潔具流水時(shí)間設(shè)計(jì)

1、關(guān)于潔具流水時(shí)間的優(yōu)化設(shè)計(jì)摘要本文針對(duì)潔具流水時(shí)間設(shè)計(jì)的問題，采用隨機(jī)最優(yōu)化方法建立數(shù)學(xué)模型，求解得到在不同方案下的最優(yōu)沖水時(shí)間和最大限度的節(jié)約用水量。 對(duì)于問題(1)，首先用矩估計(jì)的方法得到了男性使用潔具的時(shí)間分布服從正態(tài)分布，接著在合理的假設(shè)條件下將上述問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)優(yōu)化求極值問題，用微分求導(dǎo)方法求得：方案一最優(yōu)沖水時(shí)間；方案二最優(yōu)沖水時(shí)間。對(duì)兩個(gè)方案采用隨機(jī)模擬驗(yàn)證，驗(yàn)證的結(jié)果與理論值符合的很好。得出結(jié)論：從節(jié)約能源的角度，方案一比方案二更好一些。對(duì)于問題(2)，充分考慮男性使用潔具的時(shí)間分布情況對(duì)方案一進(jìn)行改進(jìn)。建立了一個(gè)隨機(jī)規(guī)劃模型，以尋找最優(yōu)的為目標(biāo)函數(shù)，用水量和清潔度為約束條件，

2、通過模擬退火算法解得。改進(jìn)后的方案用水量為。而且采用隨機(jī)模擬的方法進(jìn)行驗(yàn)證并與方案一對(duì)比，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的方案在理論與實(shí)際方面都優(yōu)于方案一。 最后，就文中模型的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了分析，并指出模型的改進(jìn)方向使得在實(shí)際運(yùn)用中，得到令人滿意的效果。 關(guān)鍵詞:潔具流水時(shí)間 隨機(jī)優(yōu)化 微分求導(dǎo) 隨機(jī)模擬 模擬退火算法一、 問題重述1.1、 問題背景現(xiàn)在,水資源變得越來越匱乏,所以我們更應(yīng)該節(jié)約用水，保護(hù)水資源。據(jù)有關(guān)資料報(bào)道，我國(guó)目前生產(chǎn)的各類潔具消耗的能源（主要是指用水量）比其它發(fā)達(dá)國(guó)家的同類產(chǎn)品要高出60%以上。現(xiàn)有一家潔具生產(chǎn)廠家打算開發(fā)一種男性用的全自動(dòng)潔具，它的單位時(shí)間內(nèi)流水量為常數(shù)，為達(dá)到節(jié)能的目的，

3、現(xiàn)有以下兩個(gè)控制放水時(shí)間的設(shè)計(jì)方案供采用。方案一：使用者開始使用潔具時(shí)，受感應(yīng)潔具以均勻水流開始放水，持續(xù)時(shí)間為，然后自動(dòng)停止放水。若使用時(shí)間不超過秒，則只放水一次，否則，為保持清潔，在使用者離開后再放水一次，持續(xù)時(shí)間為10秒。方案二：使用者開始使用潔具時(shí)，受感應(yīng)潔具以均勻水流開始放水，持續(xù)時(shí)間為，然后自動(dòng)停止放水。若使用時(shí)間不超過秒，則只放水一次，否則，為保持清潔，到2時(shí)刻再開始第二次放水，持續(xù)時(shí)間也為。但若使用時(shí)間超過秒，則到時(shí)刻再開始第三次放水，持續(xù)時(shí)間也是在設(shè)計(jì)時(shí)，為了使?jié)嵕叩膲勖M可能延長(zhǎng)，一般希望對(duì)每位使用者放水次數(shù)不超過2次。該廠家隨機(jī)調(diào)查了100人次男性從開始使用到離開潔具為止

