人教版八年級數(shù)學下冊試卷菱形知識點及同步練習

1、 教學內(nèi)容：菱形學習目標1掌握菱形的概念2理解菱形的性質及識別方法3能利用菱形的性質及識別方法，解決一些問題學法指導把平行四邊形、矩形、菱形的性質及識別方法對照起來學習，了解它們的相同點和不同點基礎知識講解1菱形的定義四條邊都相等的平行四邊形（或一組鄰邊相等的平行四邊形）叫做菱形由菱形的定義可知，菱形是一種特殊的平行四邊形，菱形的定義包含兩個條件，是平行四邊形，鄰邊相等，這兩個條件缺一不可2菱形的性質（1）它具有平行四邊形的一切性質（2）它除具有平行四邊形的性質外，還具有自己的特殊性質菱形的四條邊都相等菱形的對角線互相垂直平分，而且每條對角線平分一組對角菱形是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在

2、的直線菱形的對角線分菱形為4 個全等的直角三角形3菱形的識別方法菱形的識別方法，除用定義來識別外，還有其它的識別方法，用定義來識別是最基本的識別方法其它的識別方法有四條邊都相等的四邊形，也為菱形對角線互相垂直的平行四邊形，也是菱形，運用這個識別方法必須符合兩個條件，一是對角線互相垂直，二是平行四邊形4菱形的面積計算由菱形的對角線把菱形分成 4 個全等的直角三角形，可得出，菱形的面積=4s .rt1a b1）= ab，即菱形的面積等于設對角線長分別為 a，b則菱形的面積=4 （22 22對角線乘積的一半5菱形的性質及識別方法的作用利用它們可以證明線段相等、垂直、平分、平行等關系證明角相等，平分等

3、關系，證明一個四邊形為菱形和進行有關的計算重點難點重點：菱形的性質，識別方法及其在生活、生產(chǎn)中的應用難點：運用菱形的性質及識別方法，靈活地解答一些問題易錯誤區(qū)分析運用菱形的定義時易忽略，鄰邊相等的平行四邊形中的平行四邊形這個條件 例 1判斷下列說法對不對（1）鄰邊相等的四邊形為菱形（）（2）兩邊相等的平行四邊形為菱形（）錯誤分析：（1）中應為鄰邊相等的平行四邊形（2）中是指鄰邊相等而不是兩邊相等錯解：（1）（） （2）（）正解：（2）（） （2）（）運用菱形的識別方法“對角線”互相垂直且平分的平行四邊形中有時忽略垂直或者平分，有時忽略平行四邊形這些條件由于本節(jié)的性質判別方法較多，利用本節(jié)解題時

4、易犯推理不嚴密的錯誤例 2如圖在菱形 abcd 中，e，f 分別是 bc，cd 的中點連結 ae，af.求證：aeaf錯誤分析：本題證明錯在 bedf，因為并未證明 bccd，推理不嚴格錯證：菱形 abcd，abcd，bd又e，f 分別為 bc，cd 的中點，bedfabeadf aeaf正證：菱形 abcd abad，bd，11 bc= cd22又ef 分別為 bc，cd 的中點 bedf，abeadf aeaf典型例題例 l已知，如圖所示，菱形 abcd 中，e ，f 分別是 bc、cd 上的一點，d=eaf=aef60.bae18，求cef 的度數(shù)分析：要求cef 的度數(shù)，可先求aeb

5、的度數(shù)，而要求aeb 的度數(shù)則必須求b 的度數(shù)，這一點則可由菱形是特殊的平行四邊形可得到.另外，由d60如連結 ac 得等邊abc 與acd，從而abeacf，有 aeaf，則aef 為等邊三角形，再由外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求cef解法一：因為菱形是特殊的平行四邊形所bd60.因為bae18，aeb+b+bae180所以aeb+60+18180.即aeb=180-60-18102又aef60，aeb+aef+cef180所以cef180-60-10218解法二：連結 ac 四邊形 abcd 為菱形，bd60，abbccdad abc 和cda 為等邊三角形 abac，bacdbac60

