《大學(xué)數(shù)學(xué)》習(xí)題及答案

1、大學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題第一章 微積分的基礎(chǔ)和研究對象1 微積分的基礎(chǔ)集合、實數(shù)和極限一論述第二次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的背景和解決方法。 二敘述極限，實數(shù)和集合在微積分中的作用。二敘述實數(shù)系的演變和性質(zhì)，寫出鄰域的概念。2 微積分的研究對象函數(shù)一填空題1函數(shù)的定義域 .2設(shè)函數(shù)f (x) = 則函數(shù)ff(x)= .3函數(shù)y =的反函數(shù)為 .4設(shè)是奇函數(shù),且(x)=.() , 則(x) 是_函數(shù).5函數(shù)f (x) = sinxsin3x的周期t= .二求下列函數(shù)定義域1y = 4 + .2y = + .三設(shè) , 求.四設(shè)函數(shù)f (x) = , g (x) = ln x ， 求f g(x) , g f(x) .五已知

2、f (sin) = cos x + 1 , 求f (cos).六證明題：設(shè)f(x)為定義在(-l,l)內(nèi)的奇函數(shù)，若f(x)在(0,l)內(nèi)單調(diào)增加，證明f(x)在(-l,0)內(nèi)也單調(diào)增加.第二章 微積分的直接基礎(chǔ)極限1 數(shù)列的極限一、 判斷題1數(shù)列中去掉或增加有限項，不影響數(shù)列的極限；（ ）2數(shù)列極限存在，則與極限均存在；（ ）3若，存在無限多個滿足，則有.（ ）二填空題1數(shù)列有界是數(shù)列收斂的 條件；2 ；3 ；4 .三用極限定義證明1.2.3.四證明：若，則有，并舉例說明其逆命題不成立.五證明數(shù)列極限不存在.2 函數(shù)的極限一填空題1設(shè)函數(shù)，則 ， .2 .3設(shè)，則 ， ，當(dāng) 時，.二判斷題1

3、. 若，則有不存在；（ ）2. ；（ ）3. 若，且，則；（ ）4. ；（ ）5. 若存在， 且則.（ ）6； （ ）7；（ ）8當(dāng)時，與是等價無窮小量，則； （ ）9無窮小量的代數(shù)和還是無窮小量 ；（ ）10當(dāng)時，無窮小量是關(guān)于的4階無窮小量； （ ）11因為時，所以有.（ ）三利用定義證明下列函數(shù)的極限1； 2。四利用極限四則運算求下列極限1 . 2 . 3.4 . 5.五1討論時，的極限.2討論函數(shù)在處的極限.3討論極限是否存在.六計算題1.2.3.4.5.6.7.七已知時，求a與n .八已知是多項式，并且，又，求.九已知，試確定的值.3 連續(xù)函數(shù)一填空題1若是(,)上的連續(xù)函數(shù),則a=

4、_.2若有無窮間斷點x=0及可去間斷點x=1,則a=_.二判斷題1若在均不連續(xù)，則在也不連續(xù) ；（ ）2若在均不連續(xù)，則在也不連續(xù)；（ ）3區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界 ；（ ）4若在點連續(xù)，則；（ ）5在內(nèi)單調(diào)，則在內(nèi)之多有一個零點.（ ）三求下列極限1 ； 2；3 ； 4.四設(shè)討論在處的連續(xù)性.五證明方程在區(qū)間內(nèi)有一實根.六設(shè)在上連續(xù)，且，證明：必存在使得.七在連續(xù)，且存在，證明函數(shù)在有界.第二章 復(fù)習(xí)題 一填空題 1的定義域是_. 2設(shè)f(x)的定義域是1,2,則的定義域是_. 3若當(dāng)xx0時,(x)與r(x)是等價無窮小,(x)是比(x)高階的無窮小, 則當(dāng)xx0時,函數(shù)的極限是_. 4要使

