楊宇軒——剛體轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的的求解方法及其應(yīng)用的研究

1、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的的求解方法及其應(yīng)用的研究楊宇軒南漳縣第二中學(xué)（ 湖北 襄陽 441100 ）摘要 ：對(duì)剛體平面運(yùn)動(dòng)過程的簡(jiǎn)化作了說明，給出了確定速度瞬心及加速度瞬心 位置的方法，并證明了加速度瞬心存在性和唯一性， 本文在闡述瞬心問題的同時(shí)， 通過實(shí)例介紹了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)速度瞬心及加速度瞬心的在實(shí)際問題中的應(yīng)用。 并通過 maple 編程對(duì)實(shí)例進(jìn)行解析， 由于瞬心是剛體平面平行運(yùn)動(dòng)中很特殊的點(diǎn) ,因此在 有些問題中應(yīng)用對(duì)瞬心的動(dòng)量矩定理能使問題更加簡(jiǎn)潔 ,也能增加對(duì)其他點(diǎn)的動(dòng) 量矩定理的理解。關(guān)鍵字 ：剛體 速度瞬心 加速度瞬心 平面運(yùn)動(dòng) maple0 引言任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離不因力的作用而發(fā)生改變，

2、這種特殊的質(zhì)點(diǎn)組叫做剛體。 做平面運(yùn)動(dòng)的剛體薄片的角速度不為零時(shí)， 在任一時(shí)刻， 薄片上恒有一點(diǎn)的速度為零， 這個(gè) 點(diǎn)叫轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心 1。當(dāng)薄片運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心也會(huì)不斷地改變位置，瞬心C 在平面 O-XY上所描繪的軌跡叫做空間極跡，在 A-XY平面上的軌跡叫做本體極跡。在任一瞬時(shí)，空間極跡與 本體極跡的公共切點(diǎn) C，是該時(shí)刻轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。教科書周衍柏理論力學(xué)第三版第146 頁，所述的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心， 也就是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的速度瞬心， 由速度瞬心類推得到， 剛體平面運(yùn)動(dòng)任一瞬 時(shí),加速度為零的點(diǎn)稱為加速度瞬心。速度瞬心與加速度瞬心不是同一點(diǎn)，一般不重合。瞬心的一大特點(diǎn)就是瞬時(shí)性。 這是因?yàn)樵诳臻g坐標(biāo)系中瞬心的位置

3、（坐標(biāo)） 是時(shí)刻移 動(dòng)的，在固連在剛體上的坐標(biāo)系中順心的位置（坐標(biāo)）也是時(shí)刻變化的。 利用瞬心求解物理基本運(yùn)動(dòng)物理量就顯得很方便， 再利用瞬心法求解物理問題中， 找出瞬心 位置就顯得尤其重要， 得到剛體瞬心的位置 ,很容易確定剛體上其它各點(diǎn)的速度及其角速度。除了速度瞬心 ,還有加速度瞬心 ,在我們所學(xué)的理論力學(xué)及相關(guān)的資料中都很少提及、 闡述家速度瞬心 ,一般原因大致有兩點(diǎn) :其一是教學(xué)大綱中對(duì)加速度瞬心的內(nèi)容沒有任何要求 其二是加速度瞬心一般難以確定。但在某些特殊條件下,加速度瞬心是較容易確定的 ,確定后容易求出其它點(diǎn)的加速度及角加速度,從而使一些問題得以簡(jiǎn)化。文中對(duì)速度瞬心和加速度瞬心進(jìn)行

4、了分析 ,并用實(shí)例說明其應(yīng)用。 2教科書中對(duì)瞬心的應(yīng)用一般常見于在運(yùn)動(dòng)學(xué)中確定瞬心后求其它點(diǎn)的速度、角速度、 加速度或角加速度 ,在動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用很少提及。但由于瞬心是剛體平面平行運(yùn)動(dòng)中很特殊 的點(diǎn) ,在有些問題中應(yīng)用對(duì)瞬心的動(dòng)量矩定理能使問題更加簡(jiǎn)潔,也能增加對(duì)其他點(diǎn)的動(dòng)量矩定理的理解。1 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的概念轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心是作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛休的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心， 其速度為零， 因此可認(rèn)為剛體的平面平 行運(yùn)動(dòng)是一種以轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸 （通過瞬心，且垂直于剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面的直線）為軸的瞬時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由此可知 : 轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心只對(duì)作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體而言，對(duì)曲線無意義。 轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心只能反應(yīng)剛體上任一點(diǎn)的

