三角形的內(nèi)角和證明

1、課題:6.5三角形內(nèi)角和定理的證明授課時(shí)間：2013年6月13星期四第二節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能目標(biāo)：學(xué)生由對(duì)三角內(nèi)角和定理感性認(rèn)識(shí)上升到理性推理證明，掌握三角形內(nèi)角和定理的證明及簡(jiǎn)單應(yīng)用。2、過程與方法目標(biāo)：學(xué)生親歷探索撕紙過程對(duì)比，體會(huì)思維實(shí)驗(yàn)和符號(hào)化的理性運(yùn)用，在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發(fā)展合情推理能力，逐步養(yǎng)成邏輯推理能力，并形成一定的邏輯思維能力。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理不同種方法的推理證明過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性，弘揚(yáng)個(gè)性發(fā)展，體驗(yàn)解決問題的成就感，體會(huì)數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性和推理意義，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感悟邏輯推理的數(shù)學(xué)價(jià)值。教材分析1、內(nèi)容分析三角形

2、內(nèi)角和定理是“空間與圖形”中的一個(gè)很重要的定理。(1)它為以后學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和定理奠定基礎(chǔ)。(2)實(shí)際生活、生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。(3)是求角度的有力工具（有時(shí)非它不可）。三角形內(nèi)角和定理的證明過程為學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想方法和邏輯推理能力提供一個(gè)發(fā)展提高平臺(tái)，其論證過程總體體現(xiàn)為化歸思想。學(xué)過之后，這種思想方法可以類比運(yùn)用到其它問題的探索與解決過程之中，其說(shuō)理過程將成為“普通語(yǔ)言向符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化”的可能，這一可能將隨時(shí)間的推移與知識(shí)的積攢成為現(xiàn)實(shí)。在證明過程中，學(xué)生從中學(xué)到的不僅僅是知識(shí)、方法及數(shù)學(xué)邏輯，他們克服困難的勇氣及對(duì)問題的好奇心和互相評(píng)價(jià)，學(xué)習(xí)方式的選擇等等方面都將大有收獲，說(shuō)明了本節(jié)教材內(nèi)

3、容對(duì)學(xué)生非智力因素的影響還是非常大的。 2、學(xué)情分析：（1）學(xué)生已經(jīng)在小學(xué)和七年級(jí)的時(shí)候接觸過三角形內(nèi)角和定理，并且進(jìn)行了猜想與驗(yàn)證及口頭說(shuō)理過程。這為證明三角形內(nèi)角和定理提供了認(rèn)知基礎(chǔ)。 （2）從學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與需要上看，他們有探究新事物的欲望和好奇心，這為探究三角形內(nèi)角和定理的證明策略及方法提供了情感保障。（3）學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理的證明過程中，其認(rèn)知順序可能是建構(gòu)型的。平行線是其原有知識(shí)儲(chǔ)備的主要圖式，他們利用原有圖式完全可以同化三角形內(nèi)角和定理。3、障礙預(yù)測(cè)： 輔助線的作法是學(xué)生在幾何證明過程中第一次接觸，并且輔助線的添法沒有統(tǒng)一的規(guī)律，要根據(jù)需要而定，另外本節(jié)課開始將訓(xùn)練學(xué)生把

4、幾何命題翻譯為幾何符號(hào)語(yǔ)言，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都有一定接受難度。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：以三角形內(nèi)角和定理的證明為載體，學(xué)習(xí)幾何證明思想，以及輔助線的有關(guān)知識(shí)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。難點(diǎn)：輔助線添加的必要性和具體方法：（1）為什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪種添加方法最簡(jiǎn)單。設(shè)計(jì)思路分析：三角形內(nèi)角和定理是學(xué)生接觸較早的定理之一，其內(nèi)容和應(yīng)用早已為學(xué)生所熟悉。因此，本節(jié)課需要重點(diǎn)解決的問題是定理的證明；在定理證明中，學(xué)生將首次接觸和應(yīng)用輔助線，于是，在證明中“為什么要添加輔助線”、“如何添加輔助線”就必然成為本節(jié)課的重點(diǎn)。本課基本定位在于，通過三角形內(nèi)角和定理證明的教學(xué)實(shí)踐、感受幾何證