6、eaf60 bae=caf abeacf aeaf又eaf60 eaf 為等邊三角形 aef60aec=b+bae=aef+cef60+1860+cef cef18解法三：利用輔助線把菱形轉化為三角形來解答，這是一種常用的作輔助線的方法例 2已知：如圖，abc 中，bac90，adbc 于點 d，be 平分abc，交 ad 于點m，an 平分dac，交 bc 于點 n.求證：四邊形 amne 是菱形分析：要證 amne 是菱形，可以根據(jù)定義，證得它是平行四邊形，并且有一組鄰邊相等，也可以根據(jù)判定定理，證它四邊相等；或證兩條對角線互相垂直平分，注意到 an 是dac的平分線，只要證 amae，則

7、 an 垂直平分 me，若證 anme，則再由 be 平分abn 易知 be也垂直平分 an，即 an 與 me 互相垂直平分，故有 ammnneae，即 amne 是菱形，此為證法一顯然，在上述證法中，證得 be 垂直平分 an 后，可得 ammn，所以mnamannae，所以 mn ae，則 amne 是平行四邊形，又 ammn 所以 amne 是菱形證法一：因為bac90，adbc，所以badc因為 be 平分abc，所以abeebc因為amebad+abec+ebcaem，所以 amae，又因為 an 平分dac，所以 ammn，所以 ammnneae所以 amne 是菱形證法二：同上

8、，若證 an 垂直平分 me，再證 be 垂直平分 an，則 ammn，所以mna=mna=nae.所以 mn ae所以 amne 是平行四邊形，由 ammn 得 amne 是菱形例 3已知：如圖菱形 abcd 中，deab 于點 e，且 oade，邊長 ad8，求菱形 abcd的面積分析：由菱形的對角線互相垂直知 oa 是abd 的邊 bd 上的高，又由 deab，oade，易知aoddea 從而知abd 是等邊三角形，從而菱形 abcd 面積可求解：在菱形 abcd 中，因為 acbd，所以aod 是直角三角形，因為 deab，所以aed是直角三角形在 rtaod 和 rtaed 中，因為

9、 adad，deoa，所以 rtaodrtdea所以adodae，因為 abcd 為菱形，所以adoabo，所以abd 是等邊三角形因為 ad8，13deab，所以 ae ad4，在 rtaed 中，de ad2 ae2 =4.從而 sabde菱形 abcd23384=32注意：題中是將菱形的面積按一般的平行四邊形面積公式計算的，當然也可以求出對角 1= acbd 來計算，但后者較繁復線 ac，bd 的長，按 s2菱形 abcd例 4已知：如圖，abcd 中，ad2ab，將 cd 向兩邊分別延長到 e，f 使 cdcedf.求證：aebf分析：注意abcd 中，ad2ab 這一特殊條件，因此a

10、bcd 能分成兩個菱形從而可以通過菱形的對角線互相垂直來證明證明：設 ae 交 bc 于點 g，bf 交 ad 于點 h，連結 gh.因為 abdf，所以f=abh，1fdh=bah.又因為 abcddf，所以abhdfh.所以 ahhd= ad=ab.所以 bc ah，2bg=ab則四邊形 abgh 是菱形，所以 aebf.例 5如圖所示，ad 是abc 的角平分線，ef 垂直平分 ad，分別交 ab 于 e，交 ac 于 f，則四邊形 aedf 是菱形嗎？請說明理由分析：由已知判斷aof 和dof 是關于直線 ef 成軸對稱圖形，再由軸對稱的特征，得到oafodf，再結合已知得到odfoa

11、e，從而判斷dfae，得到 aedf 是平行四邊形，進一步推出對角線互相垂直平分，得到 aedf 是菱形。解：四邊形 aedf 是菱形，理由如下：因為，ef 垂直平分 ad，所以，aof 與dof 關于直線 ef 成軸對稱所以odfoaf，又因為 ad 平分bac，即oaf=oae 所以odfoae所以 aedf 同樣的道理可得 deaf所以四邊形 aedf 是平行四邊形，所以 eo=of，即aedf 的對角線 ad，ef 互相垂直平分aedf 是菱形注意：用軸對稱，平移和旋轉的觀點處理幾何問題，往往會得到意想不到的效果例 6如圖所示，將寬度為 1 的兩張紙條交叉重疊在一起，得到重疊部分為四邊