4、的時(shí)間(單位：秒)見下表：時(shí)間（秒）12131415161718人2、 需解決的問題（1） 請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，比較這兩種設(shè)計(jì)方案從節(jié)約能源的角度來看，哪一種更好？并為該廠家提供設(shè)計(jì)參數(shù)（秒）的最優(yōu)值，使這種潔具在相應(yīng)設(shè)計(jì)方案下能達(dá)到最大限度節(jié)約水、電的目的；（2） 從既能保持清潔又能節(jié)約能源出發(fā)，是否能提出更好的設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)通過建立數(shù)學(xué)模型與前面的方案進(jìn)行比較。二、 模型假設(shè)1.假設(shè)該廠家隨機(jī)調(diào)查的100人次男性使用潔具時(shí)間可反映現(xiàn)實(shí)情況；2.假設(shè)該潔具單位時(shí)間內(nèi)流水量為常數(shù)；3.使用者每次使用的時(shí)間服從正態(tài)分布；4.假設(shè)耗電量與用水量成正比；5.假設(shè)每個(gè)人使用該潔具是

5、相互獨(dú)立的，不受其他使用者的影響；6.假設(shè)該潔具的清潔度與沖水次數(shù)有關(guān)；三、 符號(hào)說明符號(hào)名稱符號(hào)含義沖水過程中單位時(shí)間流出的水量使用者每次使用潔具的時(shí)間方案中潔具設(shè)計(jì)的沖水時(shí)間參數(shù)每位使用者每次消耗的水量方案中平均每位使用者每次消耗的水量使用時(shí)間的期望使用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差使用時(shí)間的方差方案中的時(shí)間分界點(diǎn)（）使用完后的第二次沖水持續(xù)時(shí)間（問題二）四、 問題分析由假設(shè)耗油量與用水量成正比，我們將節(jié)約能源(水、電)的問題轉(zhuǎn)化為考慮總沖水量少的問題,因?yàn)閱挝粫r(shí)間的水流量為常數(shù),進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為沖水時(shí)間的問題。問題一要求比較出兩種方案中節(jié)約用水的方案及在兩種方案下各自的最優(yōu)時(shí)間參數(shù)。我們首先驗(yàn)證題目所給使用時(shí)

6、間服從正態(tài)分布，在此基礎(chǔ)上，寫出每位使用者消耗水量的概率分布，得出平均每位使用者的消耗水量表達(dá)式，對(duì)其求導(dǎo)，得出時(shí)間參數(shù)的最優(yōu)值，最少消耗水量，進(jìn)一步比較兩種方案。使用時(shí)間服從正態(tài)分布，產(chǎn)生其隨機(jī)數(shù)，并對(duì)這些隨機(jī)數(shù)統(tǒng)計(jì)，得出兩種方案在不同下各自的總沖水時(shí)間，據(jù)此分析比較兩種方案，并討論對(duì)該問題的影響。以上兩種方法進(jìn)行對(duì)比，可得出較為準(zhǔn)確、全面的解答。問題二中要求從既保持清潔又節(jié)約能源的角度出發(fā)設(shè)計(jì)出更好的方案。因?yàn)閱栴}一中得出結(jié)論：方案一優(yōu)于方案二，因此我們?cè)诜桨敢坏幕A(chǔ)上改進(jìn)得出更合理的潔具流水時(shí)間設(shè)計(jì)方案。對(duì)于方案一中有的使用者使用完后沖水時(shí)間過長(zhǎng)和有些使用者沖水次數(shù)為一次的問題，我們建立

7、模型設(shè)計(jì)新的（沖水時(shí)間設(shè)計(jì)參數(shù)、使用時(shí)間分界點(diǎn)、使用完后的第二次沖水時(shí)間），考慮節(jié)約用水和清潔因素（沖水兩次比沖水一次更清潔），以用水量小于方案一中的最少用水量，90%以上的人都可沖水兩次為約束條件，求解最優(yōu)的參數(shù)值，與方案一進(jìn)行比較。五、 模型的建立與求解5.1 問題一5.1.1 模型的準(zhǔn)備解決這個(gè)問題的關(guān)鍵之一是恰當(dāng)?shù)墓烙?jì)出每個(gè)人使用潔具時(shí)間的概率分布。有題目給定的數(shù)據(jù)作為原始樣本，然后用矩估計(jì)法估計(jì)出正態(tài)分布的參數(shù)為，在0.05的水平上通過了檢驗(yàn)（具體檢驗(yàn)結(jié)果見下表）。 表一 檢驗(yàn)（服從正態(tài)分布）(-,12.5)10.66.070.0008(12.5,13.5)55.47(13.5,14

