m(t) 11 m P = 1 在單自由度體系中，柔度系數(shù)在單自由度體系中，柔度系數(shù)11與剛度系數(shù)與剛度系數(shù)k11，互為倒數(shù)，即，互為倒數(shù)，即 11 = 1 / k11 1 m k 則上式與剛度法的結(jié)論一致。則上式與剛度法的結(jié)論

9、一致。 m(t) + k11y(t) = 0 為立柱的柔度系數(shù)，即單為立柱的柔度系數(shù)，即單 位水平力位水平力P = 1作用在柱頂作用在柱頂 時(shí)柱頂?shù)乃轿灰?。時(shí)柱頂?shù)乃轿灰啤?二、自由振動(dòng)微分方程的解答二、自由振動(dòng)微分方程的解答 y(t) = m(t) 11（柔度法）（柔度法） m + k11y = 0（剛度法）（剛度法） 振動(dòng)微分方程：振動(dòng)微分方程： 寫(xiě)成寫(xiě)成 + 2y = 0 式中：式中： 11 11 1 mm k 上式為二階常系數(shù)齊次微分方程，其解為：上式為二階常系數(shù)齊次微分方程，其解為： y(t) = y0cost + sin t = Asin(t + ) v0 所以，所以，y(t)

10、為時(shí)間為時(shí)間t的周期函數(shù)，質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。的周期函數(shù)，質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 式中：式中：y0為初始位移；為初始位移；v0為初始速度為初始速度 振幅振幅 2 2 0 2 0 v yA 初相位角初相位角 0 0 1 v y tg 為圓頻率，也稱(chēng)為為圓頻率，也稱(chēng)為 自振頻率自振頻率 三、結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率三、結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率 y(t) = y0cost + sin t = Asin(t + ) v0 上式周期函數(shù)的周期為：上式周期函數(shù)的周期為： T = 2 （稱(chēng)為結(jié)構(gòu)自振周期）（稱(chēng)為結(jié)構(gòu)自振周期） 結(jié)構(gòu)自振周期的計(jì)算公式：結(jié)構(gòu)自振周期的計(jì)算公式： g W m k m T 11 11 11

11、222 式中：式中：W = mg為質(zhì)塊的重量為質(zhì)塊的重量 結(jié)構(gòu)自振頻率（即圓頻率）的計(jì)算公式：結(jié)構(gòu)自振頻率（即圓頻率）的計(jì)算公式： 1111 11 1 W g mm k 結(jié)構(gòu)自振頻率與自振周期，是結(jié)構(gòu)自身固有的重要?jiǎng)恿μ匦?，它只與體系的質(zhì)量及結(jié)構(gòu)自振頻率與自振周期，是結(jié)構(gòu)自身固有的重要?jiǎng)恿μ匦?，它只與體系的質(zhì)量及 剛度（或柔度）有關(guān)，而與動(dòng)荷載及初始干擾無(wú)關(guān)。剛度越大或質(zhì)量越小，則自振頻率剛度（或柔度）有關(guān)，而與動(dòng)荷載及初始干擾無(wú)關(guān)。剛度越大或質(zhì)量越小，則自振頻率 越高，反之越低。越高，反之越低。 在動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)都與自振周期和自振頻率有關(guān)！在動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)都與自振周期

12、和自振頻率有關(guān)！ 單位：弧度單位：弧度/ /秒秒（1/s） 例：如圖所示簡(jiǎn)支梁，在梁的跨度中點(diǎn)有一個(gè)集中質(zhì)量例：如圖所示簡(jiǎn)支梁，在梁的跨度中點(diǎn)有一個(gè)集中質(zhì)量m。忽略梁本身的質(zhì)量，求。忽略梁本身的質(zhì)量，求 梁的自振周期和自振頻率。梁的自振周期和自振頻率。EI為常數(shù)為常數(shù) m EI L/2L/2 P = 1 L/4 解：解：1 1、自振周期、自振周期 11 2mT 在在m作用處，加一豎向作用處，加一豎向 單位力單位力P = 1，作，作M圖圖 由圖乘法得：由圖乘法得： EI l 48 3 11 EI ml T 48 2 3 所以：所以： 3 11 481 ml EI m 例：求如圖所示梁的自振周期。

