概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章習(xí)題解答

1、文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持 10文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持 3、設(shè)在15只同類型零件中有 放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù), 解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù) X可能為0，1，2個(gè)。 P(X 1) c； C35 P(X 2) c2 c1 c2 c13 c3 c15 12 35 1 35 再列為下表 X：0， 1， 2 c22 12 1 35 35 35 第二章 隨機(jī)變量及其分布 1、解： 設(shè)公司賠付金額為 X，則X的可能值為； 投保一年內(nèi)因意外死亡：20萬(wàn)，概率為0.0002 投保一年內(nèi)因其他原因死亡：5萬(wàn)，概率為0.0010 投

2、保一年內(nèi)沒(méi)有死亡：0,概率為1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X的分布律為： 0 2 5 0 0 0 0 .0002 .0010 .9988 2、一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1、2、3、4、5,在其中同時(shí)取三只，以 X表示 取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律 解：X可以取值3，4，5，分布律為 也可列為下表 X：3，4， 5 丄2 _6 10,7q,7q 2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不 (1) 求X的分布律，(2)畫出分布律的圖形。 4、進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1 p(0pY)=P (X=1, Y= 0)+P (X=2

3、, Y= 0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y= 0)+ P (X=3) P (Y= 1)+ P (X=3) P (Y=2) =P (X=1) P (Y= 0) + P (X=2, Y= 0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y= 0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y= 2) = C30.6 (0.4)2(0.3)3 C3(0.6)20.4 (0.3)8 9、有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收 無(wú)次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5 件，僅當(dāng)5件中無(wú)

4、次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求 (1)這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率 (2 )需作第二次檢驗(yàn)的概率 (3) 這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率 (4) 這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過(guò)的概率 (5 )這批產(chǎn)品被接受的概率 解：X表示10件中次品的個(gè)數(shù)，Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故 XB ( 10, 0.1) , YB (5, 0.1)(近似服從) (1) P X=0=0.910 0.349 (2) P XW 2= P X=2+ P X=1= C1q0.120.98 c100.10.99 0.581 (3) P Y=0=0.9 5 0.

5、590 (4) P 0 XW 2, Y= 0(0XW 2與 Y=2 獨(dú)立) =P 0 XW 2P Y= 0 =0.581 X (5) P X=0+ P 0 XW 2, Y= 0 0.349+0.343=0.692 10、有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑 4杯，能將甲 種酒全部挑出來(lái)，算是試驗(yàn)成功一次。 (1 )某人隨機(jī)地去猜，問(wèn)他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？ (2)某人聲稱他通過(guò)品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試問(wèn)他 是猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力(設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。) 解：(1) P (一次成功)= 1 70 (2) P (連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次)=

6、%僉)3(霽7總0。此概率太小，按 實(shí)際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。 11. 盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過(guò)用圓規(guī)和直尺三等分一個(gè)任意角是不可能的。但 每年總有一些“發(fā)明者”撰寫關(guān)于用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章。設(shè)某地區(qū)每年撰寫此類文章的篇數(shù) X服從參數(shù)為6的泊松分布。求明年沒(méi)有此類文章的概率。 解： t 2 3 2 5 2 14、解：X (2t) 解：X 6.6 12. 一電話交換臺(tái)每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布。求（1）每分 鐘恰有8次呼喚的概率。（2）某一分鐘的呼喚次數(shù)大于 3的概率。 (1) P X 8 4849 ee r 8r!r 9N (2) PX 3 PX 40.56

7、6530 13.某一公安局在長(zhǎng)度為 t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù) X服從參數(shù)為 （1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）。 （1）求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒(méi)有收到緊急呼救的概率。 （2）求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次緊急呼救的概率。 X : 3 P X 0 e 0.2231 k 2.5 2.5 e P X 10.918 k 1 k! (1 )、 t 10分鐘時(shí)t 1小時(shí)， 6 (2 )、 02t 2t e2 P X 00.5故0.5 t 0.34657 (小時(shí)) 所以t 0.34657*60 20.79 （分鐘） 15、解: n 1000, p 0.0

8、001, np 0.1 16、解: :P X 2 1 P X 0 P X 1 0 1 0! 1 e 4H QQCO 0.0047 1 U. 9953 1! 17、解: k1 k 0,1，求X的 設(shè)X服從0:1分布，其分布率為 P X kpk 1 p ,k 分布函數(shù)，并作出其圖形。 解一： 0 1 X的分布函數(shù)為: 18.在區(qū)間0,a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn) 落在0,a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布函數(shù)。 解：當(dāng)X 0時(shí)。X x 是不可能事件， F X P X x 0 當(dāng)Ox a時(shí)， P 0 X x kx 而 0 X a 是必然事 件