5、明的思想，體會(huì)輔助線在幾何問題解決中的橋梁作用。同時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中的重要思想數(shù)形結(jié)合。借助“撕三角形紙片，拼接，驗(yàn)證三角形內(nèi)角和定理”的過程分析，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生初步體會(huì)輔助線及其在證明中的作用。最后，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)輔助線添加方法的多樣性，滲透“最優(yōu)化”思想。教學(xué)策略：1、學(xué)教方式：為真正落實(shí)學(xué)生的主體地位，教師只是教學(xué)過程的組織者、合作者、引導(dǎo)者，特確定了如下學(xué)教方式：學(xué)生自主探究、合作交流學(xué)習(xí)，教師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué)。2、教學(xué)支持：為促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，增大課堂容量，提高效率，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，本節(jié)課將采用多媒體演示教學(xué)。 教學(xué)過程（一）知識(shí)回顧，積累經(jīng)驗(yàn)1、平行線的判定：2、平行線的性質(zhì)

6、： 3、證明一個(gè)文字命題的一般步驟： （二）情景再現(xiàn)，導(dǎo)入新課問題1：我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180.你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過程嗎?（1）數(shù)的研究：對(duì)于三角形的內(nèi)角和是180這樣一個(gè)結(jié)論，啟發(fā)學(xué)生回想，我們?cè)谛W(xué)時(shí)是怎樣知道這個(gè)結(jié)論的。（通過量角器進(jìn)行角度的測(cè)量，這就是“數(shù)”的研究，量角器在這里起到橋的作用。） 問題2：通過前兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道通過觀察、度量、猜測(cè)得到的結(jié)論不一定是正確的，測(cè)量會(huì)產(chǎn)生誤差，問題解決得并不完美。這就促使我們?nèi)ふ倚碌难芯糠较蛐?。（體會(huì)證明的必要性） （2）形的研究：對(duì)于三角形的內(nèi)角和是180這樣一個(gè)結(jié)論，啟發(fā)學(xué)生回想，七年級(jí)下冊(cè)時(shí)是怎樣知道這個(gè)結(jié)論的。（

7、通過動(dòng)手操作拼圖，將分散的三個(gè)角“搬”到一起，從而構(gòu)成一個(gè)平角或兩角互補(bǔ)，為本節(jié)課引出輔助線做好鋪墊）命題三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180數(shù)度量三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)并求和等于180測(cè)量形三個(gè)角拼在一起（1）平角；（2）兩角互補(bǔ)證明【設(shè)計(jì)意圖】（1）鑒于學(xué)生對(duì)證明已有一定的認(rèn)識(shí)和了解，并且對(duì)三角形內(nèi)角和已經(jīng)有初步認(rèn)識(shí)，在教學(xué)過程設(shè)計(jì)上并沒有從學(xué)生身邊熟悉的事例創(chuàng)設(shè)情境，而是簡(jiǎn)單地對(duì)三角形內(nèi)角和的知識(shí)加以回憶。（2）學(xué)生以前所做的都是特殊的三角形，而且“量一量、拼一拼、折一折”受客觀因素的制約，影響了研究結(jié)果的準(zhǔn)確性，況且當(dāng)時(shí)有些學(xué)生量出內(nèi)角和的度數(shù)確實(shí)要高于或低于180。 （3）學(xué)生的懷疑是正常的，剪拼得

8、到的結(jié)論有一定的合理性，但還需證明來(lái)確認(rèn)，這正是我們這節(jié)課要解決的問題 教育學(xué)生研究問題要有一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。（三）活用化歸，證明定理根據(jù)前面給出的公理和定理,你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)說(shuō)這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用比較簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.結(jié)論： 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。師： 這是一個(gè)文字命題，證明時(shí)需要先干什么呢？生：需要先畫圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論寫出已知、求證。師：對(duì)，下面大家來(lái)證明，哪位同學(xué)上黑板給大家板演呢？ 已知: A、B、C 是ABC的三內(nèi)角. 求證:A+B+C=180分析:延長(zhǎng)BC到D,過點(diǎn)C作射線CEAB,這樣,就相當(dāng)于把A移到了ACE的位置,把B移到

9、了ECD的位置. 證明：延長(zhǎng)BC到D，過點(diǎn)C作直線CEABBECD（兩直線平行，同位角相等） ACE=A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ACE+ECD+ACB180ABACB180（等量代換）師：同學(xué)們寫得證明過程很好，在證明過程中，我們添畫了射線CE、CD，使處于原三角中不同位置的三個(gè)角，巧妙地拼湊到一起來(lái)了。為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。我們通過推理的過程，得證了命題：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180是真命題，這時(shí)稱它為定理。即：三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180?！驹O(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生有“公理化思想”，能運(yùn)用基本事實(shí)和定理證明問題