13、梁的例：求如圖所示梁的自振周期。梁的 質(zhì)量分布不計(jì)，支座的彈簧剛度系數(shù)質(zhì)量分布不計(jì)，支座的彈簧剛度系數(shù) 3 5 12 l EI k LL/2L/2 A C B W EIEI k A CB P = 1 解：該結(jié)構(gòu)為單自由度體系解：該結(jié)構(gòu)為單自由度體系 柔度系數(shù)柔度系數(shù) = 1 + 2 1 1/2 EI l k RB 24 5 3 1、計(jì)算、計(jì)算 1 EI l 48 5 2 3 1 2、計(jì)算、計(jì)算 2 此時(shí)只有桿件變形，彈簧不變形此時(shí)只有桿件變形，彈簧不變形 此時(shí)只有彈簧變形，桿件不變形此時(shí)只有彈簧變形，桿件不變形 A C B P = 1 L/2 L/4 作單位荷載彎矩圖，由圖乘法得：作單位荷載彎

14、矩圖，由圖乘法得： EI l 48 5 3 2 3、柔度系數(shù)、柔度系數(shù) EI l 24 5 3 21 EIg Wl g W T 24 5 22 3 4、自振周期、自振周期T 例：如圖所示，忽略柱子的質(zhì)量，求此體系的自振 頻率。 L EI m 解：體系為單自由度體系 11 1 m P = 1 L 由圖乘法得： EI l lll EI3 ) 3 2 2 1 ( 1 3 11 3 11 31 ml EI m 例：如圖所示，忽略柱子的質(zhì)量，橫梁的例：如圖所示，忽略柱子的質(zhì)量，橫梁的 質(zhì)量為質(zhì)量為m，求此體系的自振頻率。，求此體系的自振頻率。 EA m L h 解：體系為單自由度體系 m k11 k11

15、 1 取橫梁為對(duì)象，由平衡 方程得： k11 3 3 h EI 3 3 h EI 333 11 633 h EI h EI h EI k 3 11 6 mh EI m k 例：如圖所示桁架，在跨中的 結(jié)點(diǎn)上有集中質(zhì)量m。若略去桁 架自重和質(zhì)量的水平運(yùn)動(dòng)，各桿 的EA相同，試計(jì)算m豎向振動(dòng)的 自振周期和自振頻率。 LL L 解： EA lNi 2 11 在質(zhì)量m處加一單位力，求出各桿 的軸力。 P = 1 1 00 25 . 0 25 . 0 ) 2 2 1 ( 2 2 )25 . 0(21 1 22 2 11 EA l ll EAEA lNi EA ml mT 2 )22( 22 11 )22

16、( 21 11 ml EA m 四、阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響四、阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響 y m k y m k c 取質(zhì)塊取質(zhì)塊mm為對(duì)象，其上作用的力，除彈性力為對(duì)象，其上作用的力，除彈性力ky、 慣性力慣性力 m m外，還有阻尼力外，還有阻尼力 c 平衡方程為：平衡方程為： m + c + k y = 0 因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?m k11 令：令： m c 2 稱(chēng)為阻尼比稱(chēng)為阻尼比 m c m ky 有阻尼自由振動(dòng)方程可寫(xiě)為：有阻尼自由振動(dòng)方程可寫(xiě)為： + 2 + 2y = 0 微分方程的解答分三種情況討論：微分方程的解答分三種情況討論： 1、 1（即大阻尼情況）（即大阻尼情況） 體系不產(chǎn)生振動(dòng)體系不產(chǎn)

17、生振動(dòng) 3、 = 1（即臨界阻尼情況）（即臨界阻尼情況） 體系從初始位移出發(fā)，逐漸回到靜平衡位置而無(wú)體系從初始位移出發(fā)，逐漸回到靜平衡位置而無(wú) 振動(dòng)發(fā)生。振動(dòng)發(fā)生。 1 ln 2 1 k k y y nk k y y n ln 2 1 或或 這時(shí)的阻尼系數(shù)稱(chēng)為臨界阻尼系數(shù)，它是使體系不這時(shí)的阻尼系數(shù)稱(chēng)為臨界阻尼系數(shù)，它是使體系不 發(fā)生振動(dòng)的最小阻尼。發(fā)生振動(dòng)的最小阻尼。 cc = 2m 例：如圖所示排架，橫梁及柱的部例：如圖所示排架，橫梁及柱的部 分質(zhì)量集中在橫梁處，結(jié)構(gòu)為單自由度分質(zhì)量集中在橫梁處，結(jié)構(gòu)為單自由度 體系。為進(jìn)行振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，在橫梁處加一體系。為進(jìn)行振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，在橫梁處加一 水平力水