12、形 abcd，四邊形 abcd 為菱形嗎？為什么？分析：紙條的寬度即是圖中線段ae，af 的長，而 ae，af 又分別與 bc，cd 垂直因此，如果 abcd 是平行四邊形，則 ae，af 即為它的高，再從面積入手不難推出 abcd 是菱形解：四邊形 abcd 為菱形因為：由已知可得，abcd，adbc，所以，四邊形 abcd是平行四邊形，由紙條的寬度為 1，知 aeaf1，又因為abcd 的面積=bcaecdaf， 所以 bccd，故平行四邊形 abcd 為菱形例 7已知：如圖所示，e 為菱形 abcd 邊 bc 上一點，且 ab=ae，ae 交 bd 于 o，且dae2bae，求證：ebo

13、a分析：要 eboa，證它們所在的三角形全等，即aodbea證明：四邊形 abcd 為菱形，adbc，ad=ba，abcadc2adb daeaebab=ae,abcaeb abc=daedae2bae，baeadb又adba aodbea aobe創(chuàng)新思維例 1已知：如圖所示，菱形abcd，e 是 ab 中點，deab，ab=a，求：（1）abc 的度數(shù) （2）ac 的長 （3）菱形 abcd 的面積解（1）e 為 ab 中點，abcd 為菱形11eaeb ab ad22deab 130，dab60dab 為等邊三角形 abc1203（2）oadea，ac2oa 3 a21133a a =a

14、2（3）s acbdabcd222例 2四邊形四邊長為 a、b、c、d，且 a +b +c +d =4abcd.試判定四邊形的形狀4444分析：由 a +b +c +d =4abcd 得4444a -2a b +b +c -2c d +d =4abcd-2a b -2c d2 24224422422（a -b ） +（c -d ） +2a b -4abcd+2c d =0.222222222 2（a -b ） +（c -d ） +2(ab-cd) =0.2222222所以 a -b =0，c -d =0，ab-cd=0.2222所以 ab，cd，ac解：此四邊形為菱形例 3如圖：rtabc 中

15、，a90，b 的平分線交 ac 于 d，自 a 作 ahbc 于 h，交bd 于點 e，自 d 點作 dfbc 于 f，求證：四邊形 aefd 為菱形 分析：由已知條件可選擇菱形的判別方法，證明四邊相等證明aed90-dbh，ade90-abd，又dbh=abd，aedade又aeadabd=dbh，daab，dfbf addfahbc，dfbc aedfae df，四邊形 adfe 為平行四邊形又addf 四邊形 adfe 為菱形例 4已知一張矩形紙片 abcd，aba，bcab.如圖所示，將紙片沿 ef 折疊，使頂點a與c重合（1）試證，四邊形 aecf 是菱形（2）若折疊后，紙片重疊的兩

16、部分面積和為 2a ，求此矩形的周長2分析：由軸對稱性，易知 affc，aeec又由 abcd 為矩形，知afooec，所以oecofc，所以 ecfc證明（1）由已知得aef 與efc 關于 ef 所在的直線對稱：affc，aeec，afocfo 又abcd 為矩形 afooecoecofc ecfc 即四邊形 aecf 為菱形解（2）由 s =a ，aba 得 ec2a2efcec cb2(2a) a3a，所以 bc在 rtecb中，ebeb2 =22 =be+ec=3a+2a=(2+ 3)a，所以周長為（6+2 3）a中考練兵1如圖，已知菱形 abcd 的周長為 20cm，a：abc1：

17、2，則對角線 bd 的長等cm.解：四邊形 abcd 為菱形1abaddcbc 205cm adbc4a+abc180設aa 則abc2a，a+2a180 a60，2a120abd 為等邊三角形 bdad5cm 故應填 5cm. 2已知菱形的一條對角線的長為 12cm，面積是 30cm2，則這個菱形的另一條對角線的cm.長為1解：菱形的面積= ab 其中 a12cm 則 b5cm 應填 5cm23如圖在菱形 abcd 中，若abc120，則 bc：ac 的值等于（ ）3 :23 :33 :1abc1:2d解：bd：acd0：ao 設 oda，因為dab60所以da030，所以 da2a，所-o

