初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖專題講解

1、初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖專題講解 張遠(yuǎn)波 尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題 . 只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來(lái)解決不同的平 面幾何作圖題 . 平面幾何作圖，限制只能用直尺、圓規(guī) . 在歷史上最先明確提出尺規(guī)限制的是伊諾皮迪斯.他發(fā)現(xiàn)以下 作圖法：在已知直線的已知點(diǎn)上作一角與已知角相等. 這件事的重要性并不在于這個(gè)角的實(shí)際作出，而是 在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這個(gè)問(wèn)題 . 在這以前，許多作圖題是不限工具的 . 伊諾皮迪斯以后，尺規(guī)的 限制逐漸成為一種公約，最后總結(jié)在幾何原本之中 . 初等平面幾何研究的對(duì)象， 僅限于直線、 圓以及由它們 （或一部分） 所組成的圖形， 因此作圖的工具， 習(xí)慣上

2、使用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)兩種 . 限用直尺和圓規(guī)來(lái)完成的作圖方法， 叫做尺規(guī)作圖法 . 最簡(jiǎn)單的尺 規(guī)作圖有如下三條： 經(jīng)過(guò)兩已知點(diǎn)可以畫一條直線； 已知圓心和半徑可以作一圓； 兩已知直線；一已知直線和一已知圓；或兩已知圓，如果相交，可以求出交點(diǎn)； 以上三條，叫做作圖公法 . 用直尺可以畫出第一條公法所說(shuō)的直線；用圓規(guī)可以作出第二條公法所說(shuō) 的圓；用直尺和圓規(guī)可以求得第三條公法所說(shuō)的交點(diǎn). 一個(gè)作圖題，不管多么復(fù)雜，如果能反復(fù)應(yīng)用上述 三條作圖公法，經(jīng)過(guò)有限的次數(shù)，作出適合條件的圖形，這樣的作圖題就叫做尺規(guī)作圖可能問(wèn)題；否則， 就稱為尺規(guī)作圖不能問(wèn)題 . 歷史上，最著名的尺規(guī)作圖不能問(wèn)題是：

3、三等分角問(wèn)題：三等分一個(gè)任意角； 倍立方問(wèn)題：作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍； 化圓為方問(wèn)題：作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知圓的面積 . 這三個(gè)問(wèn)題后被稱為 “幾何作圖三大問(wèn)題 ”. 直至 1837 年，萬(wàn)芝爾（ Pierre Laurent Wantzel ）首先證明三 等分角問(wèn)題和立方倍積問(wèn)題屬尺規(guī)作圖不能問(wèn)題； 1882 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼（ Ferdinand Lindemann ）證 明n是一個(gè)超越數(shù)（即n是一個(gè)不滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實(shí)數(shù)），由此即可推得根號(hào) n即當(dāng)圓半徑r 1 時(shí)所求正方形的邊長(zhǎng)）不可能用尺規(guī)作出，從而也就證明了化圓為方問(wèn)題是一個(gè)尺規(guī)作圖不

4、能問(wèn)題. 若干著名的尺規(guī)作圖已知是不可能的，而當(dāng)中很多不可能證明是利用了由19 世紀(jì)出現(xiàn)的伽羅華理論 . 盡管如此，仍有很多業(yè)余愛(ài)好者嘗試這些不可能的題目，當(dāng)中以化圓為方及三等分任意角最受注意. 數(shù)學(xué) 家 Underwood Dudley 曾把一些宣告解決了這些不可能問(wèn)題的錯(cuò)誤作法結(jié)集成書 . 還有另外兩個(gè)著名問(wèn)題： 正多邊形作法 只使用直尺和圓規(guī)，作正五邊形 只使用直尺和圓規(guī)，作正六邊形 只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形 一一這個(gè)看上去非常簡(jiǎn)單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學(xué)家都束手 無(wú)策，因?yàn)檎哌呅问遣荒苡沙咭?guī)作出的 . 只使用直尺和圓規(guī)，作正九邊形，此圖也不能作出來(lái)，因?yàn)閱斡弥背吆蛨A規(guī)，是不足以

