一元二次方程培優(yōu)提高例題

1、考點一、概念(1)定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是.2,這樣的整式方 程就是一元二次方程。(2) 般表達(dá)式：ax2 bx c 0(a 0)難點：如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 ”： 該項系數(shù)不為“ 0” ； 未知數(shù)指數(shù)為“ 2” ; 若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以 討論。典型例題：例1、卜列方程中是關(guān)于x的一兀1次方程的是()21 1A3 x 12x1B22 0xxCax2 bxc0Dx2 2xx21變式：當(dāng)k時,關(guān)于x的方程kx22x x23是一元二次方程。例2、方程 m 2 x冋 3mx 1 0是關(guān)于x的一元二次方程，則 m的值為針對練

2、習(xí)：2 1、方程8x 7的一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 。 2、若方程m 2 x m10是關(guān)于x的一元一次方程,求m的值；寫出關(guān)于 x的一元一次方程。 3、若方程 m 1 x2. m ?x 1是關(guān)于x的一元二次方程，則 m的取值范圍是 4、若方程nx m+xn -2x 2=0是一元二次方程，則下列不可能的是(A.m=n=2B.m=2, n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考點二、方程的解概念：應(yīng)用：典型例題：例1、使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。 利用根的概念求代數(shù)式的值；已知2y2y 3的值為2，貝U 4y22 y 1的值為關(guān)于x的2元二次方程 a 2 x xa240的一個根為0 ,

3、則a的值為說明：任何時候，都不能忽略對一元二次方程二次項系數(shù)的限制2b，則此方程已知關(guān)于x的一元二次方程ax bx c 0 a 0的系數(shù)滿足a c必有一根為說明：本題的關(guān)鍵點在于對“代數(shù)式形式”的觀察，再利用特殊根“-1 ”巧解代數(shù)式的值。例4、已知a, b是方程x2 4x m 0的兩個根，b,c是方程y2 8y 5m 0的兩個根,貝U m的值為針對練習(xí)： 1、已知方程x2kx100的一根是2，貝U k為，另根疋 2、已知關(guān)于x的方程2 xxkx 20的一個解與方程-13的解相同。x1求k的值；方程的另一個解。 3、已知m是方程x2x10的一個根，則代數(shù)式 m2m 42、已知a是x3x 120

4、的根，貝U 2a 6a。 5、方程 a b2xbc x c a 0的一個根為（)A1B1C b cDa 6、若 2x 5y 30,則 4x?32y ?？键c三、解法 方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法 關(guān)鍵點：降次類型一、直接開方法：x2mm 0 , x m2 2 2對于x a m， ax m bx n等形式均適用直接開方法典型例題：OO2例 1、解方程：1 2x2 8 0;2 25 16x2=0;3 1 x 9 0;例2、解關(guān)于x的方程：ax2 b 02 2例3、若9 x 116 x 2 ，則x的值為。針對練習(xí)：下列方程無解的是（）2 2 2 2A. x 3 2x 1 B. x 20

5、 C. 2x 3 1 x D. x 90類型二、因式分解法：X X1 X X20x x1,或x x2方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0 ”,方程形式：如2ax m, 2bx n ， x a x bx22ax a20典型例題：例 1、2x x35 x 3的根為()5x 352A xBCx1,X23D x -225例2、若4xy23 4xy 40，則 4x+y的值為0變式1 :2 ab22a2 b260,則a2b20變式2 :若x2xy y 14,2yxy x28，則x+y的值為。2例3、方程xx60的解為()A. x13,x2 B. x13,X22C. x13,x23 D. x

6、12,x22例4、解方程：2 x2 3 1x2 .34 0例5、已知2x2 3xy 2y20,則-y的值為x y變式：已知2x23xy2y20,且 xo,y0,則x的值為y針對練習(xí)： 1、下列說法中：2方程xpxq0的二根為捲,X2，則2x pxq(x Xj(X X2) X2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2y2(x y)(、x . y)(、x . y) 方程(3x 1)270可變形為(3x 1- 7)(3x 1 、一 7)0正確的有( )A.1個B.2個C.3個D.4個 2、以17與1. 7為根的一元二次方程是()A.x22x60B.x2 2

7、x 60c . y22y60D .y2 2y 60 3、寫出-個一元一次方程，要求1次項系數(shù)不為1，且兩根互為倒數(shù)：寫出一個一元-一次方程,要求二:次項系數(shù)不為1，且兩根互為相反數(shù) 4、若實數(shù)x、y滿足x y 3 x y 20，則x+y的值為(B、-1 或 2C、1 或-2A、-1 或-22 15、方程：x2冷 2的解是x類型三、配方法2ax bx c 0 a 02ab2 4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式 的值或極值之類的問題。典型例題：例1、試用配方法說明x2 2x 3的值恒大于0。例2、已知x、y為實數(shù)，求代數(shù)式2x 4y 7的最小值。例 3、已知 x2 y

