SARS傳播模型建立與仿真

1、SARS傳染病模型建立與預(yù)測張亞新 劉洪光 田香玉摘要通過對問題的分析，本文建立了SARS傳播的微分方程模型，即： ，其中N(t)表示t時刻的SARS病人數(shù)， s(t)表示t時刻的傳播率， r(t)表示表示t時刻的治愈率，d(t) 表示表示t時刻的死亡率。本文用s(t) 、r(t) 、d(t) 三個參數(shù)較好地描述了SARS的傳播過程。通過采集6月20號以前的數(shù)據(jù)，結(jié)合各個參數(shù)代表的實際意義，對他們分別進(jìn)行指數(shù)回歸分析，得到了s(t) 、r(t) 、d(t)的表達(dá)式，較好地刻劃了SARS的傳播規(guī)律，并對疫情作出了預(yù)測。本模型的優(yōu)點表現(xiàn)在：1、通過回歸分析的方法使離散的點連續(xù)化；2、用微分方程描述

2、SARS的傳播問題更加準(zhǔn)確。本文利用Matlab軟件，對復(fù)雜的微分方程進(jìn)行了求解。利用附件1提供的散點數(shù)據(jù)，得到了SARS病人數(shù)目隨時間變化的曲線預(yù)測圖。預(yù)測了在6月12日左右疫情將得到緩解，在7月中旬將基本消除。經(jīng)檢驗，我們的預(yù)測與實際情況是相吻合的。文中調(diào)整s(t) 、r(t) 、d(t)來對模型的結(jié)果進(jìn)行控制，畫出提前5天和推后5天進(jìn)行隔離時病人數(shù)和時間的曲線，其結(jié)果與實際情況是相符的。本文建立的微分方程模型能夠較好地對SARS的傳播過程進(jìn)行預(yù)測，并為政府部門提供決策依據(jù)，具有一定的普遍適用性。關(guān)鍵詞：SARS 微分方程模型 控制參數(shù) 檢驗預(yù)測SARS（Severe Acute Resp

3、iratory Syndrome，嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥, 俗稱：SARS型肺炎）是21世紀(jì)第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓(xùn)，認(rèn)識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。因此建立一個適合可靠的傳染病模型為SARS病毒的預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息源意義重大。一、模型的假設(shè)1.1 模型假設(shè):1將SARS所有可能的傳播途徑都視為與病源的直接接觸。2在模型的建立中所采用的數(shù)據(jù)都是根據(jù)衛(wèi)生部所公布的數(shù)據(jù)，假設(shè)這些數(shù)據(jù)真實可靠。3我們把整個人群看作由兩個系統(tǒng)組成，傳染系統(tǒng)和非傳染

4、系統(tǒng)。傳染系統(tǒng)完全由活著的SARS病人組成，且只有活著的SARS病人才具有傳染能力，該病人一旦治愈或一旦死亡我們就看作其退出傳染系統(tǒng)。所有的非SARS病人組成非傳染系統(tǒng)，其中每個成員都有可能被傳染成為SARS患者。4非傳染系統(tǒng)的成員一旦受傳染就立即進(jìn)入傳染系統(tǒng)（不考慮潛伏期），并被確診通報。5在相當(dāng)一段時間內(nèi)不會出現(xiàn)治療SARS的特效藥。1.2 符號規(guī)定1、 N(t) ：在t 時刻，具有傳染能力的SARS病人；2、 Nn：第n天, 具有傳染能力的SARS病人;3、 s(t)：在t時刻的傳染率，即在單位時間內(nèi)平均每個病人傳染的人數(shù)；4、 sn：第n天的傳染率，即在這一天平均每個病人傳染的人數(shù)；5

5、、 R(t) ：在t時刻，被治愈出院的病人數(shù)；6、 Rn：第n天，被治愈出院的病人數(shù)；7、 r(t)：在t時刻的治愈率，即 ；8、 D(t)：t時刻的死亡人數(shù)；9、 Dn ：第n天的死亡人數(shù)；10、d(t) :在 t時刻的死亡率，即 ；11、Q(t)：t時刻退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)（包括 t時刻死亡人數(shù)和治愈人數(shù)）,即： ；12、 q(t)：在 t時刻的退出率，即 ；二、模型的建立與求解在SARS爆發(fā)的初期, 由于潛伏期的存在, 社會對SARS病毒的傳播速度和危害程度認(rèn)識不夠, 所以政府和公眾并不以為然; 當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)被感染者不斷增加、死亡人數(shù)不斷增多時, 政府開始采取多種措施以控制SARS的進(jìn)一步蔓

