整理)傳輸矩陣法.11頁

1、傳輸矩陣法一、 傳輸矩陣法概述1. 傳輸矩陣在介紹傳輸矩陣的模型之前，首先引入一個簡單的電路模型。如圖1(a)所示，在(a)中若已知A點電壓及電路電流，則我們只需要知道電阻R，便可求出B點電壓。傳輸矩陣具有和電阻相同的模型特性。AB (a)E0E1(b)圖1 傳輸矩陣模型及電路模擬模型如圖1(b)所示，有這樣的關(guān)系式存在：E0=M(z)E1。M(z)即為傳輸矩陣，它將介質(zhì)前后空間的電磁場聯(lián)系起來，這和電阻將A、B兩點的電勢聯(lián)系起來的實質(zhì)是相似的。 1 2 3 4 j N圖2 多層周期性交替排列介質(zhì)傳輸矩陣法多應(yīng)用于多層周期性交替排列介質(zhì)（如圖2所示）， M(z)反映的介質(zhì)前后空間電磁場之間的關(guān)

2、系，而其實質(zhì)是每層薄膜特征矩陣的乘積，若用表示第j層的特征矩陣，則有： （1）其中， （2）為相位厚度，有 （3）如公式（2）所示，的表示為一個22的矩陣形式，其中每個矩陣元都沒有任何實際物理意義，它只是一個計算結(jié)果，其推導過程將在第二部分給出。2. 傳輸矩陣法在了解了傳輸矩陣的基礎(chǔ)上，下面將介紹傳輸矩陣法的定義：傳輸矩陣法是將磁場在實空間的格點位置展開，將麥克斯韋方程組化成傳輸矩陣形式，變成本征值求解問題。 從其定義可以看出，傳輸矩陣法的實質(zhì)就是將麥克斯韋方程轉(zhuǎn)化為傳輸矩陣，也就是傳輸矩陣法的建模過程，具體如下：利用麥克斯韋方程組求解兩個緊鄰層面上的電場和磁場，從而可以得到傳輸矩陣，然后將單

3、層結(jié)論推廣到整個介質(zhì)空間，由此即可計算出整個多層介質(zhì)的透射系數(shù)和反射系數(shù)。傳輸矩陣法的特點：矩陣元少（4個），運算量小，速度快；關(guān)鍵：求解矩陣元；適用介質(zhì)：多層周期性交替排列介質(zhì)。二、 傳輸矩陣的基礎(chǔ)理論薄膜光學理論1.麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組由四個場量：D、E、B、H，兩個源量：J、以及反映它們之間關(guān)系的方程組成。而且由媒質(zhì)方程中的參數(shù)、反映介質(zhì)對電磁場的影響。方程組的實質(zhì)是描述電磁場的傳播，即：一個變化的磁場引起鄰近區(qū)域的電場變化，而此電場的變化又引起鄰近磁場的變化，如此進行下去，便可抽象出電磁場的傳播。如圖3 所示。 E H H E E H H E圖3 電磁場傳播的模擬圖將媒質(zhì)方程帶

4、入麥克斯韋方程組，并對方程組求解可得以下兩個重要結(jié)論：1) (4)式（4）中，N即為介質(zhì)的光學導納，單位為西門子。特別說明：光波段時， 約等于1，N數(shù)值上等于折射率。自由空間導納 。2) (5) (6)式（5）為電場的波動方程，與經(jīng)典波導方程（6）相比可得 ，通常把光速c和電磁波在介質(zhì)中速度之比定義為折射率，即得折射率公式： (7) 2.邊界條件及反射折射電磁波在介質(zhì)交界處滿足切向分量連續(xù)的邊界條件。垂直入射時，電場和磁場均與入射面垂直，則它們的切向分量既是本身。根據(jù)邊界條件可得： (8)式（8）中，上標為+的代表入射波，-表示反射波。又由導納定義式（4）可得： (9）(10) 將式（9）、（

5、10）代入（8）中，整理可得反射系數(shù)定義式：(11) r為反射系數(shù)，R為反射率。 透射系數(shù)原理相同，在此不再推導。上面討論的是垂直入射的情況，斜入射時情況類似，只是用修正導納、代替（11）中的、。其實，無論電磁波入射情況如何，電磁波只有兩種情況：一種是電場E平行入射面即TM波（P分量），此時電場的切向分量（為入射角），而磁場的切向分量是其本身，因此由（4）式可得： (12) 將（12）式與（4）式對比可得到P分量的修正導納，同理可得TE波（S分量）的修正導納：(13) 可得一般情況下的反射、透射系數(shù)表達式： (14)介質(zhì)的傳光特性可以由反射、透射系數(shù)所表征，而由以上討論可知，這兩個參數(shù)與導納緊

6、緊聯(lián)系。因此，求解介質(zhì)的傳光特性就可以轉(zhuǎn)換為求解導納問題，這也是傳輸矩陣法所解決的核心問題之一。其實，傳輸矩陣法就是通過求得介質(zhì)的導納，從而得到介質(zhì)的反射透射系數(shù)。3. 傳輸矩陣這一部分將應(yīng)用薄膜光學理論詳細推導介質(zhì)的傳輸矩陣，以及如何求得介質(zhì)導納，根據(jù)第一部分傳輸矩陣的介紹可以知道，它其實是每層特征矩陣的乘積，所以，這一部分的推導就從單層薄膜的特殊矩陣入手，進而推廣到整個介質(zhì)空間推導出介質(zhì)的傳輸矩陣。下面就詳細介紹單層薄膜的特殊矩陣。電磁波通過厚度為d的單層薄膜過程如圖4所示。圖4 電磁波通過單層薄膜 圖5 單層薄膜等效為介質(zhì)面的示意圖薄膜是存在一定厚度的，電磁波從透過薄膜變?yōu)榈倪^程，與簡單