5、函數(shù)是無窮大, 則要求x趨向于值_. 5若在x=0處連續(xù), 則要a=_.二單選題 1f(x)=x()在其定義域(,)是 (a)有界函數(shù); (b)單調(diào)增函數(shù); (c)偶函數(shù); (d)奇函數(shù). 2設(shè). 則此函數(shù)是 (a)有界函數(shù); (b)奇函數(shù); (c)偶函數(shù); (d)周期函數(shù). 3函數(shù)時的極限值是 (a) (b) (c)0, (d)不存在. 4設(shè) 則x=0是f(x)的 (a)可去間斷點; (b)跳躍間斷點; (c)無窮間斷點; (d)振蕩間斷點. 5設(shè) 則x=1是f(x)的 (a)連續(xù)點; (b)跳躍間斷點; (c)無窮間斷點; (d)振蕩間斷點.三求下列極限1； 2；3； 4；5.五證明：方程

6、x2x=1至少有一個小于1的正根.六設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，acdb. 證明：對于任意正數(shù)p和q，至少有一點 滿足：.第三章 變量變化速度與局部改變量估值問題導(dǎo)數(shù)與微分1 函數(shù)的局部變化率導(dǎo)數(shù)一判斷題1； （ ）2曲線在處有切線，則一定存在； （ ）3若，則； （ ） 4函數(shù)在處的左右導(dǎo)數(shù)都存在是在點可導(dǎo)的充分必要條件;（ ）5下面的計算對嗎？設(shè)，因為當(dāng)時，而在處無意義，故在不可導(dǎo). （ ） 二填空題1設(shè)在處可導(dǎo)，則 ， ， ；2若存在且，則 ；3. 若為偶函數(shù)且存在，則 ；4. 已知，則= ；5. 將一物體鉛直上拋，經(jīng)秒后上升的高度為, 則該物體在秒時的瞬時速度為 ；6. 曲線與橫軸交點處

7、的切線方程是 與 ； 7. 設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件，則曲線在處的切線斜率為 ；8. 設(shè)，是過點（1，1）的曲線（n是正整數(shù)）的切線在x軸上的截距，則 .三用定義求函數(shù)（且）的導(dǎo)函數(shù)與它在處的導(dǎo)數(shù).四設(shè)在處連續(xù)，試討論下列函數(shù)在處的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)時求出：1； 2. ； 3. .五討論函數(shù)在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.六已知，且，求.七設(shè)函數(shù), 在處連續(xù)且可導(dǎo)，求的值.八求曲線在點處的切線方程和法線方程.九求垂直于直線且與曲線相切的直線方程.十證明函數(shù)在點處連續(xù)，但不可導(dǎo).十一 . 談?wù)勀銓?dǎo)數(shù)概念的理解.2 求導(dǎo)數(shù)的方法法則與公式一、 單項選擇題 1. 在函數(shù)和的定義域內(nèi)的一點處，下述說法正確的是（

8、 ）a. 若，均不可導(dǎo)，則也不可導(dǎo)；b. 若可導(dǎo)，不可導(dǎo)，則必不可導(dǎo)；c. 若，均不可導(dǎo)，則必有+不可導(dǎo)；d. 若可導(dǎo)，不可導(dǎo)，則+必不可導(dǎo).2. 直線與軸平行且與曲線相切，則切點為（ ）a. ; b. ; c. ; d. .3. 設(shè)在處不連續(xù)，則在處 ( ) 必不可導(dǎo); 一定可導(dǎo); 可能可導(dǎo); 無極限.4. 設(shè)，在處連續(xù)但是不可導(dǎo)，存在，則是在處可導(dǎo)的（ ）條件a. 充要； b. 必要非充分； c. 充分非必要； d. 非充分非必要.5. 若在點處可導(dǎo)，則在點處（ ）a. 可導(dǎo); b. 不可導(dǎo); c. 連續(xù)未必可導(dǎo); d. 不連續(xù).6. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（ ）.7. 函數(shù)，則（ ）. 8. 已知

9、，則函數(shù)在點的切線的斜率是（ ）. 9. 已知，則（ ）. 10. 設(shè)在內(nèi)為奇函數(shù)且在內(nèi)有，則在內(nèi)是（ ）.（a）且； （b） 且；（c）且； （d） 且.11. 已知，則（ ）.（a）； （b）； （c）； （d）.二填空題1. 已知，則 ；2. 若，則 ；3. 若，則 ；4. 若，則 ；5. 若，則 ；6. 若，則 ；7. 設(shè)函數(shù)由確定，則 ；8. ，則 ；9. ，則 .三求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.； 2. ；3. ； 4. （且）；5. ； 6. ；7. ； 8. ；9. ； 10. ；11. ； 12. ；13. ； 14. ；15. （）； 16. ；17. ，求； 18. ，求；19.