5、把一個(gè)角 分成三等份的 . 問(wèn)題的解決：高斯，大學(xué)二年級(jí)時(shí)得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多 邊形的條件：尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是 2 的非負(fù)整數(shù)次方和不同的費(fèi)馬素 數(shù)的積，解決了兩千年來(lái)懸而未決的難題 . 四等分圓周 只準(zhǔn)許使用圓規(guī)，將一個(gè)已知圓心的圓周4等分這個(gè)問(wèn)題傳言是拿破侖波拿巴出的，向全法國(guó) 數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn) 尺規(guī)作圖的相關(guān)延伸： 用生銹圓規(guī)（即半徑固定的圓規(guī)）作圖 1只用直尺及生銹圓規(guī)作正五邊形 2生銹圓規(guī)作圖，已知兩點(diǎn) A、B，找出一點(diǎn)C使得AB BC CA. 3已知兩點(diǎn)A、B，只用半徑固定的圓規(guī)，求作C使C是線段AB的中點(diǎn) 4尺規(guī)作圖，是古希臘人按盡可能簡(jiǎn)

6、單”這個(gè)思想出發(fā)的，能更簡(jiǎn)潔的表達(dá)嗎？順著這思路就有了更簡(jiǎn)潔 的表達(dá).10世紀(jì)時(shí)，有數(shù)學(xué)家提出用直尺和半徑固定的圓規(guī)作圖 1672年，有人證明：如果把 作直線 解釋為 作出直線上的2點(diǎn)”那么凡是尺規(guī)能作的， 單用圓規(guī)也能作出！ 從已知點(diǎn)作出新點(diǎn)的幾種情況： 兩弧交點(diǎn)、直線與弧交點(diǎn)、兩直線交點(diǎn)，在已有一個(gè)圓的情況下，那么凡是尺規(guī)能作的，單用直尺也 能作出！ 五種基本作圖： 初中數(shù)學(xué)的五種基本尺規(guī)作圖為: 1做一線段等于已知線段 2做一角等于已知角 3做一角的角平分線 4.過(guò)一點(diǎn)做一已知線段的垂線 5做一線段的中垂線 下面介紹幾種常見(jiàn)的尺規(guī)作圖方法： 軌跡交點(diǎn)法：解作圖題的一種常見(jiàn)方法解作圖題常歸

7、結(jié)到確定某一個(gè)點(diǎn)的位置 如果這兩個(gè)點(diǎn)的位置 是由兩個(gè)條件確定的，先放棄其中一個(gè)條件，那么這個(gè)點(diǎn)的位置就不確定而形成一個(gè)軌 跡；若改變放棄另一個(gè)條件，這個(gè)點(diǎn)就在另一條軌跡上，故此點(diǎn)便是兩個(gè)軌跡的交點(diǎn) 這個(gè)利用軌跡的交點(diǎn)來(lái)解作圖題的方法稱為軌跡交點(diǎn)法，或稱交軌法、軌跡交截法、軌 跡法 【例1】 電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如下圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離 P應(yīng)修建在什么位置? G 【分析】 這是一道實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)題意知道，點(diǎn) P應(yīng)滿足兩個(gè)條件，一是在線 段AB的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點(diǎn) P應(yīng)是它們的交點(diǎn) 【解析】 作兩條公路

8、夾角的平分線 0D或0E ； 必須相等，到兩條高速公路 m、n的距離也必須相等，發(fā)射塔 作線段AB的垂直平分線FG ;則射線0D , OE與直線FG的交點(diǎn)C1 , C2就是發(fā)射塔的位置. 【例2】 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)是（4，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，在直線 AOP是等腰三角形，這樣的 P點(diǎn)有幾個(gè)？ y x 3上求一點(diǎn)P，使 【解析】 首先要清楚點(diǎn)P需滿足兩個(gè)條件，一是點(diǎn) P在y x 3上；二是 AOP必須是等腰三角形其次, 尋找P點(diǎn)要分情況討論，也就是當(dāng) OA OP時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA為半徑畫圓，與直線有兩個(gè) 點(diǎn)R、P2 ;當(dāng)OA AP時(shí)，以A點(diǎn)為圓心，OA為半徑畫圓，與直線無(wú)交點(diǎn)；