5、速度， 它只反應(yīng)該點(diǎn)一點(diǎn)的情況， 所以它不能反應(yīng)剛體上 該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡在某處的彎曲程度。曲率中心概念曲率某處的曲率 k d 式中， ds 為曲線在該處的孤微分，為 x 軸正向與曲線切線的夾角， 的正轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針， k反應(yīng)了曲線該處的彎曲程度， k 大，彎曲程度大 轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的確定 作平面運(yùn)動(dòng)的剛體的角速度不為零的時(shí)候，在任意的時(shí)刻上的橫有一點(diǎn)的速度為零，叫 做轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，其相對(duì)于 o xy 的坐標(biāo)可令式中的 vxvy 等于零而求的，即v AyvAxxc xoyc yo而轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心相對(duì)于A XY 的坐標(biāo)，則可令 vxvy 等于零則vaxycax ，如果 =0，則無轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，或者說轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心在無窮遠(yuǎn)。只要轉(zhuǎn)

6、動(dòng)瞬心 c 為已知，就很難推出薄片此時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)狀況，如果取c為基點(diǎn)，則 c 在此時(shí)刻的速度為零，故此時(shí)的按照 c 轉(zhuǎn)動(dòng)，我們可以用幾何法來求出轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的位置。過點(diǎn)A,B 做兩條直線分別垂直倆個(gè)速度，則此時(shí)的焦點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心在靜系中的 軌跡為空間軌跡，在動(dòng)系中的軌跡為本體軌跡。3 轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心聯(lián)系速度瞬心平面運(yùn)動(dòng)剛體任一瞬時(shí) ,速度為零的點(diǎn)稱為速度瞬心 ,記作 C。由速度基點(diǎn)法 ,已知某瞬時(shí)剛 體的角速度 基點(diǎn) A速度 va ，分析 c點(diǎn)：vc v arac由于速度瞬心的瞬時(shí)速度為零 ,因而剛體的平面運(yùn)動(dòng)可看成是連續(xù)繞速度瞬心的純轉(zhuǎn)動(dòng),速度瞬心與任一點(diǎn)速度矢量的連線必與此點(diǎn)的速度方向垂直，

7、 這樣就可以用幾何法找出剛體 平面運(yùn)動(dòng)的速度瞬心已知平面圖形上任兩點(diǎn)的速度方向， 則分別作其速度垂線， 相交點(diǎn)即速 度瞬心則將二速度矢量的箭頭與箭頭、箭尾與箭尾相連,交點(diǎn)即速度瞬心。在剛體的平面運(yùn)動(dòng)中 ,除了以上三種速度類型 ,中我們可以用速度瞬心的特點(diǎn)或速度投影法等來進(jìn)行分析。（兩速度矢量同向且大小相等 ,但其速度垂線不在一條線上 ,若是這樣的話 ,相當(dāng)于其速度瞬心在 無窮遠(yuǎn) ,此時(shí)剛體實(shí)際做的是平動(dòng) ,并不是平面運(yùn)動(dòng)。 對(duì)兩速度矢量同向不等大小 ,且其速度垂 線不在一直線上 ,這種情況也是不可能的。4 剛體對(duì)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程正確的剛體繞瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程d dRi ri Fi + Pdt i i

8、 dt,而不是轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心所在空間位置對(duì)時(shí)間的變化率為零設(shè)在時(shí)間 dt 內(nèi) ,剛體轉(zhuǎn)過一微小角式中 p=mivi,IO為對(duì)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ,R 為瞬心的位矢 .同時(shí)指出了上述錯(cuò)誤證明的根源 :“剛 體轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的速度為零 ,是指某時(shí)刻剛 體上 (或其延展 )某點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為零 因此 dR/dt 一般不為零d,所有外力的元功為其中 LP 為所有外力對(duì)瞬時(shí)軸的矩 注意到 IP=I+ 2M(為瞬心 P 到質(zhì)心的距離 ) W=LPd.按動(dòng)能定理 ,得 dT=W即 12d(IP. 2)=LPd對(duì)于剛體平面轉(zhuǎn)動(dòng)問題，我們一般要對(duì)平面運(yùn)動(dòng)的進(jìn)行簡(jiǎn)化。剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn) 化為平面圖形 S 在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。 平

