《大學物理(上冊)》課件-第1章

第1章制圖基本知識與技能1.1制圖的基本規(guī)定1.2尺規(guī)繪圖的工具與使用1.3平面圖形畫法1.4尺規(guī)繪圖的方法與步驟 本章小結(jié)習題

1.1基本概念

1.1.1參考系所有物體都在不斷地運動，絕對靜止的物體是不存在的。然而從觀察者的角度來看，判斷物體的運動與否是相對的。

我們坐在火車上觀察行李架上的行李都是靜止的，但從地面上看，這些行李是以每小時幾十、幾百公里的速度在疾馳。因此，要準確描述物體的位置及運動狀態(tài)，必須先選擇一個參照物，選擇的參照物不同，對同一物體的運動描述也不相同。這里選擇的參照物叫做參考系。在描述物體的運動時，必須指明是相對于什么參考系而言的。例如，我們經(jīng)常描述物體相對于地面的運動，這時一般選取地面為參考系。地面參考系也稱為實驗室參考系。

要

定量地描述物體的運動，還需要在參考系的基礎(chǔ)上建立坐標系，如常用的直角坐標系、極坐標系等。我們用物體在坐標系中位置參數(shù)的變化來描述它的運動狀態(tài)。

1.1.2質(zhì)點

運動中的物體上的各個點的運動狀態(tài)是不完全一致的，并且物體的形狀大小及其變化對物體的運動也有一定的影響。但是在某些情況下，這些因素對于我們所要描述的運動的影響可以忽略不計，這時可以把物體看作是一個有質(zhì)量的點來簡化這個物理模型。

例如，研究子彈出膛后的運動時，子彈的實際運動是短距離內(nèi)向前方的直線運動和繞自身中軸線的旋轉(zhuǎn)，若要計算從出膛到命中目標這一段的時間及速度，則可以忽略子彈的形狀及自轉(zhuǎn)，把子彈看作是一個直線運動的質(zhì)點來處理。

一個物體能否被當做質(zhì)點，并不取決于它的實際大小，而是取決于研究問題的性質(zhì)。例如當研究地球繞太陽的公轉(zhuǎn)時可以將地球看作質(zhì)點來處理，而研究地球的自轉(zhuǎn)時，就不能把地球當做質(zhì)點。

1.2質(zhì)點運動學方程

1.2.1位置矢量若我們要描述飛機的運動，首先選擇地面為參考系，并把飛機視為質(zhì)點，記為P。為了定量的描述飛機的位置及位置隨時間的變化關(guān)系，在地面任選一點為參考點O并建立直角坐標系，如圖1.1所示。圖1.1

P點的位置矢量

由參考點O引向質(zhì)點P所在位置的矢量稱為質(zhì)點的位置矢量(簡稱為位矢)，用表示。r在直角坐標系Oxyz中的正交分解形式為：

(1-1)

其中x、y和z分別為r在坐標軸上的坐標，i、j和k分別為沿Ox軸、Oy軸和Oz軸上的單位矢量。矢量r的大小為

位置矢量r的方向余弦為：

且。其中分別為位置矢量r與Ox軸、Oy軸和Oz軸的夾角。

1.2.2運動學方程

在質(zhì)點運動的任意時刻，都有一位置矢量與之對應(yīng)，在任意時刻t，質(zhì)點P的位置矢量用函數(shù)r(t)表示，記為.