18、平力P P，柱頂產(chǎn)生側(cè)移，柱頂產(chǎn)生側(cè)移y y0 0= 0.6cm= 0.6cm，這，這 時(shí)突然卸除荷載時(shí)突然卸除荷載P P，排架作自由振動(dòng)。，排架作自由振動(dòng)。 振動(dòng)一周后，柱頂側(cè)移為振動(dòng)一周后，柱頂側(cè)移為0.54cm0.54cm，試求，試求 排架的阻尼比及振動(dòng)排架的阻尼比及振動(dòng)1010周后，柱頂?shù)恼裰芎?，柱頂?shù)恼?幅幅y y10 10。 。 EA m P 解：解：1 1、求阻尼比、求阻尼比 1 0 ln 2 1 y y 54. 0 6 . 0 ln 2 1 = 0.0168 2 2、求、求 y10 10 0 ln 2 1 y y n n = 10 n y y 2ln 10 0 20lnln 0

19、10 yy = ln0.6 200.0168 y10 = 0.21 cm 振動(dòng)振動(dòng)10周后的振幅為周后的振幅為0.21 cm 9.3 單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力計(jì)算單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力計(jì)算 一、簡(jiǎn)諧荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)（無(wú)阻尼）一、簡(jiǎn)諧荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)（無(wú)阻尼） y m k P(t) y m k P(t) m ky m P(t) 1 1、簡(jiǎn)諧荷載作用下方程的解答、簡(jiǎn)諧荷載作用下方程的解答 設(shè)設(shè) P(t) = P sint 簡(jiǎn)諧荷載的圓頻率簡(jiǎn)諧荷載的圓頻率 P 荷載的最大值，也稱(chēng)荷載的幅值荷載的最大值，也稱(chēng)荷載的幅值 取取mm為對(duì)象，列平衡方程：為對(duì)象，列平衡方

20、程： m + k y = P(t) m k 將 代入得運(yùn)動(dòng)方程：代入得運(yùn)動(dòng)方程： t m P yysin 2 方程的統(tǒng)解為：方程的統(tǒng)解為： t m P t m P ty sin )( sin )( )( 2222 按自振頻率振動(dòng)按自振頻率振動(dòng) 的自振的自振 按荷載頻率振動(dòng)按荷載頻率振動(dòng) 的強(qiáng)迫振動(dòng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 自振和強(qiáng)迫振動(dòng)并存的階段稱(chēng)為過(guò)渡階段，因?qū)嶋H阻自振和強(qiáng)迫振動(dòng)并存的階段稱(chēng)為過(guò)渡階段，因?qū)嶋H阻 尼存在，其后只有強(qiáng)迫振動(dòng)，這個(gè)階段稱(chēng)為尼存在，其后只有強(qiáng)迫振動(dòng)，這個(gè)階段稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)階段穩(wěn)態(tài)階段。 穩(wěn)態(tài)階段的振幅和頻率都是恒定的。穩(wěn)態(tài)階段的振幅和頻率都是恒定的。 2 2、簡(jiǎn)諧荷載的動(dòng)力系數(shù)、簡(jiǎn)諧荷

21、載的動(dòng)力系數(shù) 穩(wěn)態(tài)階段任一時(shí)刻的位移為：穩(wěn)態(tài)階段任一時(shí)刻的位移為： t m P ty sin )( )( 22 t m P sin 1 1 2 2 2 由于由于 m k11 2 11 1 m j yP m P 11 2 yj 為把干擾力的幅值為把干擾力的幅值P視為靜力荷載，作用于體系時(shí)視為靜力荷載，作用于體系時(shí) 而產(chǎn)生的位移，把它稱(chēng)為而產(chǎn)生的位移，把它稱(chēng)為最大靜位移最大靜位移。 稱(chēng)為位移動(dòng)力系數(shù)或放大系數(shù)稱(chēng)為位移動(dòng)力系數(shù)或放大系數(shù) 所以：所以：y(t) = yj sint 令令 2 2 1 1 計(jì)算單自由度體系在動(dòng)荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)，均要先求出體系的自振頻率，計(jì)算單自由度體系在動(dòng)荷載作用下