9、面運(yùn)動(dòng)又能分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)， 為了確定代表平 面運(yùn)動(dòng)剛體的平面圖形的位置， 我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置 平面運(yùn)動(dòng)方 程xA f1(t) yA f2(t)f3(t) 。剛體平面運(yùn)動(dòng)可以看成是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。當(dāng)選取好適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)作為基點(diǎn)， 剛體平面運(yùn)動(dòng)即可簡(jiǎn)化為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。 剛體定 軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面平動(dòng)是剛體平面運(yùn)動(dòng)的特例。平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律與基點(diǎn)選取 無關(guān)， 瞬心問題的提出， 在某一瞬時(shí)必唯一存在一點(diǎn)速度等于零， 該點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬 時(shí)的瞬時(shí)速度中心， 簡(jiǎn)稱瞬心 瞬心位置隨時(shí)間改變。 每一瞬時(shí)平面圖形的運(yùn)動(dòng)可視為繞該

10、瞬時(shí)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)這種瞬時(shí)繞瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)不同。 =0, 瞬心位于無窮遠(yuǎn)處 , 各點(diǎn) 速度相同 , 剛體作瞬時(shí)平動(dòng) , 瞬時(shí)平動(dòng)與平動(dòng)不同在理解瞬心及用瞬心法求解物理問題時(shí)應(yīng)該注意：瞬心在平面圖形上的位置不是固定 的，而是隨時(shí)間不斷變化的。在任一瞬時(shí)是唯一存在的。瞬心處的速度為零 , 加速度不一定 為零。 剛體作瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)，雖然各點(diǎn)的速度相同， 但各點(diǎn)的加速度是不一定相同的。不同于 剛體平動(dòng)。2 剛體平面運(yùn)動(dòng)加速度瞬心的存在性及唯一性加速度瞬心的存在性證明：如圖 1 剛體以角速度 、角加速度 做平面運(yùn)動(dòng)，若已知點(diǎn) A 的加速度 aA，設(shè)剛體上的 B點(diǎn)是加速度瞬心， B點(diǎn)到 A點(diǎn)的距離為 ，由

11、剛體的平面運(yùn) 動(dòng)的加速度基點(diǎn)法可以得到：aBA42有向線段 AB與 A點(diǎn)加速度 aA 的夾角 為：通過分析： 過 A 點(diǎn)做方向?yàn)?A 點(diǎn)加速度 aA 順著旋轉(zhuǎn) 角的射線， 在射線上量取得到的點(diǎn) B 就是剛體做平面運(yùn)動(dòng)的瞬心。加速度瞬心的唯一性證明：如圖 2 剛體以角速度 、角加速度 做平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)剛體上的 A 點(diǎn)是加 速度瞬心，設(shè)剛體上距離 A點(diǎn)到 B點(diǎn)的距離為 的 B點(diǎn)也是加速度瞬心，即 aB=0； 由剛體的平面運(yùn)動(dòng)的加速度基點(diǎn)法可以得到：將 帶入到 中：即 =0； 這就證明了 AB 兩點(diǎn)重合，剛體平面運(yùn)動(dòng)僅有一個(gè)加速度瞬心；圖 1 圖 2由此我們可以得知：加速度瞬心與速度瞬心一樣，確定存在

12、并且唯一。3 對(duì)瞬心及在特殊條件加速度瞬心的動(dòng)量矩定理的理解平面運(yùn)動(dòng)剛體任一瞬時(shí) ,加速度為零的點(diǎn)稱為加速度瞬心 ,例如均質(zhì)圓盤在平 面或斜面上做純滾動(dòng)的問題 ,在這種情況下 ,對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理可表述為 剛體對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的微商等于作用在剛體上諸外力對(duì)速度瞬心的 力矩的矢量和 ,數(shù)學(xué)表達(dá)式為 :dJc/dt=M 速度瞬心與加速度瞬心一般不重合。對(duì)加速度瞬心 ,只有在幾種特殊情況下才比 較好確定 ,但在這些特殊情況下確定后能使一些問題解決起來得到簡(jiǎn)化。在一些特殊情況中，例如均質(zhì)圓盤在平面或斜面上做純滾動(dòng)的問題,對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理可表述為 :剛體對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的微商等