6、延.所以SARS的傳播可以分為三個階段:（1）控制前的自然傳播模式階段。（2）過渡期階段，即公眾開始意識到SARS的嚴(yán)重性到政府采取隔離措施前的一段時間內(nèi)。（3）控制階段，即政府采取隔離治療措施階段。但是, 不管SARS傳播處于哪個階段，影響傳播最本質(zhì)的因素是: 自由傳染者的數(shù)量N(t), 傳播的概率s(t) 及病毒本身的傳播能力(用R(t) 和D(t) 來衡量)等。所以我們不分階段進(jìn)行考慮。第 n天的病人是在第 n-1天的基礎(chǔ)上加上新增的病人，減去退出傳染系統(tǒng)的病人，即：移項得 (1)經(jīng)過轉(zhuǎn)換，得取微分得到下面連續(xù)的方程即：由此得到SARS的傳播模型為：其中s(t) 、d(t) 、r(t)等

7、參數(shù)可以為我們提供所需要的信息。我們只要能夠知道s(t) 、d(t) 、r(t)的表達(dá)式，便可以求解微分方程得到N(t) 。我們根據(jù)附件1中6月20號以前的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到s(t) 、d(t) 、r(t)的走勢曲線，從而實現(xiàn)對N（t）的預(yù)測。2.1 對于s(t)-傳染率我們根據(jù)附件1市疫情的數(shù)據(jù)，根據(jù)（1）式對 s 進(jìn)行描點，得到一些s的散點圖。隨著時間的推移，隔離措施、醫(yī)療保障、公眾健康意識的加強，s 值應(yīng)該急劇減小，并趨近于0。因此對散點進(jìn)行指數(shù)回歸分析（利用Matlab軟件） ，便可得到 s關(guān)于時間 t的連續(xù)函數(shù)s（t）,如圖1所示.將附件1中的數(shù)據(jù)以excel表格的形式導(dǎo)入到matl

8、ab中并命名為sheet主程序為:N=sheet(:,1)-sheet(:,2)-sheet(:,3);for i=2:65D(i-1)=sheet(i,2)-sheet(i-1,2);O(i-1)=sheet(i,3)-sheet(i-1,3);end D=D;O=O;for i=1:64s(i)=(N(i+1)+D(i)+O(i)./N(i)-1;end s=s;cftool在Curve Fitting Tool窗口中選擇X data、Y data，進(jìn)行Exponential指數(shù)擬合繪圖如下：圖1 從圖中可以看出，擬合出的指數(shù)函數(shù)與散點數(shù)據(jù)基本吻合。根據(jù)新增死亡病例和新增治愈病例的數(shù)據(jù)，也

9、可以得到和r的散點圖。2.2 對于d(t) -死亡率隨著醫(yī)療水平的提高以及對SARS病毒研究的深入，死亡率將逐漸減少，我們對 的散點圖進(jìn)行指數(shù)回歸分析，即得d(t) （如圖2）。圖22.3 對于r(t) -治愈率在SARS疫情蔓延的初期，傳染系統(tǒng)的人數(shù)較少，由于人們對SARS病毒的了解不多，防危意識不強，導(dǎo)致疫情的爆發(fā)，傳染系統(tǒng)的人數(shù)急劇增加，治愈率呈現(xiàn)降低的趨勢；隨著政府的干預(yù)，人們防危意識的增強，治愈率開始增加。同樣我們對它進(jìn)行指數(shù)回歸分析得到如下結(jié)果（圖3）：圖3將得到的s(t) 、d(t) 、r(t)代入微分方程，得 我們利用matlab的微分方程數(shù)值求解命令ode45（），求得N(t

10、)的數(shù)值解，并畫出隨著時間變化的曲線（圖4）：Matlab求解命令為：建立M文件eq1.mfunction dN=eq1(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+0.*exp(0.08967*t)*N主程序：t,N=ode45(eq1,1 80,288);plot(t,N,r)圖4 三 模型結(jié)果的分析與檢驗3.1模型與實際情況作對比圖進(jìn)行分析圖5說明： Y軸表示SARS病人數(shù) ，紅色曲線表示我們得到的預(yù)測曲線；離散點表示實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)由預(yù)測曲線可以看出： 病情在5月12號左右達(dá)到“高潮期”，即圖中曲線上升最快到開始平緩的過渡時期；