22、的強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)，均要先求出體系的自振頻率， 再計(jì)算動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力。再計(jì)算動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力。 y(t) max = yj 對(duì)于動(dòng)內(nèi)力，當(dāng)動(dòng)荷載沿振動(dòng)方向作用于質(zhì)體上時(shí)，內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)與位移動(dòng)力系數(shù)對(duì)于動(dòng)內(nèi)力，當(dāng)動(dòng)荷載沿振動(dòng)方向作用于質(zhì)體上時(shí)，內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)與位移動(dòng)力系數(shù) 相同。相同。 即先按靜力方法計(jì)算即先按靜力方法計(jì)算 yj，再計(jì)算動(dòng)力系數(shù)，再計(jì)算動(dòng)力系數(shù) ，就可求出振幅。就可求出振幅。 例如動(dòng)力彎矩的計(jì)算式為：例如動(dòng)力彎矩的計(jì)算式為： M(t) max = Mj = P M Mj 為荷載幅值為荷載幅值P 作為靜力荷載作用時(shí)結(jié)構(gòu)的彎矩；作為靜力荷載作用時(shí)結(jié)構(gòu)的彎矩； M 為單位力沿質(zhì)體振動(dòng)方向作用時(shí)的

23、彎矩。為單位力沿質(zhì)體振動(dòng)方向作用時(shí)的彎矩。 3 3、當(dāng)、當(dāng)值接近值接近時(shí)，動(dòng)力系數(shù)將急劇增大，時(shí)，動(dòng)力系數(shù)將急劇增大， =時(shí)所發(fā)生的振動(dòng)現(xiàn)象稱(chēng)為時(shí)所發(fā)生的振動(dòng)現(xiàn)象稱(chēng)為共共 振振。 共振對(duì)體系來(lái)說(shuō)是很危險(xiǎn)的，有時(shí)會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生破共振對(duì)體系來(lái)說(shuō)是很危險(xiǎn)的，有時(shí)會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生破 壞作用，應(yīng)盡量避免。壞作用，應(yīng)盡量避免。 1 1、當(dāng)、當(dāng)與與相差較大時(shí)，即動(dòng)力荷載的頻率和自振頻率相差較大時(shí)，可將動(dòng)力相差較大時(shí)，即動(dòng)力荷載的頻率和自振頻率相差較大時(shí)，可將動(dòng)力 荷載視為靜力荷載。荷載視為靜力荷載。 結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下無(wú)阻尼穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的一些性質(zhì)：結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下無(wú)阻尼穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的一些性質(zhì)： 2 2 1 1 動(dòng)力

24、系數(shù)動(dòng)力系數(shù) 2、當(dāng)、當(dāng)0 / 1時(shí)，時(shí)， 隨隨/ 的增大而增大。的增大而增大。 突加荷載作用下的位移解答為：突加荷載作用下的位移解答為： y(t) = yj( 1 cost ) 動(dòng)力系數(shù)為：動(dòng)力系數(shù)為： = 2 例：如圖所示簡(jiǎn)支梁，截面慣性矩例：如圖所示簡(jiǎn)支梁，截面慣性矩 I=11626cmI=11626cm4 4，抗彎截面系數(shù)，抗彎截面系數(shù)W = W = 726.7cm726.7cm3 3，彈性模量，彈性模量E = 2.1E = 2.110108 8 kPakPa。跨度中間有重量?？缍戎虚g有重量Q = 40kNQ = 40kN的電動(dòng)的電動(dòng) 機(jī)，轉(zhuǎn)速機(jī)，轉(zhuǎn)速n = 400 r/minn =

25、400 r/min。由于偏心，。由于偏心， 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生離心力轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生離心力P = 20kNP = 20kN，離心力，離心力 的豎向分力為的豎向分力為PsintPsint，忽略梁本身質(zhì)，忽略梁本身質(zhì) 量，求梁在上述簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)量，求梁在上述簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng) 力系數(shù)和最大正應(yīng)力。力系數(shù)和最大正應(yīng)力。 Psint QEI 2.5m2.5m 解：解：1 1、計(jì)算梁的自振頻率、計(jì)算梁的自振頻率 3 48 Ql EIg W g 3 88 540 1011626101 . 2488 . 9 = 47.93 l/s 2 2、計(jì)算簡(jiǎn)諧荷載的頻率、計(jì)算簡(jiǎn)諧荷載的頻率 60 40014. 32 60 2