7、的穿過介質(zhì)面相比多了個的中間變換，如果可以將和通過導納直接聯(lián)系起來，那么薄膜就可以等效為一個介質(zhì)面（如圖5所示），前面所介紹的反射透射公式便可用。因此，我們第一步完成從薄膜到介質(zhì)面的等效推導。令薄膜導納（介質(zhì)面1和介質(zhì)面2的組合導納）為Y，則可得到薄膜的透射反射系數(shù)：(15) 由式（15）可知，求得Y便可求得r、t。 由導納定義并對薄膜的第一介質(zhì)面應(yīng)用邊界連續(xù)條件可得：(16)(17)圖4中的、表示剛剛穿過介質(zhì)面一的瞬時狀態(tài)。、表示即將穿過介質(zhì)面二的瞬時狀態(tài)。這兩個瞬時狀態(tài)的唯一不同只是因為薄膜厚度引入的相位因子，即有：(18)將式（18）代入式（17）中可得式（19），并將其轉(zhuǎn)為矩陣形式（2

8、0）：(19)(20)同理，薄膜的第二介質(zhì)面有如下關(guān)系式：(21)(22)(23)式（20）、（23）分別表示介質(zhì)面一、二兩側(cè)空間電磁場之間的聯(lián)系，若將式（23）代入式（20）中相乘，則所得到的結(jié)果就表示整個薄膜兩側(cè)空間電磁場之間的聯(lián)系，即：(24)從式（24）中得到了第一層的特征矩陣：(25) (26)考慮到導納定義有如式（26）的關(guān)系，則可對式（24）進一步化簡：(27)令 為為膜系的特征方程，則有關(guān)系式：(28)對比式（24）等號左邊的形式，由導納定義可得整個單層薄膜的組合導納： (29)從而由式（15）可求得單層薄膜的反射、透射系數(shù)。至此完成了第一步，即從薄膜到介質(zhì)面的等效推導。將將單

9、層得到的結(jié)論推廣到整個介質(zhì)空間可得：(30)(31)(32)(33) (34)(35) 式（30）為介質(zhì)第j層的特征矩陣，需要注意的是特征矩陣的行列式值為1。由式（32）即可得到整個介質(zhì)的傳輸矩陣。 至此，完成了多層介質(zhì)傳輸矩陣的建模過程。 值得一提的是，在討論單層薄膜時，得到單層薄膜的反射率后，若對薄膜的光學厚度H(H=nd，n為薄膜折射率，d為薄膜實際厚度)求導，可得如圖6的結(jié)果。從結(jié)果中我們可以看出，在厚度為時，反射率根據(jù)折射率的不同可達到最大或最小值。圖6 反射率與光學厚度的關(guān)系三、 傳輸矩陣法的應(yīng)用舉例傳輸矩陣法的典型應(yīng)用是對多層周期性交替排列介質(zhì)的分析，具有這樣結(jié)構(gòu)的器件實例有：光

10、子晶體、光柵、量子阱結(jié)構(gòu)、DBR結(jié)構(gòu)器件等。 具體應(yīng)用過程請參見文獻傳輸矩陣法分析一維光子晶體的傳光特性。四、 小結(jié)（1）傳輸矩陣法概念：將麥克斯韋方程組轉(zhuǎn)換為傳輸矩陣的形式，應(yīng)用傳輸矩陣分析的計算方法。（2）傳輸矩陣：形式為每層特征矩陣的乘積。（3）典型應(yīng)用：多層周期性交替排列介質(zhì)。（4）解決問題：傳光特性（R、T）、場強度（E、H）。 注意：（3）、（4）共同決定傳輸矩陣法對所研究問題的適用性。（5）重要結(jié)論：導納N、折射率定義 ，光波段下，導納無意義，它就是折射率。（三）環(huán)境價值的定義（6）傳輸矩陣的推導（薄膜光學理論）是繁瑣的，但實際應(yīng)用中可忽略推導，直接應(yīng)用結(jié)論式（30）（35）。（

11、7）用傳輸矩陣法求解問題過程： 1）應(yīng)用已有結(jié)論式（30）（35）建立介質(zhì)模型并求解：新增加的六個內(nèi)容是：風險評價；公眾參與；總量控制；清潔生產(chǎn)和循環(huán)經(jīng)濟；水土保持；社會環(huán)境影響評價。2）建立實際問題的模型。3）模型整合。(8) 額外的結(jié)論：薄膜厚度選為的原因。3）選擇價值。選擇價值（OV）又稱期權(quán)價值。我們在利用環(huán)境資源的時候，并不希望它的功能很快消耗殆盡，也許會設(shè)想未來該資源的使用價值會更大。參考文獻（一）環(huán)境影響評價的概念1 唐晉發(fā)，鄭權(quán). 應(yīng)用薄膜光學. 上?？茖W技術(shù)出版社.1984: 1-51.一、環(huán)境影響評價的基礎(chǔ)2 賈習坤. 基于傳偷矩陣法對垂直腔半導體光放大器小信號增益特性的研究. 西南交通大學. 2002: 6-13（2）環(huán)境的非使用價值。環(huán)境的非使用價值（NUV）又稱內(nèi)在價值，相當于生態(tài)學家所認為的某種物品的內(nèi)在屬性，它與人們是否使用它沒有關(guān)系。3 匡萃方,張志峰.傳輸矩陣法分析一維光子晶體的傳光特性. 激光雜志. 2003, (24)4: 38-39.3）應(yīng)用污染物排放標準時，依據(jù)項目所屬行業(yè)、環(huán)境功能區(qū)、排放的污染物種類和環(huán)境影響評價文件的