10、 ，求； 20. ，求。四已知, 求其導(dǎo)函數(shù).五設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1；2；六利用對數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1； 2.七 設(shè)且可導(dǎo)，求.八 設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且，求和.九設(shè)連續(xù)，且，求.十設(shè)和可導(dǎo)，且，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).十一設(shè)由方程所確定，試求，.十二設(shè)由方程所確定，二階可導(dǎo)且，試求.十三已知函數(shù)，在點處有二階導(dǎo)數(shù)，試確定參數(shù)的值.十四設(shè)函數(shù)滿足條件：對任何，有（為已知常數(shù)），證明存在，并求其值.十五證明：曲線上任一點處的切線與軸和軸構(gòu)成的三角形面積為常數(shù).3 局部該變量的估值問題微分及其計算一填空題1設(shè)在處，則 ， ；2設(shè)在處可微，則 ；3將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號內(nèi)，使等式成立：（ ）

11、； （ ）；（ ）； （ ）；（ ）； （ ）；（ ）； （ ）；（ ）.二單項選擇題1. 設(shè)是可微函數(shù)，是的可微函數(shù)，則（ ）.（a） （b） （c） （d）2. 若可微，當(dāng)時，在點處的是關(guān)于的（ ）.（a）高階無窮 （b）等價無窮小 （c）同階無窮小 （d）低階無窮小 3. 當(dāng)充分小，時，函數(shù)的改變量與微分的關(guān)系是（ ）.（a） （b） （c） (d)4. 可微，則（ ）.(a) 與無關(guān)； (b)為的線性函數(shù)； (c) 當(dāng)時是的高階無窮??； (d)當(dāng)時是的等價無窮小.5. 則（ ）.6. 設(shè)為初等函數(shù)，為其定義區(qū)間內(nèi)任意一點，則下列命題正確的是( ).(a) 在點處必定可導(dǎo)； (b) 在點

12、處必定可微；(c) 在點處必定連續(xù)； (d) 不能確定.7. 當(dāng)很小時,下列各式不正確的是( ). 8. 一正方體的棱長,如果棱長增加,則此正方體體積增加的近似值為( ). 三求下列函數(shù)的微分1 ; 2. ;3. ; 4. .四計算和的近似值.第三章 復(fù)習(xí)題一填空題1設(shè)在處導(dǎo)數(shù)為，則 ； 2若在處可導(dǎo)且，則 ； 3設(shè)，則 ；4函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為 ；5在拋物線上，與拋物線上橫坐標(biāo)和兩點連線平行的切線方程為 ； 6若為可導(dǎo)的奇函數(shù)且，則；7設(shè)，則= ；8 在可導(dǎo)是在可微的 條件；9設(shè)，則 ；10若曲線和在點處相切，則 ， . 二單項選擇題1設(shè)，則（ ）a2； b； c； d.2已知函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)

13、，且，則當(dāng)為大于2的正整數(shù)時，是（ ）a； b； c； d.3設(shè)，則使存在的最高階導(dǎo)數(shù)的n為（ ）a0； b1； c 2; d3.三計算下列各題：1設(shè)，求；2設(shè)，求；3設(shè)，求；4，求；5，求；6設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，求；7設(shè)，且二階可導(dǎo)，求；8已知，求；9求；10已知，求函數(shù)的微分.五已知存在，求.六用定義求，其中并討論導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性.七設(shè)，試確定的值，使在及都可導(dǎo).十一，求.十二已知為奇函數(shù)，且存在，問是的何種類型的間斷點？為什么？第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題洛比達(dá)法則，函數(shù)的性質(zhì)和圖像1 聯(lián)系局部與整體的紐帶中值定理一. 填空題1函數(shù)在區(qū)間上滿足lagrange中值定理中的 。2若函數(shù)，則方程有

