專題二：平行四邊形常用輔助線的作法(精排版)

1、專題講義平行四邊形+幾何輔助線的作法、知識點1 四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：(1) 四邊形的內(nèi)角和等于360;(2) 四邊形的外角和等于360 .2. 多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：(1) n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180 (2) 任意多邊形的外角和等于 3603. 平行四邊形的性質(zhì)：17性質(zhì)四邊形ABCD是平行四邊形判定(1) 兩組對邊分別平行;(2) 兩組對邊分別相等;(3) 兩組對角分別相等;(4) 對角線互相平分；(5) 鄰角互補.4、平行四邊形判定方法的選擇已知條件選擇的力定方法I邊1 一鯽邊幘L訛沁一組對邊平行定文方法1),方送一級對命相警方法5方搓5、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法

2、(1)利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形C例1、如圖，已知點O是平行四邊形ABCD勺對角線AC的中點，四邊形OCD是平行四邊形 求證：OE與AD互相平分.說明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求 證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)， 可 試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形:(2)利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形例2、如圖，在 ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF ED/AC, FG/AC交BC分別為D, G.說明：當(dāng)圖形中涉及到一組對邊平 行時，可通過作平行線構(gòu)造另一組 對邊平行，得到平行四邊形解決問(3) 利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3、如圖，已知 ADS ABC的中線，BE交AC于E，交A

3、D于F，且AE=EF求證BF=AC.說明：本題通過利用對角線互相平分構(gòu)造平行 四邊形，實際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊 形.當(dāng)已知中點或中線應(yīng)思考這種方法（4）連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個全等三角形。例4、如圖，在平行四邊形ABCD中，點E,F在對角線AC上，且AE CF ,請你以F為一 個端點，和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新線段,猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）DC（5）平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例5、如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點0,如果AC 12，A、 1 m 11B 、2 m 22DCBD 10，AB m，那

4、么m的取值范圍是（）C、10 m 12（6）過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例6、已知：如圖，四邊形 ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2(7) 延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形例7、已知：如右上圖4，在正方形ABCD 中,于P點，求證：AP AB、課堂練習(xí):1、如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，AC與DE相交于點F ,若平行四邊形ABCD的面積為s，則圖中面積為Is的三角形有(2A. 1個 B . 2個2、順次連接一個任意四邊形四邊的中點，得到一個 四邊形.3、如圖，AD，BC垂直相交于點 O,

5、AB / CD，貝U AB+CD的長=。BC=8，4、已知等邊三角形 ABC的邊長為a，P是厶ABC內(nèi)一點，PD/ AB PE/ BC，PF / AC,點DE、F 分別在 BC、AC AB上，猜想：PM PE+PF=并證明你的K猜想.5、平行四邊形ABCD中, E,G,F,H分別是四條邊上的點，且 AE CF , BC DH ,試說明：EF與GH相互平分.8、如圖，E是梯形ABCD要DC的中點.試說明:S ABE2s梯形2ABCDDE6如圖，平行四邊形 ABCD勺對角線AC和BD交于O, E、F分別為OB 0D的中點，過0 任作一直線分別交AB CD于G、H.試說明：GF/ EH7、如圖，已知

6、AB AC , B是AD的中點,試說明：CD 2CE9、已知六邊形 ABCDEF勺 6 個內(nèi)角均為 120, CD= 2cm, BC= 8cm, AB= 8cm, AF=5cm 試求此六邊形的周長.10、已知 ABC是等腰三角形，AB=AC D是BC邊上的任一點，且DE ABDF AC,CH AB，垂足分別為 E、F、H,求證：DE DF CH11、已知：在 Rt ABC中，AB BC ;在Rt ADE中，AD DE ;連結(jié)EC，取EC的中點 M，連結(jié)DM和BM .（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖，求證：BM DM 且 BM DM ;（2） 如果將圖8-中的ADE繞點

7、A逆時針旋轉(zhuǎn)小于45的角，如圖，那么（1） 中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明.B圖圖-答案：例4、 連結(jié)BFBF DE證明：連結(jié)DB,DF,設(shè)DB,AC交于點0四邊形ABCD為平行四邊形 A0OC, DO OB AE FC A0AE OC FC 即 OE OF四邊形EBFD為平行四邊形 BFDE例5、解：將線段DB沿DC方向平移，使得DBCE, DCBE,則有四邊形CDBE為平行四邊形,在ACE中,AC12,CEBD10,AE 2AB 2m- 12 10 2m1210,即 22m22解得1 m 11故選A例6、證明：過代D分別作AEBC于點E ,DFBC的延長線

8、于點F AC2AE2 CE2AB2 BE2 (BCBE)2AB2 BC2 2BE BCBD22 2DF 2 BF2(CD2 22 CF2)(BCCF)22 2CDBC 2BC CF貝U AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BE四邊形ABCD為平行四邊形二AB / CD且ABCD , AD BC) ABCDCFT AEBDFC 90C ABEDCF BE CF2 2 2 ACBDABBC2CD2 DA2例7、證明：延長CF交BA的延長線于點K四邊形ABCD為正方形 AB / CD 且 AB CD, CD AD , BADBCDD9001K又DDAK 90, DF