11、 疫情大約在6月12號之后開始緩解。； 感染系統(tǒng)大概在x=70時將降到0，因此，我們預(yù)計SARS疫情將在7月中旬得到基本的消除，即疫情的“最終控制期”；實際情況是： 病情在5月15號達(dá)到最高峰，比模型中的結(jié)果晚到三天，誤差較小。值得注意的是，我們所要預(yù)測的是6月以后的發(fā)展趨勢，因此這里產(chǎn)生的誤差對預(yù)測不會造成太大影響。 疫情大約在6月12號之后開始緩解； 由圖上可以看出，在6月之后，預(yù)測曲線和實際離散點開始接近； 通過在網(wǎng)上查閱資料，可以知道在7月15日全國僅有15人SARS病人接受治療，可以認(rèn)為疫情已經(jīng)基本消除，和預(yù)測模型的結(jié)果相吻合。由以上對比我們知道，建立的微分方程模型較完整地刻劃了SA

12、RS病人數(shù)隨時間變化的趨勢，較好地解決了非典疫情的預(yù)測問題。3.2靈敏度分析通過查閱文獻(xiàn)知，治愈率的倒數(shù)為平均傳染周期，我們假設(shè)一旦進(jìn)行嚴(yán)格隔離，則傳染周期將減小。設(shè)提前天進(jìn)行嚴(yán)格隔離，則原模型修改為：當(dāng)時，分別代入相應(yīng)的參數(shù)求解得到兩條曲線，與時進(jìn)行比較.建立M文件eq1.mfunction dN=eq1(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+0.*exp(0.08967*t)*N;eq2.mfunction dN=eq2(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t

13、)+1/(1/(0.*exp(0.08967*t)+5)*N;eq3.mfunction dN=eq3(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+1/(1/(0.*exp(0.08967*t)-5)*N;主程序：x=1:1:65t,N1=ode45(eq1,1 80,288);t,N2=ode45(eq2,1 80,288);t,N3=ode45(eq3,1 56,288);%提前5天控制在matlab中積分區(qū)間只能取到56plot（t,N1,r,t,N2,g，t,N3,k,x,N,b.）圖6說明：黑色曲線表示提前5天進(jìn)行隔離；綠

14、色曲線表示延后5天進(jìn)行隔離由圖上可以看出按照我們提出的模型，提前采取嚴(yán)格的隔離措施l 能夠大大縮短傳染病的持續(xù)時間（大約能提前25天）；l 能提前進(jìn)入疫情控制期；l 能對疫情進(jìn)行有效地控制，這和實際情況也是完全吻合的。除了及時采取隔離措施以外，其他能夠縮短平均傳染周期的措施都能夠有效地提高治愈率。如：對抗病毒藥物的研究，建立緊急防疫機(jī)制，提高醫(yī)療軟、硬件水平等。通過以上兩個方面的分析，我們認(rèn)為我們的模型在刻劃SARS病毒的傳播方面具有較強的針對性，可為預(yù)防和控制SARS疫情提供可靠、足夠信息。3.3模型的評價3.3.1.模型的優(yōu)點a我們在模型建立的過程中，充分考慮到治愈和死亡這兩因素對SARS

15、病人數(shù)的的影響，引進(jìn)了治愈率r（t） 和死亡率d（t） ，使模型更加貼近實際。b在數(shù)據(jù)有限的情況下，我們根據(jù)分析參數(shù)應(yīng)有的變化規(guī)律，對數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)回歸分析，使離散的點連續(xù)化，建立了s、r、d關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式。 c利用s(t)、r(t)、d(t),我們利用求解微分方程的方法找到了N關(guān)于時間t的連續(xù)函數(shù)，使得SARS的傳播問題描述的更加準(zhǔn)確。在這里我們對模型中的做一些討論，作的實際散點圖如下圖7所示：圖7由于所以，畫出其曲線得如下圖8所示：圖8比較圖7和圖8，可以看出，盡管我們沒有對進(jìn)行回歸分析，但根據(jù)已求得的關(guān)系式，仍然可以如實地反映實際數(shù)據(jù)的變化情況。這說明模型是合理的。比較圖3和圖8，

16、還可以看出退出率的曲線和治愈率的曲線極其接近，這說明，在影響退出率的程度上，治愈率較之死亡率是占主導(dǎo)方面的，這說明在這場與SARS的斗爭中，我們必將取得最終的勝利！3.3.2 模型的缺點l 模型的假設(shè)沒有考慮潛伏期的因素，而SARS的潛伏期一般為兩周，這是影響模型準(zhǔn)確性的一個方面；l 沒有考慮人員流通程度對疫情發(fā)展趨勢的影響。參考文獻(xiàn)1遙感所課題攻關(guān)組，SARS傳播時空模型研究簡報，，2003.9.22。2/bbsshowdetailfull2.asp?id=70&sort=2，2003.9.22。3 國務(wù)院新聞辦公室，每日“非典”