多元線性回歸模型公式

1、在多要素的地理環(huán)境系統(tǒng)中，多個（多于兩個）要素之間也存在著相互影響、相互關(guān)聯(lián)的情 況。因此，多元地理回歸模型更帶有普遍性的意義。 （一）多元線性回歸模型的建立 假設(shè)某一因變量y受k個自變量Xi,X2，Xk的影響，其n組觀測值為（ya,Xia,X2a,，Xka）， a 1,2,., n。那么，多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式為: ya 1X1a2X2a kXkaa（ 3211） 式中: o, 1，k為待定參數(shù); a為隨機變量。 如果bo,bi,.,bk分別為 2，k的擬合值，則回歸方程為 ?= bo biX-ib2X2.bkXk （3.2.12） 式中: bo為常數(shù); bi,b2,., bk稱為偏回歸

2、系數(shù)。 偏回歸系數(shù)bi（ i 1,2,.,k ）的意義是，當(dāng)其他自變量 Xj（ j i）都固定時，自變量Xi每 變化一個單位而使因變量 y平均改變的數(shù)值。 根據(jù)最小二乘法原理, （i 0,1,2,，k ）的估計值bi （i0,1,2,k ）應(yīng)該使 n Qyaya a 1 n ya a 1 boba b2X2a 2 bkXkamin （ 3.2.13） 有求極值的必要條件得 Q bo n 2 a 1 n 2ya a 1 ya o yaya Xja （3.2.14） o（j 1,2,.,k） 將方程組（3.2.14 ）式展開整理后得: nb0 ( x1a)b1 (x2a )b2 . (xka )b

3、k ya a 1 a1 a 1 a 1 n n n n n ( x1a )b0 ( x12a )b1 ( x1a x2a)b2 . . (x1a xka ) bk x1aya a1 a1 a1 a1 a1 n n n n n ( x2a )b0 ( x1a x2a)b1 ( x22a)b2 . . ( x2a xka )bk x2a ya a1 a1 a1 a1 a1 n n n n n ( xka )b0 ( x1a xka )b1 ( x2axka )b2 . ( xka ) bk xkaya a1 a1 a1 a1 a1 3.2.15 ) 方程組（ 3.2.15 ）式，被稱為正規(guī)方程組。

4、 如果引入一下向量和矩陣： b0 1 x11 x21 b1 y1 1 y2 2 , X x12 x22 b b2 ,Y 1 x13 x23 xk1 xk2 xk3 yn 1 1 1. . 1 1 x11 x21 . . xk1 x11 x12 x13 . . x1n 1 x12 x22 . . xk 2 A XT X x21 x22 x23 . . x 2n 1 x13 x 23 . . xk 3 xk1 xk2 xk 3. .xkn 1 x1n x2n . .xkn bk x1nx2n xkn n n n n x1a x2 a. .xka a1 a1 a1 n n n n 2 x1a x1a

5、 x1a x2a. .x1 a xka a1 a1 a1 a1 n n n n 2 x2a x1ax2a x2 a. .x 2a xka a1 a1 a1 a1 n n n n 2 xka x1a xka x2 a xka. .xka a1 a1 a1 a1 n ya 1 1 1. . 1 y1 a1 n B X TY x11 x12 x13 . . x1 n y2 x1a ya a1 x21 x22 x23 . . x2 n y3 n x2a ya a1 xk1 xk2 xk 3 . . xkn yn n xka ya 則正規(guī)方程組（3215 ）式可以進一步寫成矩陣形式 Ab B (3.2.

6、15 ) 求解（3.2.15 ）式可得: 如果引入記號: b A1B (XTX)1XtY (3.2.16) ij Lji n (XiaXj(XjaXj )(i, j 1,2,. a 1 n Liy (Xi aXi)( ya y)(i 1,2,.,k) a 1 Lubi .L1 k b L1y L210 L22b .L2k b L2y (3.2.15 Lk1b1 Lk2b2 . Lkk S Lky to y b|X1 b2x2. bkXk L .,k) 則正規(guī)方程組也可以寫成 ） （二）多元線性回歸模型的顯著性檢驗 與一元線性回歸模型一樣，當(dāng)多元線性回歸模型建立以后，也需要進行顯著性檢驗。 與前

7、面 的一元線性回歸分析一樣，因變量y的觀測值y, y2,.,yn之間的波動或差異，是由兩個因 素引起的，一是由于自變量 x,x2，xk的取之不同，另一是受其他隨機因素的影響而引起 的。為了從y的離差平方和中把它們區(qū)分開來，就需要對回歸模型進行方差分析，也就是將 y的離差平方和 St或（Lyy）分解成兩個部分，即回歸平方和U與剩余平方和 Q STLyy UQ 在多元線性回歸分析中， 回歸平方和表示的是所有 k個自變量對y的變差的總影響，它可以 按公式 n2k U(ya y)biLiy a 1i 1 計算，而剩余平方和為 n Q(ya ya)Lyy u a 1 以上幾個公式與一元線性回歸分析中的有關(guān)公式完全相似。它們所代表的意義也相似， 即回 歸平方和越大，則剩余平方和Q就越小，回歸模型的效果就越好。不過，在多元線性回歸分 析中