18、d333 :3 故選 b2 = a 即 bd：acod：oaa： a =以 oa= ad24已知，如圖四邊形abcd 為菱形，f 是 ab 上一點，df 交 ac 于 e，求證：afd=cbe證明：四邊形 abcd 為菱形bccd，cdab，bcadcacbecde cbe=cdecde=afd afd=cbe5已知菱形的兩條對角線長分別為 6 和 8，則它的邊長為.3 + 42 =5解：由菱形的性質可知，邊長=應填52隨堂演練一、填空題1菱形的對角線長為 24 和 10，則菱形的邊長為，周長為.2菱形的一邊與兩條對角線構成的二角之比為 5：4，則菱形的各內(nèi)角為，.3菱形的兩條對角線分別為 3

19、 和 7，則菱形的面積為. 4已知在菱形 abcd 中，e，f 是 bc，cd 上的點，且 aeefafab，則b=5已知菱形兩鄰角的比是 1：2，周長為 40cm，則較短對角線的長是.6已知菱形的面積等于 80cm ，高等于 8cm，則菱形的周長為2.7已知菱形 abcd 中 aebc，垂足 e，f 分別為 bc，cd 的中點，那么eaf 的度數(shù)為8順次連結菱形各邊的中點，所得的四邊形為 形二、選擇題1能夠判定一個四邊形是菱形的條件是（ ）a對角線相等且互相平分b對角線相等且對角相等c對角線互相垂直d兩組對角分別相等且一條對角線平分一組對角2菱形 abcd，若a:b2：1，cad 的平分線

20、ae 和邊 cd 之間的關系是（ ）a相等b互相垂直且不平分d垂直且平分c互相平分且不垂直43已知菱形 abcd 的周長為 40cm，bd= ac，則菱形的面積為（ ）3a96cm24菱形的周長等于高的 8 倍，則這個菱形較大內(nèi)角是（ ）a60 b90 c120 d1505菱形具有而矩形不具有的性質是（ ）b94cm2c92cm2d90cm2a對角線互相平分c對角線相等b對角線互相垂直d對邊平行且相等6下列說法正確的是（ ）a對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形b對角線相等的四邊形是矩形c對角線互相垂直平分的四邊形是菱形d鄰邊相等的四邊形為菱形7矩形具有而菱形不具有的性質是（ ）a對角相等且互補

21、b對角線互相平分c一組對邊平行，另一組對邊相等d對角線互相垂直8菱形的對角線把它分成全等的直角三角形的個數(shù)是（ ）a4 個b3 個c2 個d1 個三、解答題1如圖，在菱形 abcd 中，延長 ad 到 e，連結 be 交 cd 于 h，交 ac 于 f，且 bfde，求證：dhhf.2如圖，在菱形abcd 中,e 是 ad 的中點，efac 交 cb 的延長于 f，交ac 于 m，求證：ab 與 ef 互相平分 3已知菱形的面積為 24cm2，邊長為 5cm，求該菱形中一組對邊之間的距離4已知：如圖，在菱形abcd 中，bd 是對角線，過d 作 deba 交 ba 延長線于點 e，若bd2de

22、，ab4，求菱形的面積。5如圖，在abcd 中，對角線 ac 的垂直平分線交 ad 于 e，交 bc 于 f，求證：四邊形afce 是菱形6已知：如圖，四邊形abcd 中，acbd，e，f，g，h 分別為 ab，bc，cd，ad 的中點，求證：四邊形 efgh 是菱形參考答案一、填空題21113，52 2100,80,100,80 34802510cm 點撥：兩鄰有為 60，120，邊長為 10，兩邊和較短的對角線組成等邊三 角形6.40cm 760 8矩形二、選擇題1 d 2d 點撥：acd 是等邊三角形 3a 4d 點撥：畫出圖形即可求解 5b6c 7a 8a三、解答題1證明：如圖(1)1 所示，連結 fd，在菱形 abcd 中,ac 平分bcd cdcbdcfbcffcfc dcfbcf（sas）fdccbf df=bfbfde dfde dfe=eaebc e=cbf dfe=fdc dhhf點撥：欲證 dhhf，在同一個三角形中，只要兩