9、當(dāng) PO PA時(shí)，作 OA的垂直平分線，與直線有一交點(diǎn)Pa，所以總計(jì)這樣的 P點(diǎn)有3個(gè). 【例3】 設(shè)OO與OO相離，半徑分別為 R與R，求作半徑為r的圓，使其與 OO及OO外切 r 【分析】 設(shè)OM是符合條件的圓，即其半徑為r，并與OO及OO外切，顯然，點(diǎn) M是由兩個(gè)軌跡確定 的，即M點(diǎn)既在以O(shè)為圓心以R r為半徑的圓上，又在以 O為圓心以R r為半徑的圓上，因 此所求圓的圓心的位置可確定 若OO與OO相距為b，當(dāng)2r b時(shí)，該題無(wú)解，當(dāng)2r b有唯一 解；當(dāng)2r b時(shí)，有兩解. 【解析】 以當(dāng)OO與OO相距為b , 2r b時(shí)為例: 作線段OA R r , OB R r . 分別以O(shè), O

10、為圓心，以R r , R r為半徑作圓，兩圓交于 MM?兩點(diǎn). 連接OMi，OM2，分別交以R為半徑的OO于D、C兩點(diǎn) 分別以Mi , M2為圓心，以r為半徑作圓 OMi,OM2即為所求 【思考】若將例3改為：設(shè)OO與OO相離，半徑分別為R與R,求作半徑為r （r R）的圓，使其與OO 內(nèi)切，與OO外切 ”又該怎么作圖？ 代數(shù)作圖法：解作圖題時(shí)，往往首先歸納為求出某一線段長(zhǎng)，而這線段長(zhǎng)的表達(dá)式能用代數(shù)方法求出， 然后根據(jù)線段長(zhǎng)的表達(dá)式設(shè)計(jì)作圖步驟用這種方法作圖稱為代數(shù)作圖法 【例4】 只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心） 【分析】設(shè)半徑為1 可算出其內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為2 ,也就是說(shuō)用這個(gè)

11、長(zhǎng)度去等分圓周 我們的任務(wù)就是做 出這個(gè)長(zhǎng)度六等分圓周時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè) .3的長(zhǎng)度設(shè)法構(gòu)造斜邊為,3，一直角邊為1的直角三角 形，2的長(zhǎng)度自然就出來(lái)了 【解析】具體做法： 隨便畫一個(gè)圓設(shè)半徑為1. 先六等分圓周這時(shí)隔了一個(gè)等分點(diǎn)的兩個(gè)等分點(diǎn)距離為一3 以這個(gè)距離為半徑，分別以兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)為圓心，同向作弧，交于一點(diǎn)（兩個(gè)相對(duì)的 等分點(diǎn)”其實(shí)就是直徑的兩端點(diǎn)啦！兩弧交點(diǎn)與兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)”形成的是一個(gè)底為 2,腰 為3的等腰三角形可算出頂點(diǎn)距圓心距離就是 過(guò)D作DE MN，交OO于E , 以DE為一邊作正方形 DEFG 正方形DEFG即為所求 【例6】 在已知直線I上求作一點(diǎn)M，使得過(guò)M作已知半徑

12、為 r的OO的切線，其切線長(zhǎng)為 Mim2 【分析】 先利用代數(shù)方法求出點(diǎn) M與圓心0的距離d，再以0為圓心，d為半徑作圓，此圓與直線 I的交 點(diǎn)即為所求 以0為圓心，0B為半徑作圓 若此圓與直線I相交，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn) Mi , M2. Mi , M2即為所求 若此圓與直線I相切，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn) M M即為所求 若此圓與直線I相離，此時(shí)無(wú)交點(diǎn)即不存在這樣的 M點(diǎn)使得過(guò)M作已知半徑為r的O0的切 線，其切線長(zhǎng)為a . 旋轉(zhuǎn)法作圖：有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，以使已知圖形與所 求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑 【例7】已知：直線a、b、c ,且a II b II c

13、. 求作：正 ABC，使得 A、B、C三點(diǎn)分別在直線 a、b、c上. 【分析】 假設(shè) ABC是正三角形，且頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別在直線a、b、c上.作AD b于D，將ABD 繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60后，置于 ACD的位置，此時(shí)點(diǎn)D的位置可以確定從而點(diǎn)C也可以確定 再作 BAC 60 , B點(diǎn)又可以確定，故符合條件的正三角形可以作出 【解析】作法： 在直線a上取一點(diǎn)A，過(guò)A作AD b于點(diǎn)D ; 以AD為一邊作正三角形 ADD; 過(guò)D作DC AD，交直線c于C ; 以A為圓心，AC為半徑作弧，交b于B （使B與D在AC異側(cè)） 連接AB、AC、BC得 ABC ABC即為所求 【例8】 已知：如圖，P為