14、分別位于區(qū)間 內(nèi)的三個實根。3若，則在區(qū)間上不滿足rolle定理的一個條件是 。4 rolle定理與lagrange定理的關(guān)系是 。二、 選擇題1.rolle定理中的三個條件：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，是在內(nèi)至少存在一點，使成立的 條件。a. 必要 b. 充分 c. 充要 d. 既非充分也非必要2.下列條件不能使函數(shù)在區(qū)間上應(yīng)用lagrange定理的是 。a. 在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo); b. 在上可導(dǎo);c. 在上可導(dǎo)，且在點右連續(xù)，在點左連續(xù);d. 在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù). 三、 證明下列不等式1.，其中.2. 當(dāng)時，.3. 已知，且，求證.4. 證明方程只有一個正根.2 求不定式極限的一般方法洛必達(dá)法則

15、一利用洛比達(dá)法則求極限1. ; 2. ;3. ; 4. .二求解下列各題1.設(shè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求. 2 .設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，求證.3 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性，極值和最大最小值一填空題 1.已知曲線方程為，則曲線在區(qū)間 上單調(diào)增，在區(qū)間 上單調(diào)減。 2.若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且時，又，則在上 ，但的正負(fù)號 。3.若，則 ， 。4.若，則在 處取得極 值，其值為 。5.的極大值點是 ，極大值為 。6.方程有 個實根。二求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.; 2.; 3.，其中.三求下列函數(shù)的極值1.; 2. .四證明下列不等式1. 當(dāng)時，有; 2. 當(dāng)時，有;3. 當(dāng)時，有.五設(shè)滿足，求的極值。六設(shè)在

16、和處取得極值，試確定的值，并證明是極大值，是極小值。七求下列函數(shù)的最大值與最小值 1.; 2.。八試作一個上端開口的圓柱形容器，它的凈容積是，壁厚為（都為常數(shù)），問容器內(nèi)壁的半徑為多少，才能使所用的材料最少？ 第四章 復(fù)習(xí)題一填空題 1. 已知函數(shù)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且在點處有拐點，則 。 2. 的極大值點是 ，極大值為 。 二求下列極限 1. ; 2.三討論函數(shù)的單調(diào)性。四證明。第五章 微積分的逆運算問題-不定積分5.1 原函數(shù)與不定積分一填空題1.若均為的原函數(shù)，則 .2. 是連續(xù)函數(shù)，則 ， .3. . 4. .5. . 6. .二計算下列各題.1. 2. 3. 4. 5. 6. 三若曲線

17、上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的倒數(shù)，且該曲線過點，求該曲線方程.5.2 矛盾轉(zhuǎn)化法-換元積分法與分部積分法一、填空題1. . 2. （）.3. . 4. .5. . 6. .7. . 8. .二、求下列不定積分:1. 2. .3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、已知的一個原函數(shù)是，求.第五章 復(fù)習(xí)題一、填空題1.若的一個原函數(shù)為，則 。2.若，則。 3.若，則。4.。5. 。6.若，則。7. 。二、單項選擇題1.下列等式成立的是（）a bc d2.若，則（ ）. a. b. c. d. 3.以下計算正確的是（ ）a b c

18、 d 三、計算題1.2. 3. 4.5.第六章 求總量的問題-定積分及其應(yīng)用6.1 特殊和式的極限-定積分的概念 一、根據(jù)定積分的定義或幾何意義計算下列積分：1.；2. 3. ；二、利用定積分的性質(zhì)估計下列積分值的大小：1.； 2. .三、不計算積分，比較下列各組積分的大小1 ； 2 .6.2 計算定積分的一般方法微積分基本定理一、設(shè)連續(xù)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1）； 2）；3）。 二、填空題1) = .2) 已知在上連續(xù)，且，且設(shè)，則 .3) 設(shè)，則 .三、根據(jù)牛頓萊布尼茲公式計算下列積分1）； 2）； 3） ； 4）；5）。 四、設(shè)，求的值，使.五、用換元法求下列積分1); 2);3); 4)

19、.六、用分部積分法計算下列定積分1) ; 2) ;3); 4） 5) . 6) 6.3 定積分的拓展-非正常積分一、 討論下列反常積分的斂散性：1. 2. 6.4 定積分魅力的展示-在若干學(xué)科中的應(yīng)用一、 求下列所給圖形的面積1） 由曲線，軸以及直線所圍成的圖形；2） 由曲線與軸所圍成的圖形;3) 由曲線與直線所圍成的圖形；4）由曲線與直線所圍成的圖形;5)與直線所圍成的圖形； 6)曲線和及兩直線所圍成的圖形； 7）與所圍成的圖形.二、已知與所圍成面積為8，求值（設(shè).三、 求下列立體的體積1) 繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體；2) 曲線與直線圍成一個平面圖形，此平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體。第六章 復(fù)習(xí)題