9、 AF CDF 也KAF AK CD AB-1CE -iCD DF2 ，1 AD2 CE DFI BCDD 900 BCE也 CDF 1 2T 13900 23900 CPB900,貝U KPB900 AP AB二、課堂練習(xí)1、C2、平行3、104、a5、分析：觀察圖形，EF與HG為四邊形HEGF的對角線，若能說明四邊形HEGF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分這一性質(zhì)即可得到EF與GH相A6分析：觀察圖形，GF與EH為四邊形GEHF的對邊，若能說明四邊形 EHFG是平行邊形具有對邊平行的性質(zhì)可得 GF / EH .H四邊形，平行四7、分析：延長CE至F,使EF = CE，連結(jié)AF、

10、BF ,得四邊形AFBC是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)證明 DBCFBC即可8、分析：過點E作MN / AB，交BC于N，交AD的延長線于M，則四邊形ABNM是平行四邊形, ABE與四邊形ABNM等底等高，所以Smbe =2S梯形ABCD = S平行四邊形ABNM 即可。D平行四邊形ABNM，接下來說明9、:, 1=120% /.|u打監(jiān) -4=_7=_S=(.t 椎導(dǎo)出ACBH都是正三pa-GA=FA=5R -O他片CD-DH-CH2r H=60.丁 B+AEHGA, G+ F=lfiODJ AC；F/rRH閡此平和回勉龍.GB=GA+AB=5-H=13, BH=BC-H?H=+2=10

11、.四邊JfeCBHE的冏氏円心+譏沁=Ai*的周悵的周忙=0q功形CHF的周長.5-2-39,10、 證明：過D點作DG丄CH于G又DE丄AB于E，CH丄AB于H四邊形DGHE為矩形/ B = / GDC又 AB = AC/ GDC = / ACB又/ DGC = / DFC = 90 CDG DCF (AAS ) DE = GHEH / DG/ B = / ACBCD = DC (公共邊) DF = CG又 CH = CG + GHCH = DF + DG （等量代換）11、一一 八-一-_二占】二 一:_、亠_一一_I. 1 I 1- I=,冒* LT-廠*r-1 1晁魅瘵,更聊?湍 譏

12、瑕片7；臨 Ed=- E爲(wèi).*.:班彷磁1 ,；鸞 WJ4C i；: jifBME的外癰；仁 疋日曙細(xì)上if畫糾已 同理0ME-./WC+ H（D=2ZMCL:漬謝聡血迦必區(qū)癖詢對就P）老總I；密r絶“跳諭嘛也 訶 備i訥如圖-廷長DM到 陽 使NN-LH逹結(jié)BJh BN，OtEICK , ZEM1J=ZC HK , IrfrUll=EN. LM=W.；mMHDM 且 EM丄 114：平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同 性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三 角形的全等、相似，把平行四邊形

13、問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常 用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2 ）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或 中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5 ）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等 第一類：連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個全等三角形例1如左下圖1,在平行四邊形ABCD中，點E,F在對角線AC上，且AE CF請你 以F為一個端點，和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證

14、明一條線段即可）連結(jié)BFBF DE證明：連結(jié)DB,DF,設(shè)DB,AC交于點0四邊形ABCD為平行四邊形 AO OC, DO 0B AE FC二 A0四邊形EBFD為平行四邊形AE0CFC 即 OE OF BF DE圖1圖2第二類：平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O ,如果AC 12，BD 10, AB m，那么m的取值范圍是（）A1 m 11B2 m 22C10 m 12D5 m 6解：將線段DB沿DC方向平移，使得DB CE,DC BE,則有四邊形CDBE為平行四 邊形，在 ACE 中，AC 12,CE BD 10, AE 2

15、AB 2m12 10 2m 12 10，即 2 2m 22 解得 1 m 11故選 A第三類：過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例3已知：如左下圖3,四邊形ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2證明：過A,D分別作AEBC于點E，DFBC的延長線于點F. AC2AE2CE2AB2BE2 (BCBE)2AB2 BC2 2BE BCBD2DF2BF2(CD2CF2)(BCCF)2 CD2 BC2 2BC CF貝U AC2 BD2CD2AB2 BC2DA2 2BC CF 2BC BE四邊形ABCD為平行四邊形 AB / CD 且 AB

16、 CD , AD BC ABC DCF/ AEB DFC 90 ABE DCF BE CF AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2FFA第四類：延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4:已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點，BE與CF 交于P點，求證：AP AB證明：延長CF交BA的延長線于點K四邊形ABCD為正方形AB / CD 且 AB CD, CD AD , BADBCDD 9001K又TDDAK 900, DFAF CDF 也 KAFAKCD AB1 1T CE CD DF 12 2AD CE DFBCD D 900BCE也 CDFI 13 900 23 900 CPB 90,貝U KPB 90 AP AB第五類：延長一邊上一點與一頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5,在平行四邊形ABCD中，點E為邊CD上任一點，請你在該圖基礎(chǔ)上， 適當(dāng)添加輔助線找出兩對相似三角形。解：延長AE與BC的延長線相交于F ，則有 AED s FEC , FAB s FEC , AED s FABFD1BN ,BE -BC , NE3BDOD2第六