此式稱為質(zhì)點的運動學方程。它在直角坐標系中的正交分解形式為

x(t)、y(t)和z(t)分別為r(t)在Ox、Oy和Oz軸上的投影。

運動學的重要任務(wù)之一，就是找出各種具體運動所遵循的運動方程，也可以說知道運動方程，就可以解決該質(zhì)點的運動問題。

質(zhì)點運動時所描繪出的軌跡(即位置矢量的矢端所畫出的曲線)的軌跡方程可由在x(t)、

y(t

)和z(t)函數(shù)中消去參數(shù)t求得。

設(shè)一個質(zhì)點的運動方程為可知這個質(zhì)點是在Oxy平面內(nèi)運動，從

，中消去t得

此即質(zhì)點的軌跡方程。

1.2.3位移

設(shè)質(zhì)點沿如圖1.2所示的軌跡運行，在t時刻位于A點，位置矢量為r(t)，在時刻位于B點，位置矢量為。我們用這兩個矢量之差

來表示質(zhì)點在時間⊿t內(nèi)位置的變化，并把矢量⊿r稱為質(zhì)點在這段時間內(nèi)的位移。

位移⊿r在直角坐標系下的分解形式可寫為

兩式相減得：

此式表明位移可由位置坐標的增量決定。

圖1.2位移矢量

圖1.3平均速度

平均速度粗略地描述了質(zhì)點在一段時間內(nèi)位置總變動的方向和平均快慢，近似程度與所取時間間隔有關(guān)。顯然，⊿t越小，近似程度就越好。我們定義當⊿t→0時，平均速度的極限值稱為質(zhì)點在t時刻的瞬時速度(簡稱速度)，用v表示，即

上式表明質(zhì)點的瞬時速度等于位置矢量對時間的變化率或一階導數(shù)。在國際單位制中，速度單位為。瞬時速度是一個矢量，它的方向沿軌跡曲線在質(zhì)點所在處的切線并指向質(zhì)點前進的方向，其大小被稱為瞬時速率。

速度v在直角坐標系Oxyz下的正交分解形式可寫為

其中

即瞬時速度矢量的投影等于位置坐標對時間的一階導數(shù)。

瞬時速度的大小和方向余弦可表示為

瞬時速度和瞬時速率都與一定的時刻對應(yīng)，很難直接測量。在實驗中一般用很短時間內(nèi)的平均速度近似地表示瞬時速度，隨著技術(shù)的進步，現(xiàn)在瞬時速度的測量已經(jīng)能夠達到很高的精度。

【例1.1】一個質(zhì)點在x軸上作直線運動，運動方程為x=2t3+4t2+8，式中x的單位為米，t的單位為秒，求：①任意時刻的速度；②在t=2s和t=3s時刻，物體的位置和速度；③在t=2s到t=3s時間內(nèi)，物體的平均速度。

【解】①由速度的定義式，可求得

②t=2s時

t=3s時

③

【例1.2】如圖1.4所示，A、B兩物體由一長為l的剛性細桿相連，A、B兩物體可在光滑軌道上滑行。如物體A以恒定的速率v向左滑行，當時，物體B的速率為多少？

【解】建立坐標系如圖1.4所示，物體A的速度為

物體B的速度為

由于OAB為一直角三角形，剛性細桿的長度l為一常量，則有

由于x，y是時間的函數(shù)，則兩邊求導可得

圖1.4例1.2圖

圖1.5曲線運動的加速度

其中

在國際單位制中，加速度的單位為。加速度是矢量，它的大小為。加速度的方向為⊿t→0

時，速度增量⊿v的極限方向。加速度的方向一般不與同一時刻速度的方向一致，而是指向質(zhì)點軌跡曲線凹的一邊。

【例1.3】設(shè)某質(zhì)點沿x軸運動，在t=0時的速度為v0，其加速度與速度的大小成正比而方向相反，比例系數(shù)為k(k>0)，試求速度隨時間變化的關(guān)系式。

【解】由題意及加速度的定義式，可知

因而速度的方向保持不變，但速度的大小隨時間增大而減小，直到速度等于零為止。

1.3圓周運動

1.3.1平面極坐標系

θ在描述質(zhì)點的平面運動時，可在該平面建立極坐標系，如圖1.6所示。在參考系內(nèi)取點O，引有刻度的射線Ox作為極軸，即可構(gòu)成極坐標系。對于坐標系內(nèi)的點A，由O點引線段OA，長度為r，稱r為質(zhì)點的矢徑。由極軸Ox逆時針旋轉(zhuǎn)至OA的角度θ叫做質(zhì)點的幅角，通常規(guī)定自極軸逆時針旋轉(zhuǎn)至位置矢量的幅角為正，反之為負。