8、.2)12 13.430.1523(14.2,15.9)60 58.230.0538(15.9,16.5)1312.950.0002(16.5,17.5)6 7.2 8.160.0865(17.5,)30.96合計(jì)1000.2935由上可知，每個(gè)人使用潔具時(shí)間的期望值，標(biāo)準(zhǔn)差，方差，所給數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。同時(shí)，我們對(duì)題目所給數(shù)據(jù)進(jìn)行繪圖，從圖中也可以看出使用者每次使用時(shí)間屬于正態(tài)分布。圖一 使用時(shí)間分布圖5.1.2 模型的建立與求解題目要求從節(jié)約能源的角度考慮，評(píng)價(jià)哪一種方案更合理。我們通過建立兩個(gè)模型來解答這一問題。模型一主要通過微元法方程列目標(biāo)函數(shù)，求解得出兩種方案下各自的沖水時(shí)間參數(shù)的最

9、優(yōu)值，在此基礎(chǔ)上，比較兩種方案的合理性；模型二通過產(chǎn)生服從正態(tài)分布的使用時(shí)間的隨機(jī)數(shù)，統(tǒng)計(jì)在不同的設(shè)計(jì)參數(shù)下總的沖水時(shí)間，依此來分析哪種方案更優(yōu)。（1） 模型一方案一：設(shè)上一個(gè)使用者與下一個(gè)使用者的使用時(shí)間間隔很大，不會(huì)影響下一使用者的正常使用過程。該潔具單位時(shí)間內(nèi)的流水量為常數(shù)，則每一使用者的使用沖水量計(jì)算如下:當(dāng)使用時(shí)間不超過時(shí)，放水一次，沖水量為；當(dāng)使用時(shí)間超過時(shí)，放水兩次，沖水量為。數(shù)學(xué)表達(dá)式如下： （1）因此，它的概率分布如下：其中，所以，有平均每位使用者每次消耗的水量為， （2）平均每位使用者每次所用沖水量越少，越節(jié)約能源，因而，以平均每位使用者每次消耗的水量為優(yōu)化目標(biāo)，令，可解得

10、實(shí)現(xiàn)沖水量最小的目標(biāo)下的最優(yōu)時(shí)間設(shè)計(jì)參數(shù)和最少?zèng)_水量，表達(dá)式如下：用matlab編程可計(jì)算出時(shí)間設(shè)計(jì)參數(shù)與平均每個(gè)人每次使用所消耗的水量的具體值為，。方案二：同方案一，先得出每位使用者每次消耗的水量，表達(dá)式如下： （3）因此，其概率分布如下：.其中，因?yàn)橐娱L(zhǎng)潔具使用壽命，設(shè)計(jì)要求一般放水次數(shù)不超過2次，所以主要計(jì)算前兩項(xiàng)，及后面的小到可忽略不計(jì)。以平均每位使用者每次消耗的水量為優(yōu)化目標(biāo)，令，可解得實(shí)現(xiàn)沖水量最小的目標(biāo)下的最優(yōu)時(shí)間設(shè)計(jì)參數(shù)和最少?zèng)_水量，具體結(jié)果為，。由以上分析計(jì)算可知，方案一的設(shè)計(jì)參數(shù)的最優(yōu)值為21.7秒；方案二的設(shè)計(jì)參數(shù)的最優(yōu)值為18.4秒，此時(shí)可使這種潔具在兩種方案下達(dá)到最