26、n = 41.89 l/s 所以動(dòng)力系數(shù)所以動(dòng)力系數(shù) 23. 4 1 1 2 2 3 3、計(jì)算跨中截面最大正應(yīng)力、計(jì)算跨中截面最大正應(yīng)力 由電機(jī)重量產(chǎn)生的最大正應(yīng)力和簡(jiǎn)諧荷載產(chǎn)由電機(jī)重量產(chǎn)生的最大正應(yīng)力和簡(jiǎn)諧荷載產(chǎn) 生的最大動(dòng)應(yīng)力組成生的最大動(dòng)應(yīng)力組成 6 107 .7264 5 )2023. 440( = 21.43104 kPa W Pl W Ql 44 二、阻尼對(duì)受簡(jiǎn)諧荷載強(qiáng)迫振動(dòng)的影響二、阻尼對(duì)受簡(jiǎn)諧荷載強(qiáng)迫振動(dòng)的影響 穩(wěn)態(tài)階段任一時(shí)刻的動(dòng)力位移為：穩(wěn)態(tài)階段任一時(shí)刻的動(dòng)力位移為： y(t) = Asin( t ) 式中：式中：A 振幅振幅 振幅與動(dòng)載振幅與動(dòng)載P之間的相位差之間的相位差

27、 A = yj 動(dòng)力系數(shù)計(jì)算式：動(dòng)力系數(shù)計(jì)算式： 動(dòng)力系數(shù)與干擾力頻率、結(jié)構(gòu)的自振頻率及阻尼有關(guān)！動(dòng)力系數(shù)與干擾力頻率、結(jié)構(gòu)的自振頻率及阻尼有關(guān)！ 2 2 2 2 22 4)1 ( 1 討論討論/值不同的幾種情況值不同的幾種情況(P283) 1） ( = 0 ) 表明質(zhì)量表明質(zhì)量mm接近不動(dòng)或只作極微小的振動(dòng)。接近不動(dòng)或只作極微小的振動(dòng)。 3 3）接近接近時(shí)，時(shí)， 值增加很快，這時(shí)阻尼對(duì)值增加很快，這時(shí)阻尼對(duì)值值 有很大影響。有很大影響。 在在0.75 /1.25（習(xí)慣上稱(chēng)為共振區(qū)）的范圍內(nèi)，（習(xí)慣上稱(chēng)為共振區(qū)）的范圍內(nèi)， 阻尼大大減少了動(dòng)位移。而在此范圍外，可按無(wú)阻阻尼大大減少了動(dòng)位移。而在

28、此范圍外，可按無(wú)阻 尼計(jì)算。尼計(jì)算。 2 2 2 2 22 4)1 ( 1 例：已知外伸梁端部作用自重為 W=20kN，干擾力psint的頻率為 = 62.8 1/s，P=2kN,EI=24.5106 Nm2， 梁長(zhǎng)L=6m，試求集中質(zhì)量處最大位 移和最大彎矩。 W LL/2 psint 解：1、計(jì)算集中質(zhì)量處最大位移 求自振頻率： P=1 3 Nm EI /10102. 1 105 .24 2727 6 6 11 1 63 11 09.21 10102. 11020 8 . 9 s W g 動(dòng)力系數(shù)： 127. 0 1 1 1 1 2 2 2 2 09.21 8 .62 最大位移： mm p

29、y 28. 010102. 1102127. 0 63 11max )(32.22 11maxmax mmWy 2、計(jì)算最大彎矩 _ max MWMpM = （0.1272+20）3 = 60.762 kNm 例：如圖所示剛架，電機(jī)與橫梁總質(zhì)量例：如圖所示剛架，電機(jī)與橫梁總質(zhì)量m=1tm=1t，柱，柱 EI=5EI=510104 4kNmkNm2 2，柱重不計(jì)，動(dòng)荷載，柱重不計(jì)，動(dòng)荷載P(t) = 2kNsintP(t) = 2kNsint， 電機(jī)轉(zhuǎn)速電機(jī)轉(zhuǎn)速n=720n=720轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分，阻尼比分，阻尼比=0.10=0.10。求：。求： （1 1） 穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)的振幅及動(dòng)力彎矩圖；（穩(wěn)態(tài)振動(dòng)