則A點的位置可由坐標確定，這種坐標系稱為平面極坐標系。質(zhì)點A在平面直角坐標系中的坐標(x,y)與在平面極坐標系中的坐標(r,

θ)之間的關(guān)系為：

1.3.2圓周運動的速度

一質(zhì)點在Oxy平面內(nèi)做圓周運動，如圖1.7所示，它和圓心的距離r為常數(shù)。如果以圓心為參考點O建立平面極坐標系，無論質(zhì)點運動到何處，它的坐標(r,

θ)中的r始終為常數(shù)，故我們只需考慮角坐標θ的變化，即只需考慮角坐標函數(shù)θ(t)

的變化。

圖1.7在平面上作圓周運動的點位置矢量

1.3.3圓周運動的加速度

如圖1.8所示，設(shè)質(zhì)點在圓周上運動到A點時的速度為v

，方向為沿A點的切線指向質(zhì)點的運動方向。在A點沿切線方向取單位矢量τ來表示速度的方向，則質(zhì)點在A點處的速度可表示為

單位矢量τ被稱為切向單位矢量，它是自然坐標系下的單位矢量，它的長度為1，方向為質(zhì)點運動曲線的切線方向。τ的方向隨質(zhì)點在軌跡上的位置不同而變化，因此，它一般不是一個恒矢量。

質(zhì)點作圓周運動時，它的運動方向是不斷變化的，而速率v也不是一個恒定值，對于加速度α有

可以看出加速度矢量α有兩個分矢量。先來討論第一項

它是由速率的變化引起的，方向為τ，即和速度的方向相同。定義為質(zhì)點的切向加速度，用來描述質(zhì)點速率的變化。

定義角速度隨時間的變化率為角加速度，用α表示。則有

角加速度的單位為。

此式即為作圓周運動物體的角加速度和切向加速度之間的關(guān)系。

我們再來討論式(1-12)第二項中的，即切向單位矢量τ隨時間的變化率。如圖1.9所示，質(zhì)點在t到t+⊿t的時間間隔內(nèi)，由A點運動到B點，在⊿t的時間間隔內(nèi)，的增量為⊿τ=τ(t+⊿t)-τ(t)

。圖1.9中τ(t+⊿t)與τ(t)的夾角⊿θ等于在⊿t的時間間隔內(nèi)質(zhì)點的位置矢量r所轉(zhuǎn)過的角度。在⊿θ→0

時，有

圖1.9切向單位矢量隨時間的變化率

這個加速度分量的方向沿圓周的法向方向，故叫做法向加速度，用符號ɑn表示。即

．

由和,可得作圓周運動質(zhì)點的加速度為：

其中切向加速度

ɑτ反映質(zhì)點速度大小變化的快慢，法向加速度ɑn反映速度方向變化的快慢。

根據(jù)矢量的加法法則，由圖1.10可知，ɑ的大小和方向分別為

根據(jù)圓周運動加速度的討論所得出的結(jié)果，對于一般的曲線運動仍然適用，只需把曲線微元看成一段圓弧，從而用曲率半徑代替圓的半徑來處理即可。

1.3.4勻速率圓周運動和勻變速率圓周運動

1.勻速率圓周運動

質(zhì)點作圓周運動時，如果在任意相等的時間內(nèi)通過相等的圓弧長度，則這種運動稱為勻速率圓周運動。此時，質(zhì)點的速率v為常量，方向沿該點的切線方向。其切向加速度ɑτ