11、大限度的節(jié)約能源的目的。因?yàn)?，即方案一中的平均每位使用者每次消耗的水量少于方案二中的相?yīng)值，所以我們認(rèn)為從節(jié)約能源的角度來看，方案一更好一些。（2） 模型二由模型的準(zhǔn)備可知，該題所給的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，我們根據(jù)matlab編程隨機(jī)產(chǎn)生1000個(gè)隨機(jī)數(shù)，對(duì)這些隨機(jī)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得出不同設(shè)計(jì)參數(shù)下的兩個(gè)方案的總的沖水時(shí)間的關(guān)系，如下圖。圖二 總沖水時(shí)間與的關(guān)系圖由上圖我們可以看出，當(dāng)時(shí)間設(shè)計(jì)參數(shù)，方案一的總沖水時(shí)間小于方案二的，即方案一的沖水量較小，所以方案一更優(yōu)；當(dāng)時(shí)，方案一與方案二的總沖水時(shí)間相同，故此時(shí)兩種方案的效果一樣。為兩種方案確定最優(yōu)時(shí)間參數(shù)，如果從節(jié)約能源的角度考慮，是兩種方案的最優(yōu)值

12、，此時(shí)消耗的水量最少；如果從節(jié)約能源和清潔度的方面考慮，為兩種方案的最優(yōu)時(shí)間設(shè)計(jì)參數(shù)值。從模型二的結(jié)果來看，方案一中的最優(yōu)值22秒與模型一理論計(jì)算出的最優(yōu)值21秒相差不大，也從另一個(gè)方面驗(yàn)證了模型一的正確性。5.2 問題二 由問題一可知，方案一更優(yōu)于方案二，所以我們?cè)诟倪M(jìn)方案一的基礎(chǔ)上建立新的模型，使得達(dá)到既保持清潔又節(jié)約能源的目的。由模型的準(zhǔn)備可知，使用者使用時(shí)間服從正態(tài)分布，可算出使用時(shí)間小于18秒的概率為，即大部分人的使用時(shí)間在18秒以下。而方案一中還要繼續(xù)沖水13秒。這雖保證了清潔度但是不節(jié)約水。因此考慮重新設(shè)計(jì)沖水時(shí)間，建立如下模型： （4）其中表示該方案下的沖水時(shí)間參數(shù)，與相關(guān)的代

13、表使用時(shí)間設(shè)定的情況分界點(diǎn)（即當(dāng)使用時(shí)間小于或大于時(shí)是兩種沖水情況），表示超過時(shí)人離開后設(shè)定的沖水時(shí)間。（1）為用水量約束，（2）為清潔度約束，其他條件為非負(fù)數(shù)約束。由于本題中所求對(duì)象的特殊性，一般常規(guī)的方法是不能解決的。因此考慮采用模擬退火算法。 模擬退火算法中普遍采用的準(zhǔn)則為 （5）用模擬退火算法可以求解得到該模型的最優(yōu)值為：，此時(shí)用水量為。顯然改進(jìn)后的方案要優(yōu)于方案一的用水量。 上面是從理論上對(duì)改進(jìn)后的方案進(jìn)行了說明，現(xiàn)在采用隨機(jī)模擬的方法對(duì)改進(jìn)后的方案驗(yàn)證并與方案一進(jìn)行對(duì)比。采用隨機(jī)模擬的方法模擬100000次。得到的數(shù)據(jù)結(jié)果見下表：表二 模擬結(jié)果表 改進(jìn)方案方案一100000次累計(jì)時(shí)

14、間18999862295820100000次中沖兩次人數(shù)9999319285100000次中用時(shí)大于18s282295 從模擬結(jié)果來看：（1）在改進(jìn)的方案中，幾乎所有使用潔具的人沖水都沖了兩次而方案一中只有很少一部分沖水兩次。由前面的假設(shè)可知，相比較之下改進(jìn)方案的清潔度要優(yōu)于方案一的清潔度。（2）使用時(shí)間大于18s的人數(shù)是很少的一部分，前面理論也已經(jīng)說明從模擬結(jié)果上也能看出來。即使考慮這很少的一部分人使用潔具后的清潔度，此時(shí)改進(jìn)后的方案與方案一的清潔度是一樣的但是比方案一節(jié)約用水。所以改進(jìn)后的方案仍然優(yōu)于方案一。（3）兩種方案中平均每個(gè)人的使用時(shí)間與理論值是很符合的。表明模型是正確的且有一定實(shí)