30、時(shí)的振幅及動(dòng)力彎矩圖；（2 2）若改變電機(jī)）若改變電機(jī) 轉(zhuǎn)速至發(fā)生共振，并控制動(dòng)力系數(shù)轉(zhuǎn)速至發(fā)生共振，并控制動(dòng)力系數(shù) 22，試確定阻，試確定阻 尼比尼比的大小。的大小。 3m 4m EI EI = P(t) m 解：解：1 1、求自振頻率、求自振頻率 3 12 h EI k 剛架柱頂側(cè)移剛度剛架柱頂側(cè)移剛度 mkN /104 . 9 4 10512 3 3 4 1 104 . 9 3 m k = 96.8 l/s 荷載頻率荷載頻率 = 2n/60 = 75.4 l/s 動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù) 2 2 2 2 22 4)1 ( 1 = 2.36 荷載幅值作用下柱頂水平靜位移荷載幅值作用下柱頂水平靜位移

31、 m k P y j 4 1013. 2 振幅振幅 A = yj = 0.5 mm 1 2 2 2 M(t)max = PM = 4.72M M 9.45 9.45 9.45 由于強(qiáng)迫力沿振動(dòng)方向作用于質(zhì)體上，由于強(qiáng)迫力沿振動(dòng)方向作用于質(zhì)體上， 故內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)和位移動(dòng)力系數(shù)相同故內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)和位移動(dòng)力系數(shù)相同 2 2、共振時(shí)，、共振時(shí)，/ = 1/ = 1 動(dòng)力系數(shù)：動(dòng)力系數(shù)： = 1/2 則阻尼比：則阻尼比： = 1/2 欲使欲使 2 1/2 = 0.25 9.6 多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng) 一、兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)一、兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng) 1 1、運(yùn)動(dòng)方程的建立、

32、運(yùn)動(dòng)方程的建立 1）柔度法）柔度法 0 221211111 ymymy 0 222211212 ymymy 2）剛度法）剛度法 0 21211111 ykykym 0 22212122 ykykym 1 1）柔度法求自振頻率）柔度法求自振頻率 頻率方程為：頻率方程為： 2 222211 122 2 111 1 1 mm mm = 0 頻率參數(shù)：頻率參數(shù)： 2 12221121 2 222111222111 2 4 2 11 mmmmmm m1m2 1 1 1121 1222 2 2、頻率方程和自振頻率、頻率方程和自振頻率 其中較小的一個(gè)，以其中較小的一個(gè)，以 1表示，稱(chēng)為第一頻率或基本表示，稱(chēng)

33、為第一頻率或基本 頻率；另一個(gè)以頻率；另一個(gè)以 2表示，稱(chēng)為第二頻率。表示，稱(chēng)為第二頻率。 2 2）剛度法求自振頻率）剛度法求自振頻率 頻率方程為：頻率方程為： 0 2 22221 12 2 111 mkk kmk 頻率：頻率： 21 2 122211 2 2 22 1 11 2 2 22 1 11 2 4 2 1 mm kkk m k m k m k m k kij 的物理意義：同第的物理意義：同第6章章 例：圖示簡(jiǎn)支梁，質(zhì)量集中在例：圖示簡(jiǎn)支梁，質(zhì)量集中在m1和和m2上，上， m1 = m2= m，EI=常數(shù)，求自振常數(shù)，求自振 頻率。頻率。 m1m2 L/4L/4 L/2 EI 解：解：

34、1 1、作單位彎矩圖，計(jì)算柔度系數(shù)、作單位彎矩圖，計(jì)算柔度系數(shù) 1 1 3L/16 3L/16 由圖乘法可得：由圖乘法可得： EI l 768 7 3 2112 EI l 256 3 3 2211 2 2、將柔度系數(shù)代入公式得：、將柔度系數(shù)代入公式得： EI ml m 48 3 12111 EI ml m 384 3 22112 自振頻率：自振頻率： 3 1 1 93. 6 1 ml EI 3 2 2 6 .19 1 ml EI 3 3、主振型及主振型正交性、主振型及主振型正交性 1 1）、主振型）、主振型 n 個(gè)自由度體系具有個(gè)自由度體系具有n個(gè)自振頻率。當(dāng)體系（即所個(gè)自振頻率。當(dāng)體系（即所