=0，法向加速度

設(shè)t=0時，θ=

θ0，可得質(zhì)點作勻速率圓周運動時的運動規(guī)律為：

2.勻變速率圓周運動

質(zhì)點作勻變速率圓周運動時，其角加速度α=常量，故圓周上某點的切向加速度的值為常量，而法向加速度的值為，但不為常量。于是勻變速率圓周運動的加速度為

設(shè)t=0時，θ=

θ0，ω=

ω0，可得質(zhì)點作勻變速率圓周運動時的運動規(guī)律為：

圖1.11例1.4圖

1.4相對運動

前面提到，運動的描述是相對的，在不同的參考系中，對于同一質(zhì)點運動的描述是不同的。例如在一輛沿直線軌道勻速行駛的火車中垂直向上拋起一個小球，火車上的觀察者看到小球垂直上升并垂直下落，而位于地面的觀察者卻看到小球的軌跡為一拋物線。下面我們就來研究不同參考系對于同一質(zhì)點運動的描述之間的關(guān)系。

如圖1.12所示，設(shè)觀察者A在地面上，以地面為參考系S建立坐標系Oxy，另一觀察者位于運動的列車上，以列車為參考系S‘建立坐標系O’x‘y’，O‘點在Oxy中以速度u作勻速直線運動。在t=0時刻，坐標系Oxy與坐標系O'x'y'重合。

圖1.12相對運動

從圖1.12中可以看出：

上式對時間求導可得：

即

【例1.5】輪船駕駛艙中的羅盤指示船頭指向正北，船速計指出船速為20km/h。若水流向正東、流速為5km/h，問船對地的速度是多少？駕駛員需將船頭指向何方才能使船向正北航行？

【解】如圖1.13所示，以正東為x方向，正北為y方向建立坐標系。

圖1.13例1.15圖1

若要船對地的速度指向正北，則如圖1.14所示

其方向為北偏西θ′角

本章小結(jié)

本章重點是掌握位矢、位移、速度、加速度等物理量，并借助于各種坐標系計算各量。本章難點是運動學中各物理量的矢量性和相對性，以及將數(shù)學的微積分和矢量運算方法應(yīng)用于物理學。

1.質(zhì)點的位矢、位移

在直角坐標系中

質(zhì)點的運動方程——描述質(zhì)點運動的空間位置與時間的關(guān)系式

注意位移⊿r和路程⊿s的區(qū)別，一般情況下

2.速度和加速度

在直角坐標系中

3.圓周運動

4.相對運動

習題

一、思考題

1-1有人說:“分子很小，可以將其當成質(zhì)點；地球很大，不能當成質(zhì)點。”對嗎？

1-2質(zhì)點位置矢量方向不變，質(zhì)點是否作直線運動？質(zhì)點沿直線運動，其位置矢量是否一定方向不變？

1-3

若質(zhì)點的速度矢量的方向不變僅大小改變，質(zhì)點作何種運動？速度矢量的大小不變而方向改變作何種運動？

1-4“瞬時速度就是很短時間內(nèi)的平均速度”這一說法是否正確？如何正確表述瞬時速度？我們是否能按照瞬時速度的定義通過實驗測量瞬時速度？

1-5

如果一質(zhì)點的加速度與時間的關(guān)系是線性的，那么，該質(zhì)點的速度和位矢與時間的關(guān)系是否也是線性的呢？

1-8一質(zhì)點作勻速率圓周運動，取其圓心為坐標原點，試問：質(zhì)點的位矢與速度,位矢與加速度，速度與加速度的方向之間有何關(guān)系？

1-9

如果有兩個質(zhì)點分別以初速v10和v20拋出，v10和v20在同一平面內(nèi)且與水平面的夾角分別為θ10和θ2。有人說，在任意時刻，兩質(zhì)點的相對速度是一常量，你說對嗎?