14、AOB角平分線OM上一點(diǎn) PD，且C在0A上，D在0B上 【解析】 過(guò)P作PE OB于E. 過(guò)P作直線I II OB； PE（或 PM PE）； I ），交 0A于 C （或 C）點(diǎn); 在直線|上取一點(diǎn)M，使得PM 過(guò)M （或M ）作MC I （或M C 連接PC（或PC），過(guò)P作PD PC （或PD PC）交0B于D （或D）點(diǎn) 連接 PD,CD （或 PD,CD）. 則 PCD（或 PCD）即為所求 位似法作圖：利用位似變換作圖，要作出滿足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個(gè)條件，作出與其位 似的圖形，然后利用位似變換，將這個(gè)與其位似得圖形放大或縮小，以滿足全部條件, 從而作出滿足全部的條件

15、【例9】已知：一銳角 ABC. 求作:一正方形 DEFG，使得D、E在BC邊上，F(xiàn)在AC邊上，G在AB邊上 AA 【分析】 先放棄一個(gè)頂點(diǎn)F在AC邊上的條件，作出與正方形DEFG位似的正方形 DEFG，然后利用 位似變換將正方形 DEFG放大（或縮?。┑玫綕M足全部條件的正方形DEFG . 【解析】作法： 在AB邊上任取一點(diǎn) G，過(guò)G作GD BC于D 以GD為一邊作正方形 DEFG，且使E在BD的延長(zhǎng)線上 作直線BF 交AC于F 過(guò)F分別作FG II FG交AB于G ;作FE II FE交BC于E. 過(guò)G作GD II GD交BC于D. 則四邊形DEFG即為所求 面積割補(bǔ)法作圖： 對(duì)于等積變形的作

16、圖題，通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個(gè)三角形，再借 助平行線補(bǔ)上一個(gè)等底等高的另一個(gè)三角形，使面積不變，從而完成所作圖形 【例10】如圖，過(guò) ABC的底邊BC上一定點(diǎn), P，求作一直線I，使其平分 ABC的面積 A BPC A 【分析】因?yàn)橹芯€AM平分 ABC的面積，所以首先作中線 AM，假設(shè)PQ平分 ABC的面積，在 AMC 中先割去 AMP，再補(bǔ)上 ANP 只要 NM II AP，貝U AMP 和 AMP就同底等高，此時(shí)它們的面 積就相等了 所以PN就平分了 ABC的面積 【解析】作法: 取BC中點(diǎn)M，連接AM , AP; 過(guò)M作MN / AP交AB于N ; 過(guò)P、N作直線I . 直

17、線I即為所求 【例11】如圖：五邊形ABCDE可以看成是由一個(gè)直角梯形和一個(gè)矩形構(gòu)成 請(qǐng)你作一條直線I，使直線I平分五邊形ABCDE的面積； 這樣的直線有多少條？請(qǐng)你用語(yǔ)言描述出這樣的直線. 【解析】 取梯形AFDE的中位線MN的中點(diǎn)0,再取矩形BCDF對(duì)角線的交點(diǎn)O，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)O, O的 直線I即為所求； 這樣的直線有無(wú)數(shù)條設(shè)中的直線I交AE于Q，交BC于R，過(guò)線段RQ中點(diǎn)P，且與線段 AE、BC均有交點(diǎn)的直線均可平分五邊形ABCDE的面積 【例12】（07江蘇連云港）如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果 匹 匹，那么稱點(diǎn)C為線段AB的 AB AC 黃金分割點(diǎn). 某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，

18、由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到黃金分割線”，類似地給出 黃金分割線”的 定義：直線I將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為 s , S2，如果 邑, S S1 那么稱直線I為該圖形的黃金分割線. 研究小組猜想：在厶ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2）,則直線CD是厶ABC 的黃金分割線你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？ 請(qǐng)你說(shuō)明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？ 研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)C任作一條直線交 AB于點(diǎn)E ,再過(guò)點(diǎn) D作直線 DF / CE，交AC于點(diǎn)F ,連接EF （如圖3），則直線EF也是 ABC的黃金分割線請(qǐng)你說(shuō) 明理由. 如圖4，點(diǎn)E是 ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E作EF /