35、 有質(zhì)點(diǎn)）按某一自振頻率作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)位有質(zhì)點(diǎn)）按某一自振頻率作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)位 移振幅之間的比值保持不變，這種特殊的振動(dòng)形式移振幅之間的比值保持不變，這種特殊的振動(dòng)形式 稱(chēng)為主振型或振型。稱(chēng)為主振型或振型。 121 1 212 1 111 212 2 1 2 2 m m m m Y Y 在特定的初始條件下，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在特定的初始條件下，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1 、 m2按頻率按頻率1或或 2作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，位移作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，位移y1 、 y2的比值保持為常數(shù)。的比值保持為常數(shù)。 當(dāng)當(dāng) = 1時(shí)的振型稱(chēng)為第一主振型或基本振型時(shí)的振型稱(chēng)為第一主振型或基本振型 2 1 1 111 212 21 11 m m

36、 Y Y 或或 1 2 111 12 21 11 mk k Y Y 當(dāng)當(dāng) = 2時(shí)的振型稱(chēng)為第二主振型時(shí)的振型稱(chēng)為第二主振型 2 2 1 111 212 22 12 m m Y Y 或或 1 2 211 12 22 12 mk k Y Y Yij兩個(gè)下標(biāo)的意義：兩個(gè)下標(biāo)的意義： 第第一個(gè)下標(biāo)一個(gè)下標(biāo)i表示質(zhì)點(diǎn)的序號(hào)；第二個(gè)下標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)的序號(hào)；第二個(gè)下標(biāo)j 表示頻率的序號(hào)，或振型的序號(hào)。表示頻率的序號(hào)，或振型的序號(hào)。 如如Y12表示按第二頻率（表示按第二頻率（ = 2 ）振動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)）振動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)1（m1）的最大位移。）的最大位移。 注意：注意：體系能否按某一振型作自由振動(dòng)由初始條件決定；但主振

37、型的形式則體系能否按某一振型作自由振動(dòng)由初始條件決定；但主振型的形式則 和頻率一樣和頻率一樣 ，與初始條件無(wú)關(guān)，而是完全由體系本身的動(dòng)力特性所決定。，與初始條件無(wú)關(guān)，而是完全由體系本身的動(dòng)力特性所決定。 2 2）主振型的正交性）主振型的正交性 對(duì)于同一多自由度體系來(lái)說(shuō)，各個(gè)主振型之間存在對(duì)于同一多自由度體系來(lái)說(shuō)，各個(gè)主振型之間存在 正交性，這是多自由度體系的重要?jiǎng)恿μ匦浴Ｕ恍?，這是多自由度體系的重要?jiǎng)恿μ匦浴?當(dāng)當(dāng) 1不等于不等于 2時(shí)，恒有：時(shí)，恒有： m1Y11Y12 + m2Y21Y22 = 0 即質(zhì)量與對(duì)應(yīng)的兩個(gè)主振型振幅的連乘積的代數(shù)即質(zhì)量與對(duì)應(yīng)的兩個(gè)主振型振幅的連乘積的代數(shù) 和為

38、零。和為零。 例：試確定上例體系的主振型，并驗(yàn)例：試確定上例體系的主振型，并驗(yàn) 證主振型的正交性。證主振型的正交性。 mm L/4L/4 L/2 EI 解：由前面求得： EI ml EI ml 384 1 48 1 3 2 2 3 2 1 EI l EI l 769 7 , 256 3 3 12 3 11 2 1 1 111 212 21 11 m m Y Y 2 2 1 111 212 22 12 m m Y Y 1 48256 3 768 7 33 3 EI ml EI ml EI ml = -1 1 11 -1 主振型形狀： 驗(yàn)證正交性： m1Y11Y12 + m2Y21Y22 = m1

39、1+m1(-1) = 0 例：求圖示體系的自振頻率和主振型例：求圖示體系的自振頻率和主振型 aa a EI m 解：解：1、作單位彎矩圖，求、作單位彎矩圖，求i j P=1 a/2 P=1 a a/2 a/2 EI a 6 3 11 EI a 2 3 22 0 2112 2、求自振頻率、求自振頻率 2 12221121 2 222111222111 2 4 2 11 mmmmmm EI ma 2 3 1 EI ma 6 3 2 3 1 1 21 ma EI 所以： 3 2 2 61 ma EI 2、求主振型、求主振型 2 1 1 111 212 21 11 m m Y Y 2 2 1 111 212 22 12 m m Y Y = 0 = 0 只有水平振動(dòng) 只有豎向振動(dòng) 例：如圖所示剛架，各柱 EI=常數(shù)，設(shè)橫梁EI=，質(zhì)量 集中在橫梁上、且m1= m2