2020年初中數(shù)學(xué)競賽講義：第13講-怎樣求最值

1、 2020 年初中數(shù)學(xué)競賽講義：第 13 講-怎樣求最值在生活實踐中，人們經(jīng)常面對帶有“最”字的問題，如在一定的方案中，花費最低、消耗最少、產(chǎn)值最高、獲利最大等；解數(shù)學(xué)題時，我們也常常碰到求某個變量的最大值或最小值之類的問題，這就是我們要討論的最值問題，求最值問題的方法歸納起來有如下幾點：1運用配方法求最值；2構(gòu)造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；3建立函數(shù)模型求最值；4利用基本不等式或不等分析法求最值注：數(shù)學(xué)中最大值、最小值問題，運用到社會實踐、生活實際中所體現(xiàn)出來的就是最優(yōu)化思 想，所謂最優(yōu)，就是我們所期望的目標(biāo)量能達到最大或最小一次函數(shù)、反比例函數(shù)并無最值，但當(dāng)自變量取

2、值范圍有條件限制的，最值在圖象的端點處取得；定義在全體實數(shù)上的二次函數(shù)最值在拋物線的頂點處取-得即：對于（ ）2y = ax + bx + ca 0(1)若 a0，則當(dāng)時，4ac；-b2bx = -=y2a最小值4a(2)若 a 0b0a2 0ab2 + 2 2aba0， ，則a x+ 2x babb 0 0x以上各式等號當(dāng)且僅當(dāng)a = b (或)時成立ax=x b第 4 頁 共 11 頁 學(xué)歷訓(xùn)練1當(dāng) 變化時，分式 3x2 + 6x + 5 的最小值為x1x2 + +1x22如圖，用12 米長的木方，做一個有一條橫檔的矩形窗子，為使透進的光線最多，選擇窗子的長、寬各為、米3已知實數(shù) 、 、

3、滿足，則 的最大值abca + b + c = 0a2 + 2 + 2 = 6abc為4已知 、 、 為三個非負實數(shù)，且滿足3x + 2y + z = 5，若x + y - z = 2xyz，則 的最大值與最小值的和為()s = 2x + y - zsa 1 b 5c1d36285已知四邊形 abcd 的對角線 ac 與 bd 相交于點 o，若 s=4，aobs=9，則四邊形 abcd 的面積 s的最小值為(d36)codabcd四邊形a2lb25c266正實數(shù) 、 滿足 =1，那么的最小值為()11yxy+x4y4 4xa 1b 5c1d 5e2284第 5 頁 共 11 頁 7啟明公司生產(chǎn)

4、某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本是 3 元，售價是 4 元，年銷售量為 10 萬件為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告根據(jù)經(jīng)驗，每年投入的廣告費是 (萬元)時，產(chǎn)品的年銷售xx27量將是原銷售量的 倍，且7 ，如果把利潤看作是銷售總10yyx10 10額減去成本費和廣告費：(1)試寫出年利潤 s (萬元)與廣告費 (萬元)的函數(shù)關(guān)系式，并計算廣x告費是多少萬元時，公司獲得的年利潤最大，最大年利潤是多少萬元?(2)把(1)中的最大利潤留出 3 萬元作廣告，其余的資金投資新項目，現(xiàn)有 6 個項目可供選擇，各項目每股投資金額和預(yù)計年收益如下表：項目每股(萬元)收益(萬元)055l如果每個項目只能投

5、一股，且要求所有投資項目的，收益總額不得低于 16 萬元，問有幾種符合要求的投資方式?寫出每種投資方式所選的項目第 6 頁 共 11 頁 82019 年 9 月我市某農(nóng)場有 20 名職工，50 畝土地，這些地可種蔬菜、煙葉或小麥，種這幾種農(nóng)作物每畝地所需職工數(shù)和產(chǎn)值預(yù)測如下表：作物品種蔬菜每畝地預(yù)計產(chǎn)值1100 元14小麥600 元請你設(shè)計一個種植方案，使每畝地都種上農(nóng)作物，20 位職工都有工作，且使農(nóng)作物預(yù)計總產(chǎn)值最多9如圖，有長為 24m 的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長度 為 l0m)，a圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬為 xm，面積為 sm 2(1)求 s 與 x 的函數(shù)

6、關(guān)系式；(2)如果要圍成面積為 45m 的花圃，ab 的長是多少米?2(3)能圍成面積比 45m 更大的花圃嗎?如果能，請求出最大面積，并說2明圍法；如果不能，請說明理由10設(shè) 、 是關(guān)于 的一元二次方程2 + + = 2x ax a的兩個實數(shù)根，則x1xx2的最大值為(x - 2x )(x - 2x )1221第 7 頁 共 11 頁 11若拋物線與 軸的交點為 a、b，頂點為 c，則2y = x - (k -1)x - k -1xabc 的面積最小值為12已知實數(shù) 、 滿足，且，則 的最大值aba2 +ab b+ 2 =1t ab a b= - 2 - 2t為，最小值為13如圖，b 船在

7、a 船的西偏北 45處，兩船相距 10 km，若 a2船向西航行，b 船同時向南航行，且 b 船的速度為 a 船速度 2 倍，那么 a、b 兩船的最近距離為km14銷售某種商品，如果單價上漲m，則售出的數(shù)量就將減少 ，m150為了使該商品的銷售金額最大，那么 的值應(yīng)該確定為m15某租賃公司擁有汽車 100 輛，當(dāng)每輛車的月租金為 3000 元時，可全部租出；當(dāng)每輛車的月租金每增加 50 元時，未租出的車將會增加一輛租出的車每輛每 月需要維護費 150 元，未租出的車每輛每月需要維護費 50 元(1)當(dāng)每輛車的月租金定為 3600 元時，能租出答案)；輛車(直接填寫(2)設(shè)每輛車的月租金為 x(

8、x3000)元，用含 的代數(shù)式填空：x第 8 頁 共 11 頁 所有未租出的車輛每月的維護費租出的車每輛的月收益(3)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少元?16甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是 (萬p元)和 (萬元)，它們與投入資金 (萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗公式1 ，5qx=px3 5q =x今有3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少?能獲得多大的利潤?17如圖，城市a位于一條鐵路線上，而附近的一小鎮(zhèn)b需從a市購進大量生活、生產(chǎn)用品，如果鐵路運費是公路運費的一半問該如何從b修筑一條公路到鐵路邊，使從a到b的運費最低?18設(shè) ， ， 是整數(shù)，并滿足：xxx12n（1）（2）（3