9、貝 V F x P X x P X 0 P 0 X x x a 當(dāng)x a時(shí)，X x是必然事件, 有 F x P X x 1 (以分計(jì)) 19、以X表示某商店從早晨開始營(yíng)業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間 X的分布函數(shù)是 求下述概率： (1)P至多3分鐘 ；(2)P 至少4分鐘 ；( 3)P3分鐘至 (4)P至多3分鐘或至少4分鐘 ；( 5)P恰好2.5分鐘 解：(1) P至多 3 分鐘= P X 4) = 1 Fx (4) e . P3 分鐘至 4 分鐘之間= P 3X w 4= FX (4) FX (3) P至多3分鐘或至少 4分鐘= P至多 =1 P恰好 2.5 分鐘= P (X=2.5)=0

10、 1.2 1.2 1.6 e e 3分鐘+P至少4分鐘 e 1.6 20、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FX (x) 0,x In x,1 1,x 1, x e,， e. 求(1) P (X 2), P 0Xw 3, P (2X 52) ； (2)求概率密度 fx (x). 解: (1) P (Xw 2)=Fx (2)= ln2 , P (0XW 3)= Fx (3)- Fx (0)=1 , (2) f(x) F(x) 1 丄,1 x e, x 0,其它 21、設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度f(wàn) (x)為 (1) f (x) 21 x2 1 x 1 其它 x 0 x 1 (2) f(x) 2x1x2 0 其

11、他 求X的分布函數(shù)F (x),并作出(2)中的f (x)與F (x)的圖形。 解：(1)當(dāng)一1 w xw 1 時(shí)： 1 當(dāng) 1 1)。 解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為 5 因此 Y B(5,e2).即 P(Y k) e 2k(1 e2)5k,(k1,2,3,4,5 k P(Y 1) 1 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1(1 e 2)51(1 y)51(10.1353363)5 10.8677510.4833 0.5167. 2 25、設(shè)K在(0, 5)上服從均勻分布，求方程4x 4xK K 2 0有實(shí)根的概率 K的分布密度為：f(K) 其他 要方程有根，就是要 K滿足(4K)2

12、 -4X4X(K+2) 0。 解不等式，得K 2時(shí)，方程有實(shí)根。 P(K 2)2 f(x)dx 51dx 25 5 0dX 26、設(shè) XN (3.22) (1 )求 P (2XW 5), P (-4)2, P (X3) 若 X N2),貝 U P ( a 3 )=)衛(wèi)一$ 一 P (2XW 5) = $ (T(T =$ (1)-$ ( .5) =0.8413 0.3085=0.5328 P ( 42)=1 P (|X|2)= 1 P ( 2 P3)=1 P (X C )=P (X W C) P (X C )=1 P (XW C )= P (XW C) 得P (XW C )=丄=0.5 2 又P

13、 (XW C )= $0.5,查表可得0 C =3 2 2 2 27、某地區(qū)18歲的女青年的血壓(收縮區(qū)，以mm-Hg計(jì))服從N(110,12 )在 該地區(qū)任選一 18歲女青年，測(cè)量她的血壓 X。求 (1) P (XW 105) P (100 x) W 0.05. 解： (1) P(X 105) (105 110) (12 ) (0.4167)1(0.4167)10.66160.3384 28、由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度(cm)服從參數(shù)為卩=10.05 , t =0.06的正態(tài)分布。 規(guī)定長(zhǎng)度在范圍10.05 0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？ 設(shè)螺栓長(zhǎng)度為X PX 不屬于(10.