13、于作用在 剛體上諸外力對(duì)速度瞬心的力矩的矢量和 ,數(shù)學(xué)表達(dá)式為 :dJ/dt=Me，其成立條件 為剛體平面純滾動(dòng)問題。實(shí)際上 ,上述式子在只要當(dāng)平面運(yùn)動(dòng)剛體的質(zhì)心與速度 瞬心的距離保持不變得情況下都是成立的。又由角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系,上式可進(jìn)一步寫成 :dJ/dt=I*a=M e （I 為剛體相對(duì)速度瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ），運(yùn)用對(duì)瞬心的 角動(dòng)量定理可以簡(jiǎn)化計(jì)算， 在例題四的解析中體現(xiàn)出對(duì)瞬心的角動(dòng)量定理將使問 題變得簡(jiǎn)潔。3 確定速度瞬心與加速度位置的方法圖示法確定速度瞬心 由于速度瞬心的瞬時(shí)速度為零 ,因而剛體的平面運(yùn)動(dòng)可看成是連續(xù)繞速度瞬心的 純轉(zhuǎn)動(dòng) ,速度瞬心與任一點(diǎn)速度矢量的連線必與此點(diǎn)

14、的速度方向垂直。這樣就可 以用幾何法找出剛體平面運(yùn)動(dòng)的速度瞬心。如圖 1圖 6 用途是的方法找出瞬心位置瞬心 C*1 已知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度及剛體上任一點(diǎn)的絕對(duì)速度。如圖 1 ，瞬心 C*2 已知兩點(diǎn)的速度，且彼此不平行。如圖 2 ，瞬心 C*3 已知速度方向垂直于同一條直線的兩點(diǎn)的速度。如圖 3 ，瞬心 C*4 已知?jiǎng)傮w做瞬時(shí)平動(dòng)。如圖 5 ，瞬心 C*5 已知兩速度平行且方向相反。如圖 4 ，瞬心 C*6 已知滾動(dòng)的輪子，其與地面的接觸點(diǎn)。如圖6，瞬心 C*圖示法確定加速度瞬心1，已知?jiǎng)傮w內(nèi)兩點(diǎn)的加速度（加速度方向不平行）如圖1，瞬心 C2，已知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度 大小和方向和角速度 ，及剛

15、體上任一點(diǎn)的加速 度大小和方向，如圖 2 瞬心 C3，若已知純滾動(dòng)的圓盤的角加速度 的大小及方向，及角速度 的大小，如圖 3，瞬心 C圖 1 圖2圖34 速度瞬心法及對(duì)瞬心動(dòng)量矩定理若取基角加速剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)可以分解為剛體隨基點(diǎn)的平動(dòng)及剛體繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。 點(diǎn)為瞬心， 則剛體在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)就變成了繞瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)。 由于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度、 度等轉(zhuǎn)動(dòng)量與基點(diǎn)的選取無關(guān)，所以只要求出了瞬心的位置就可以求出剛體上任一點(diǎn)的速 r r r 度，解： r圖研究分析 AB ，已知的方向，因此可確定出P 點(diǎn)為速度瞬心如圖所示因?yàn)?v A l ， AP l 得ABvAAP； 所以：v B BP AB 2 l

16、剛體平面平行運(yùn)動(dòng)中有些問題用瞬心法求解速度更為便利。如下面的例子B 以勻速例題：設(shè)橢圓規(guī)尺 AB的端點(diǎn) A和 B沿直線導(dǎo)槽 Ox及Oy滑動(dòng)如（圖）所示，而度 c 運(yùn)動(dòng) .求橢圓規(guī)尺上 M 點(diǎn)的速度。設(shè) MA a,MB b, OBA 。已知橢圓規(guī)尺 AB 兩端點(diǎn)的速度方向， 故過 A及 B作兩直線分別與 vA 及 vB 垂直，此兩直線相交于 C ，故 C 為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。B點(diǎn)速度的量值為 c ， 由 圖3知vBca b sin（ 為 AB 的角速度）c1ab sin根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的定義，知vMMC2222a sinb cosc a 2b2 cot 2ab理論力學(xué)教科書中有一些例子可以說明運(yùn)用瞬心求解，