10、，有學(xué)會(huì)運(yùn)用舊知解決新知，從以前的活動(dòng)中思考獲取解決的方法，有合作學(xué)習(xí)的能力，有探究新知的能力。（四）開啟智慧，分組探究師：你還有其他方法來(lái)證明三角形內(nèi)角和定理嗎？在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí),小明的想法是把三個(gè)角“湊”到A處,他過點(diǎn)A作直線PQBC(如圖),他的想法可以嗎? 請(qǐng)你幫小明把想法化為實(shí)際行動(dòng) 證明:過點(diǎn)A作PQBC PAB=B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等) , QAC=C(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),BAC+B+C=180 (平角的定義),BAC+B+C=180 (等量代換).小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí),由此你受到什么啟發(fā)?你有新的證法嗎?1、教師組織學(xué)生分組討論：有了上面的知識(shí)作為鋪墊，我們

11、可以開展探究活動(dòng)了，看哪組最先找到解決辦法，找到的方法最多。2、在學(xué)生開展探究的過程中，教師參與其中，對(duì)個(gè)別感到困難的小組可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶崾竞鸵龑?dǎo)。3、教師指導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，給出完整的“三角形內(nèi)角和定理”的證明。4、分組探究，成果展示教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全班交流：（1）借助實(shí)物投影儀，將學(xué)生找到的添加輔助線的方法進(jìn)行匯總展示。（2）在展示過程中，注意關(guān)注學(xué)生的表達(dá)以及尋找到的添加輔助線的方法，若有不全的，教師進(jìn)行必要的提示。（3）引導(dǎo)學(xué)生將輔助線添加在三角形的頂部，邊上及三角形內(nèi)、外部均可。然后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生比較哪種最好?！驹O(shè)計(jì)意圖】1、讓學(xué)生在證明的過程中，進(jìn)一步了解三角形內(nèi)角和定理的證明思

12、路，并且了解一題的多種證法，從而拓寬學(xué)生的思路2、這里是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)，教師在這里要交代什么是輔助線，添加時(shí)要用虛線畫出；輔助線怎么來(lái)的在證明開始時(shí)要交代清楚，后添加的字母要在證明的開始前交代清楚；規(guī)范書寫格式是自上而下的；有條理的表達(dá)上面的分析思路，有一個(gè)嚴(yán)密的邏輯思維過程。3、三角形內(nèi)角和的證明實(shí)質(zhì)是利用化歸思想將三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為“平角等于180”或“兩直線平行同旁內(nèi)角和等于180這一點(diǎn)應(yīng)向?qū)W生交代清楚4、給學(xué)生充分的自我展示的機(jī)會(huì)，盡量發(fā)現(xiàn)更多的添加輔助線的方法。（五）實(shí)踐應(yīng)用，培養(yǎng)能力1、已知:如圖在ABC中，DEBC,A=60, C=70. 求證： ADE=502.、已知：如圖，

13、ABC中， B 和C的平分線BE，CF交點(diǎn)O.求證： BOC=90+A （六）知識(shí)回顧，拓展延伸， 如圖，利用幾何畫板，在ABC中，（1）如果BC不動(dòng)，把點(diǎn)A“壓”向BC，A就越來(lái)越大，而B與C的和越來(lái)越小，由此你能想到什么？(2)如果BC不動(dòng)，把點(diǎn)A“拉離”BC，A就越來(lái)越小，而B與C則越來(lái)越大，它們的和越來(lái)越接近180，由此你能想到什么？【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生利用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，滲透極限思想。（七）暢談收獲，反思升華本節(jié)課，我們證明了一個(gè)很有用的三角形內(nèi)角和定理。在三角形中，求角的大小可將被求角看作三角形的內(nèi)角來(lái)求。證明的基本思想是：借助輔助線將原三角形中處于不同位置的三個(gè)內(nèi)角集中在一起，拼成一個(gè)平角或兩個(gè)互補(bǔ)的角通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲? （八）課外作業(yè)，鞏固練習(xí)課外作業(yè)：課本P241習(xí)題6.6 1、2、3 板書設(shè)計(jì)：6.5三角形內(nèi)角和定理的證明 三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180。 證明:過點(diǎn)A作PQBC PAB=B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）QAC=C(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)BAC+B+C=180 (平角的定義)BAC+B+C=180 (等量代換).教學(xué)反思 三角形的有關(guān)知識(shí)是“空間與圖形”中最為核心、最為重要的內(nèi)容，它不僅是最基本的直線型平面圖形，而且?guī)缀跏茄芯克衅渌鼒D形的工具和基礎(chǔ).而三角形內(nèi)角和定理又是三角形中最為基礎(chǔ)的知識(shí)，也