14、05 0.12, 10.05+0.12) =1 P (10.05 0.12X10.05+0.12) 文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持 (10.050.12) 10.05 006 (10.05 0.12) 10.05 0.06 =1 0 (2)-0 ( 2) =1 0.9772 0.0228 =0.0456 29、一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X (以小時(shí)計(jì))服從參數(shù)為口=160, 態(tài)分布，若要求 P (120 v XW 200= =0.80，允許最大為多少？ 200)=空心 120 160 40 (T 又對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有0 40 上式變?yōu)?T (x)=1 0 40 0.80

15、 解出 40 再查表, (T (T 便得： 40 (T 40 得 1.281 T CT (T (x) 0.9 (120 竺 0.80 T 徭 3125 T (未知)的正 Xw 30、 31、 32、 Q f (x) af (x) 解： 解： 解： 0,g(x) 0,0 a 1 (1 a)g(x) 0 af(x) (1 a)g(x) dx a f (x)dx (1 a) g(x)dx a (1 a) 1 所以af (x)(1 a)g(x)為概率密度函數(shù) 33、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為： X： 2, 1, 0, 1, 3 1 丄 11 P： 30 5 6 5 15 求Y=X 2的分布律 Y=X 2：

16、 ( 2)2 (1)2 (0)2 (1)2 p： 5 1 1 丄 11 6 5 15 30 再把X 2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為: Y：0 1 4 9 P：1 5 1 丄 1 11 6 15 5 30 34、設(shè)隨機(jī)變量 X 在( 0, 1) 上服從均勻分布 (1 )求Y=eX的分布密度 X的分布密度為：f(x) 00為其他1 又 X=h (Y)=lnY,反函數(shù)存在 且a= mi ng (0), g (1)= mi n(1, e)=1 maxg (0), g (1)= max(1, e)= e 1 y的分布密度為：心)fh(y)|h(y)| 1y 1 y e 0y為

17、其他 (2)求Y= 2lnX的概率密度。 / Y= g (X)= 2l nX 是單調(diào)減函數(shù) Y 又 X h(Y) e邁反函數(shù)存在。 且a= mi ng (0), g (1)= mi n(+ g, 0 )=0 3=maxg (0), g (1)= max (+ g, 0 )= + g 1 丄 1 丄 砧小左宀弄出fh(y) |h(y) | 1 丄e 2 丄0 y Y的分布密度為：収y) l I 2八22 0y為其他 35、設(shè) XN ( 0, 1) (1 )求Y=eX的概率密度 X的概率密度是f (x) 二1 e， x v2 n Y= g (X)=eX 是單調(diào)增函數(shù) 又 X= h (Y ) = l

18、nY反函數(shù)存在 且a= ming ( g ), g 什g)=min(0, + g)=0 3= maxg ( g), g 什 g )= max(0, + g )= + g Y的分布密度為： (2)求Y=2X2+1的概率密度。 在這里，Y=2X2+1在什g,g )不是單調(diào)函數(shù)，沒(méi)有一般的結(jié)論可用。 設(shè)Y的分布函數(shù)是Fy (y), 則Fy ( y)=P (Y y)=P (2X2+1 y) =P IT Tdx 當(dāng) y1 時(shí)，(y)= Fy ( y)= 1 y1 -2 e -2 = 1 =2J 冗(y 1) (3)求Y=| X |的概率密度。 Y 的分布函數(shù)為Fy ( y)=P (Y y )=P ( |

19、 X | y) x2 當(dāng) y0 時(shí)，F(xiàn)y ( y)=P (| X | y )=P ( y X0時(shí): (y)= Fy ( y)= y ,2n e Tdx 36、(1)設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x)，求Y = X 3的概率密度。 / Y=g (X )= X 3是X單調(diào)增函數(shù)， 1 又 X=h (Y ) =丫衣，反函數(shù)存在， 且 a= ming ( 8 ), g 什g )=min(0, + g)= 3= maxg ( g), g 什 g )= max(0, + g )= + g Y的分布密度為： 丄12 “ (y)= f h ( h ) | h ( y)| = f(y3) y 3, y ,但

20、y 0 (2)設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求 Y=X 2的概率密度。 法一： X的分布密度為：f (x) 當(dāng) x 0 時(shí) y=x2 當(dāng) x 0 時(shí) y=x2 Y=x2是非單調(diào)函數(shù) 反函數(shù)是x 丫fY (y) = f ( x 、y)( . y) 1 2丁 . y y fC. y)( . y) 1 e y , 2、y 法二：YFY(y) P(Y y) P( 、y X . y) x x 當(dāng) y 0 時(shí)，F(xiàn)y ( y)=0 16文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持 y 0. y 0. 丄e閃 丫fY (y) =2 - y 0 37、設(shè)X的概率密度為 求Y=sin X的概率密度。 v Fy ( y)=P (Y y) =P (si nX w y) 當(dāng) y 0 時(shí)：Fy ( y)=0 當(dāng) OW yV 1 時(shí)：Fy ( y) = P (sinXV y) = P (0VXV arc sin y 或 n- arc sin yWXW