8、2 4x 6y 130,y為實數(shù)，求xy的值。例4、分解因式：4x212x 31、試用配方法說明210x 7x 4的值恒小于0。 2、已知 x2xx1x40,則 x 1.x3、若 t 2.3x212x 9，則t的最大值為，最小值為。21、關(guān)于x的方程xpxq0的兩根同為負(fù)數(shù)，則()A. p0 且 q0b. p0且q0C. p0D . p0且q 00 V m 10 m v 1 D、類型四、公式法條件：a 0,且 b2 4ac 0公式：x b Vb2 4aC, a 0,且b2 4ac 02a典型例題：例1、選擇適當(dāng)方法解下列方程： 31 x 26. x 3 x 68. x2 4x 102 3x 4

9、x 10 3 x 1 3x 1x 1 2x 5說明：解一元二次方程時，首選方法是因式分解法和直接開方法、其次選用求根公式 法；一般不選擇配方法。例2、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2 2.2x 3 ；( 2)4x2 8x 1. 2x2 4xy 5y2說明：對于二次三項式ax2 bx c的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解,一般情況要用求根公式，這種方法首先令ax2 bx c=0,求出兩根，再寫成2ax bx c = a(x x1)(x x2).例2、如果x x 10，那么代數(shù)式x2x2 7的值。2例3、已知a是一元二次方程 x 3x 10的一根，求2a2 5aa211的值。分解結(jié)果是否把二次

10、項系數(shù)乘進(jìn)括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去類型五、“降次思想”的應(yīng)用求代數(shù)式的值；解二兀二次方程組。典型例題：例1、已知x 1 3x21x2 3x 20，求代數(shù)式的值。x1說明：在運用降次思想求代數(shù)式的值的時候，要注意兩方面的問題：能對已知式進(jìn) 行靈活的變形；能利用已知條件或變形條件，逐步把所求代數(shù)式的高次幕化為低次 幕，最后求解。例4、用兩種不同的方法解方程組2x y 6,(1)x2 5xy 6y20.(2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想一一化歸思想，即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已 知的問題.考點四、根的判別式 b2

11、 4ac根的判別式的作用: 定根的個數(shù)； 求待定系數(shù)的值; 應(yīng)用于其它。典型例題：例1、若關(guān)于x的方程x22、kx 10有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是例2、關(guān)于x的方程m 1 x2 2mxm 0有實數(shù)根，則 m的取值范圍是(A. m0且m1B. m 0C. m 1D. m 1(1) 求證：無論k取何值時，方程總有實數(shù)根；(2) 若等腰ABC的一邊長為1，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求ABC的周長。例4、已知二次三項式9x (m 6)x m 2是一個完全平方式，試求說明：若二次三項式為一個完全平方式，則其相應(yīng)方程的判別式即：若b2 4ac 0，則二次三項式ax2bx c (a 0)為完全

12、平方式；反之，若4ac 0.2 2ax bx c (a 0)為完全平方式，則 bx有兩組相等的實數(shù)解，并求此解; 有兩組不相等的實數(shù)解； 沒有實數(shù)解 2y26,例5、m為何值時，方程組mx y 3.有兩個不同的實數(shù)解？有兩個相同的實數(shù)解?針對練習(xí)： 1、當(dāng) k時，關(guān) 2、當(dāng)k取何值時，多項式2 3、已知方程mxmx 4、k為何值時，方程組x的二次三項式3x2 4x 2k 是2x kx 9是完全平方式。個完全平方式？這個完全平方式是什么?2 0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值是y kx 2, y2 4x 2y 10.(1)(2)(3) 5、當(dāng)k取何值時,方程2 2x 4mx 4x 3m 2m 4k

13、 0的根與 m均為有理數(shù)?考點五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：1、關(guān)于x的方程m1 x22mx 30有兩個實數(shù)根，則 只有一個根，則 m為2、不解方程，判斷關(guān)于x的方程x2 2 x k2k3根的情況。3、如果關(guān)于x的方程x kx 20及方程xx 2k 0均有實數(shù)根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由?？键c六、根與系數(shù)的關(guān)系前提：對于ax2bx c 0而言，當(dāng)滿足a 0、0時,才能用韋達(dá)定理。22x 8x 70的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（）A.、3B.3C.6主要內(nèi)容：x1 x2 ,x1x2a應(yīng)用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個直角

14、三角形的兩直角邊長恰是方程說明：要能較好地理解、運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，必須熟練掌握a b、a b、 ab、 ab2之間的運算關(guān)系.2、解方程組:(1) % y 10, xy 24;10,2.2說明：一些含有y、xy的二元二次方程組，除可以且代入法來解外,往往還可以利用根與系數(shù)的關(guān)系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題 有時，后者顯得更為簡便.例3、已知關(guān)于X的方程k X 2k 1 X 10有兩個不相等的實數(shù)根 XX2，（1 ）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出 k的值；若不 存在，請說明理由。例4、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項系數(shù)為1 ）時，小明因看錯常數(shù)項，而得到解為 8和2，