17、可以使得問題簡(jiǎn)化 例如求解沿直線軌道作純滾動(dòng)的車輪，其半徑為 R，輪心的速度為 u，求輪上 A、 B、C、D 的速度。uRa p0b2 uv c2uvd2v 0例題 1：橢圓規(guī)尺的 A 端以 vA沿 x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)， AB=l，求 B端與 D 端的速度，以及 AB 的 角速度。 2分析：采用瞬心法，找出速度瞬心 C，由于 A端和 B端被約束在 x軸和 y 軸上，速度方向 分別沿著 x軸y軸，過 A與B兩個(gè)端點(diǎn)，做垂線，垂線交點(diǎn)即為瞬心C。設(shè) AB與X軸的夾角為，于是可以根據(jù)瞬心法得出：AB=L;CD=L2/ ; AC=AB*sin();BC=AB*cos( ); =v(A) /AC;v(B)=B

18、C* ; v(D)=CD*;只要知道了瞬心的位置及剛體其各個(gè)質(zhì)點(diǎn)饒瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度， 求解剛體上任意一點(diǎn)的速度 就很方便。如果我們采用慣性系中分析方法，例如：設(shè) A 與 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(x,0)、B(0， y),D(x/2,y/2);(粗體為矢量 ) x=cos( )L;y=sin()L; vA=dx/dt;VB=dy/dt;VD=Vx+Vy;Vx=d(x/2)/dt;Vy=d(y/2)/dt;將兩種方法作對(duì)比， 步驟上差不多， 但是后一種要用到矢量微分， 在理解層面上， 前一種更 容易理解， 計(jì)算也較方便快捷。 使用瞬心法時(shí)， 只要知道了瞬心的位置及剛體其各個(gè)質(zhì)點(diǎn)饒 瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，

19、求解剛體上任意一點(diǎn)的速度，簡(jiǎn)潔明了，方便快捷。 。用 maple 軟件對(duì) 該問題進(jìn)行求解，程序如下：Restart:AB:=L:AC:=ABsin( ): BC:=ABcos( ):DC:=L/2: :=vA/AC:vB:=*BC:vC:=*AC:例題2；車輪沿直線滾動(dòng)，已知車輪的半徑為 R，中心O的速度為 v0,加速度為a0， 車輪與地面沒有相對(duì)滑動(dòng)，求瞬心 C的加速度。分析：車輪做平面運(yùn)動(dòng)， 設(shè)車輪上與地面借助的動(dòng)質(zhì)點(diǎn)為 C0，瞬心為車輪與地面 的接觸點(diǎn) C。采用瞬心法，利用 maple軟件對(duì)該問題求解，程序如下：例題 3：均勻細(xì)桿長(zhǎng)為 L,質(zhì)量為 m，靜止直立于光滑桌面上，當(dāng)桿受到微小的

20、擾動(dòng)而倒下時(shí)，求當(dāng)桿剛好到達(dá)桌面時(shí)的角速度和地面的約束力； 分析：采用瞬心法和動(dòng)能定理求解角速度， 用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解地面的 約束力。用 maple 軟件求解該例題問題。程序如下：Restart:CP:=L/2cos( ):JC:=1/12*mL2:vC:= *CP:T:=1/2*C2+1 /2*JC* 2:T0:=0:W:=(m*g*l)/ 2*(1- ):eq1:=T-T0=W:Solve(eq1, )0:=subs( =0,):0:=simplify( 0):例題 4：在例題 3 中，求解桿在受到微小震動(dòng)剛要倒下的瞬間的角速度 解:桿剛要倒下的瞬時(shí) ,角速度為零 ,加速度瞬心在任

21、兩點(diǎn)加速度的垂直聯(lián)線上，設(shè)一端為 A 一端為 B點(diǎn)，加速度方向水平向左 ,A 點(diǎn)加速度沿著桿 (沒有速度 ,無法向加速度 ),因此 O點(diǎn)即為 此時(shí)的加速度瞬心。由對(duì)加速度瞬心的動(dòng)量矩定理有 :1/12m*L2+m*(5 /4)L2=mg*L2sin45解得 :A=3*sqrt(2)/16*(g*L);從上可看到 ,用對(duì)加速度瞬心的動(dòng)量矩定理解決此問題很簡(jiǎn)單,只需列一個(gè)方程即可。例：曲柄 OA 以勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)。求當(dāng) =60o時(shí)，滑塊 B的速度及連桿 AB角速 度。a R APab解：由圖象可知：P點(diǎn)即為桿 AB的瞬心,ab是桿 AB的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：ab Rab 3R 3 3 b BP ab 2