15、際意義。 從上面可以得到改進(jìn)的新方案為：使用者開始使用潔具時(shí)，受感應(yīng)潔具以均勻水流開始放水，持續(xù)時(shí)間為17s，然后自動(dòng)停止放水。若使用時(shí)間不超過11s,則只放水一次，否則，為保持清潔，在使用者離開后在放水一次，持續(xù)時(shí)間為2秒。 六、 結(jié)果分析6.1、問題一由求解過程中模型一的結(jié)果可知，方案一與方案二在各自的最優(yōu)值情況下，方案一的平均每人每次消耗的水量較?。ǎ?，可看出，方案一較好；從模型二得出的結(jié)果可看出，當(dāng)時(shí)，方案一優(yōu)于方案二，與模型一的結(jié)果并不矛盾。對(duì)于設(shè)計(jì)最優(yōu)時(shí)間參數(shù)的問題，綜合兩個(gè)模型，是最優(yōu)值在只考慮節(jié)約能源的情況下，是在考慮節(jié)約能源和清潔度雙方面因素的情況下的最優(yōu)值。為廠家提供的最優(yōu)

16、參數(shù)值，因?yàn)樵趨?shù)為5s的時(shí)候，中間有一段使用過程（）是不沖水的，清潔度很低，因此，我們提供的最有參數(shù)值為后者。6.2、問題二將問題二中設(shè)計(jì)出的方案三與題目給定的方案一進(jìn)行對(duì)比。首先畫出在不同使用時(shí)間下兩個(gè)方案的沖水時(shí)間與沖水次數(shù)情況表：表三 關(guān)于問題二的方案比較表使用時(shí)間（秒）12131415161718方案一21/121/121/121/121/1(21+10)/2(21+10)/2方案三19/219/219/219/219/219/219/2從上表可看出，沖水時(shí)間與沖水次數(shù)的具體情況，如19/2表示總沖水時(shí)間為19s,2代表沖水次數(shù)為2次。分析數(shù)據(jù)可得：當(dāng)使用時(shí)間在時(shí)，方案三比方案一沖水

17、次數(shù)多一次，且總沖水時(shí)間接近；當(dāng)使用時(shí)間在時(shí)，兩個(gè)方案的沖水次數(shù)一樣，但方案一比方案三的總沖水時(shí)間多很多，浪費(fèi)水資源，而方案三的總沖水時(shí)間較小，節(jié)約能源，沖水次數(shù)為兩次，基本能解決清潔度的問題，且使用時(shí)間在的概率較小，所以，綜合考慮，得出的新方案更優(yōu)。七、 模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)7.1、優(yōu)點(diǎn)（1）本文采用檢驗(yàn)得出題目所給數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，具有可信度；（2）在解決問題一的過程中，運(yùn)用微分求導(dǎo)的方法得出最佳參數(shù)值，較好的解決了該問題，并得出較為準(zhǔn)確的結(jié)果；（3）我們?cè)诮獯饐栴}一時(shí)建立了兩個(gè)模型，其中模型二既回答了該問題，又是對(duì)模型一的檢驗(yàn)，使得解答結(jié)果更加全面、準(zhǔn)確；（4）在解答問題二時(shí)，考慮在模型一的

18、基礎(chǔ)之上，用模擬退火算法得出了滿足要求的新方案，較好的解決了該問題。7.2、缺點(diǎn)（1）在考慮問題二時(shí)，假設(shè)清潔度與沖水次數(shù)有關(guān)（2次比一次更清潔），但沒有將清潔度量化為一個(gè)具體值，考慮不是很全面；（2）每次產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)不一樣，導(dǎo)致結(jié)果有一定的誤差。7.3、模型的改進(jìn)（1）從節(jié)約用水的方面考慮，還可以采用從人使用開始后延遲幾秒再?zèng)_水的方案。（2）為了更精確的分析問題，我們可以定義清潔度，得出清潔度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，考慮污染物與沖水時(shí)間、沖水次數(shù)的關(guān)系，使得分析結(jié)果更符合實(shí)際。八、 參考文獻(xiàn)1 盛驟、謝式千、潘承毅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程m（第四版），高等教育出版社，2009.6。2 劉來福、曾文藝，

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