二、選擇題

1-10一質(zhì)點在平面上運動，已知質(zhì)點位置矢量的表達式為r=at2i+bt2j(其中a、b為常量)，則該質(zhì)點作()。

A、勻速直線運動 B、變速直線運動

C、拋物線運動 D、一般曲線運動

1-11一質(zhì)點作直線運動，某時刻的瞬時速度為v=2m/s,瞬時加速度為a=-2m/s2,則一秒鐘后質(zhì)點的速度(

)。

A、等于零 B、等于-2m/s

C、等于2m/s

D、不能確定

．

1-15做直線運動的質(zhì)點具有的性質(zhì)是()。

A、位置矢量方向不變 B、法向加速度為0

C、加速度減小時，速度也減小

D、平均速度恒等于初速和末速的平均值

1-16乘坐在正以加速度a做勻加速上升的電梯里的人，不慎從手中落下一個重物，以豎直向下為正方向，則地面觀察者看到重物落到地板前的加速度是(

)。

A、g

B、-g

C、g+a

D、g-a

1-17若湖中有一小船，岸邊有一人用繩子跨過一定滑輪用恒定的速率v拉船靠岸，如圖1.15所示，則(

)。

A、船速大于v

B、船速小于v

C、船作勻速運動

D、從定滑輪到船頭的這段繩上各點速率均相等

圖1.15題1-17圖

三、計算題

1-18

質(zhì)點的運動學方程為

①

②

求質(zhì)點軌跡并用圖表示。

圖1.16題1-20圖

1-21一小圓柱體沿拋物線軌道運動，如圖1.17所示。拋物線軌道為(長度：mm)，第一次觀察到圓柱體在x=249mm處，經(jīng)過時間2ms后圓柱體移到x=234mm處。求圓柱體瞬時速度的近似值。

圖1.17題1-21圖

1-22已知質(zhì)點沿x軸作直線運動，其運動方程為x=2+6t2-2t3，式中x的單位為m，t的單位為s。求：(1)質(zhì)點在運動開始后4.0s內(nèi)的位移大??；(2)質(zhì)點在該時間內(nèi)所通過的路程；(3)

t=4s時質(zhì)點的速度和加速度。

1-23質(zhì)點沿直線運動，加速度a=4-t2,式中a的單位為m·s2

，t的單位為s。如果當t=3s時x=9m，v=2

m·s-1，求質(zhì)點的運動方程。

1-26一質(zhì)點P沿半徑R=3.0m的圓周作勻速率運動，運動一周所需要的時間為20.0s，設(shè)t=0時，質(zhì)點位于O點。按圖中所示Oxy坐標系，求：(1)質(zhì)點P在任意時刻的位矢；(2)5s時的速度和加速度。

圖1.18題1-26圖

1-27在水平桌面上放置A、B兩物體，用一根不可伸長的繩索按圖1.19所示的裝置把它們聯(lián)結(jié)起來，C點與桌面固定。已知物體A的加速度。求物體B的加速度。

圖1.19題1-27圖

1-28在同一鉛直線上相隔h的兩點以同樣速率v0向上拋兩枚石子，但在高處的石子早t0秒被拋出，求這兩枚石子何時何處相遇？

1-29一質(zhì)點沿半徑為R的圓周按規(guī)律而運動，

v0，b都是常量。(1)求t時刻質(zhì)點的總加速度；(2)

t為何值時總加速度在數(shù)值上等于？(3)當加速度達到時，質(zhì)點已沿圓周運動了多少圈？

1-30在同一豎直面內(nèi)的同一水平線上A、B兩點，分別以30o、60o為發(fā)射角同時拋出兩球，如圖1.20所示，欲使兩小球相遇時都在自己的軌道的最高點，求A、B兩點間的距離。已知小球在A點的發(fā)射速度vA=9.8m/s。

圖1.20題1-30圖

1-31迫擊炮的發(fā)射角為60°，發(fā)射速率為150m/s，炮彈擊中傾角為30°的山坡上的目標，發(fā)射點正在山腳，如圖1.21所示，求彈著點到發(fā)射點的距離OA。

圖1.21題1-31圖

1-32列車在圓弧形軌道上自東轉(zhuǎn)向北行駛，如圖1.22所示。在我們所