20、一、填空題1) ； (連續(xù)).2) .3) 設(shè)連續(xù)，且，則 .4）設(shè)連續(xù)，且，則 .二、選擇題1.定積分定義說明（ ）.（a）必須等分，是端點; （b）可任意分法，是端點;（c）可任意分法，可在內(nèi)任取;（d）必須等分，可在內(nèi)任取.2. 積分中值定理其中（ ）.（a）是內(nèi)任一點 （b）是內(nèi)必定存在的某一點（c）是內(nèi)惟一的某點 （d）是內(nèi)中點3.在上連續(xù)是存在的（ ）.（a）必要條件 （b）充分條件 （c）充要條件 （d）既不充分也不必要4.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（ ）.（a） （b） （c） （d） 05.設(shè)曲線與所圍成圖形的面積為s.則下列各式中，錯誤的是（ ）（a） （b）（c） （d）三、

21、解答題1.設(shè)，計算.2.3.求由曲線及直線所圍圖形的面積4.過坐標(biāo)原點作曲線的切線，求該切線與曲線及軸所圍成圖形的面積.5.求由曲線與直線所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 第七章 偶然中蘊(yùn)含必然的問題-概率統(tǒng)計初步1 研究偶然現(xiàn)象的基本元素隨機(jī)事件1. 設(shè)1,2,10，a2,3,4，b=3，4，5，c5，6，7，具體寫出下列各等式。（1）b （2） （3） （4） （5）2設(shè)a、b、c表示三個隨機(jī)事件，試將下列事件用a、b、c表示出來。（1）a發(fā)生，b、c不發(fā)生；（2）a、b都發(fā)生，而c不發(fā)生；（3）所有三個事件都發(fā)生；（4）三個事件都不發(fā)生；（5）三個事件中恰有一個發(fā)生；（6）三個

22、事件中至少有一個發(fā)生；（7）三個事件中至少有兩個發(fā)生；（8）不多于一個事件發(fā)生。3抽查4件產(chǎn)品，設(shè)a表示“至少有一件次品”，b表示“次品不少于兩件”，問：各表示什么事件？4把事件寫成互不相容事件和的形式。5.設(shè)，。具體寫出下列各事件：（1）； （2）； （3） （4）2 偶然中的必然概率1甲乙兩炮同時向一架飛機(jī)射擊，已知甲炮擊中的概率為0.6，乙炮擊中的概率為0.5，甲乙兩炮都擊中的概率為0.3，求飛機(jī)被擊中的概率是什么？2有三個班級，每班在一個星期的六天中安排到某游泳池游泳一次，如果游泳日可以隨機(jī)安排，求三個班在不同三天游泳的概率。310個零件中有3個次品，7個合格品，從中任取一個不放回，求

23、第三次才取得合格品的概率是多少？4將一枚骰子重復(fù)擲n次，試求擲出的最大點數(shù)為5的概率。 5從5雙不同的鞋中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只能配成一雙的概率。6把長為的棒任意折成3段,求此三段能構(gòu)成一個三角形的概率。7. 在矩形中任取一點,求使方程的解大于的概率.8設(shè)事件a與b同時發(fā)生時，事件c必發(fā)生，則正確的結(jié)論是_（1） （2）（3） （4）9設(shè)，。在下列三種情況下求的值：（1）； （2）； （3）10設(shè)a、b為兩個事件且p(a)=0.6，p(b)=0.7.問：（1）在什么條件下p(ab)取最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下p(ab)取最小值，最小值是多少？11設(shè)a、b為兩個事件，p(b)=0.5，p(a-b)=0.3.求p().12a、b為兩個事件且p(a)=1/2，p(b)=1/2，證明).13.已知求.14.設(shè)a，b是兩個事件，求.15.已知, ,求事件 全不發(fā)生的概率。16. 擲3顆骰子，若已知出現(xiàn)的點數(shù)沒有兩個相同，求至少有一顆骰子是一點的