22、3 R3用一般的動(dòng)力學(xué)方法解答該題，通常有兩種，一種是設(shè) A點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)桿 OA與 OB的長(zhǎng) 度不變的關(guān)系， 得到用 A 來表示 B點(diǎn)的坐標(biāo)， B點(diǎn)坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)就是 B點(diǎn)(滑塊) 的速度。另一種方法是， 運(yùn)用朗格朗日方程求解， 由于問題只有一個(gè)自由度， 因此一個(gè)方程就可以求解，但是這兩種方法都涉及到了對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)，因此運(yùn)用瞬心法求解這種問題就顯得簡(jiǎn)潔些。6 結(jié)論：（1）采用清晰簡(jiǎn)潔的圖示法介紹了尋找速度瞬心和加速度瞬心的方法（2）簡(jiǎn)潔的證明了加速度瞬心存在的確定性及唯一性。（ 3）選取了幾個(gè)簡(jiǎn)單的例題，通過解析和 maple 程序闡明了采用瞬心法和對(duì)瞬 心的動(dòng)量矩定理在解決有些問題的過程中

23、能得到簡(jiǎn)化（4）雖然有例題介紹了利用速度瞬心求解平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)問題可以使問 題得到簡(jiǎn)化， 但其適用的范圍是相對(duì)狹窄的， 須根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 具體分析 ;當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)速度瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常數(shù)時(shí)，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系對(duì)速度瞬心的 動(dòng)量矩定理求解動(dòng)力學(xué)問題才可能得到簡(jiǎn)化 ;一般情況下質(zhì)點(diǎn)系的對(duì)速度瞬心的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是隨運(yùn)動(dòng)而變化的， 利用速度瞬心求解反而更復(fù)雜， 所以仍需根據(jù)傳統(tǒng) 的平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解動(dòng)力學(xué)問題。（5）剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心如果確定對(duì)于剛體的研究有著非常大的幫助，所以對(duì)于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心 的學(xué)習(xí)要認(rèn)真注意?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1 周衍柏 .理論力學(xué)教程 M.北京:人民教育出版社 ,1979.2 平

24、面運(yùn)動(dòng)剛體瞬心的分析及應(yīng)用 J*詹瓊 貴州大學(xué)學(xué)報(bào)3 理論力學(xué) M 郭印征 北京；清華大學(xué)出版社第三版 20054 理論力學(xué) M ，謝傳鋒 北京 中國(guó)廣播電視大學(xué) 19875 理論力學(xué) M ，哈工大教研室 高等教育出版社6 加速度瞬心法及其應(yīng)用 J，袁一武 山東建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào)7 機(jī)械原理 M 黃易凱 北京： 高等教育出版社 19818 范欽珊 .工程力學(xué)教程 M.北京:高等教育出版社 ,1998.9 涅克拉索夫 .理論力學(xué)下冊(cè) M北京:商務(wù)印書館 ,195410 江蘇師范學(xué)院 .力學(xué)講義下冊(cè) M. 北京:人教出版社 ,196011 方言.剛體對(duì)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程 J.大學(xué)物理 ,198212 鄭

25、傳文.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心和轉(zhuǎn)動(dòng)方程 J.大學(xué)物理 ,198613 丁世英,劉長(zhǎng)富.關(guān)于剛體平面運(yùn)動(dòng)對(duì)瞬心的動(dòng)量矩定理 J.大學(xué)物理 ,198614 李翠萍,熊玉寶,湛利平等 .關(guān)于/剛體對(duì)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程 J.大學(xué)物理 ,198615 韓慕松.剛體平面運(yùn)動(dòng)對(duì)瞬時(shí)速度中心的角動(dòng)量定理 J.大學(xué)物理 ,198616 劉成群 .剛體相對(duì)于瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定理 J.大學(xué)理,198617 沈樹仁.瞬心動(dòng)量矩定理 J.大學(xué)物理 ,198618 黃唯承.關(guān)于瞬心速度的兩種含義 J.大學(xué)物理 ,198619 羅耀煌,唐懋杰.關(guān)于瞬心的動(dòng)量矩定理 J.大學(xué)物理 ,198620 關(guān)于剛體繞瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)方程的來稿總結(jié) J.大

26、學(xué)物理 ,198621 大學(xué)物理優(yōu)秀論文評(píng)選揭曉 J.大學(xué)物理 ,1996Research the method of calculating the instantaneous center rigid bodyAuthor ： YANG YuXuan Instructor： WANG ZhiYun(Hubei University of Science and Arts, XiangYang4 41053)Abstract：Introduces the instantaneous center of the rigid body plane motion speed and acceleration of the instant