優(yōu)品課件之余弦定理導(dǎo)學(xué)案

1、優(yōu)品課件 余弦定理導(dǎo)學(xué)案 余弦定理導(dǎo)學(xué)案 高二年級(jí)數(shù)學(xué)組 知能目標(biāo)解讀1.通過(guò)對(duì)任意三角 形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握余弦定理，理解用數(shù)量積推導(dǎo)余弦定 理的過(guò)程，并體會(huì)向量在解決三角形的度量問(wèn)題時(shí)的作用？ 2. 了解余弦定理的幾種變形公式及形式.？3.會(huì)從方程的角度來(lái)理 解余弦定理的作用及適用范圍，并會(huì)用余弦定理解決“已知三邊求三 角形的三角”及“已知兩邊及其夾角求三角形中其他的邊和角”等 問(wèn)題.?4.能熟練應(yīng)用余弦定理解三角形以及現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際 問(wèn)題.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：余弦定理的證明及其應(yīng)用.? 難 點(diǎn)：處理三角形問(wèn)題恰當(dāng)?shù)剡x擇正弦定理或余弦定理 .學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) 一、余弦定理？ 1.余弦定

2、理：在 ABC中，/ A,/ B,/C的對(duì)邊 分別為a, b, c,那么有如下結(jié)論： a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. ?吃慈？ 角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角 的余弦的積的兩倍.這一結(jié)論叫做余弦定理，它揭示了任意三角形邊 角之間的客觀規(guī)律.也是解三角形的重要工具.？ 了S圍猓? （1） 在余弦定理的每一個(gè)等式中含有四個(gè)量，利用方程的思想，可以知三 求一.？（2）余弦定理也為求三角形的有關(guān)量（如面積，外接圓， 內(nèi)切圓等）提供了工具，它可以用來(lái)判定三角形的形狀，證明三角形 中的有關(guān)等式，在一定程度上

3、，它比正弦定理的應(yīng)用更加廣泛.？2. 關(guān)于公式的變形：將余弦定理稍加變形，可以得到另外的形式，我們 稱(chēng)為余弦定理的推論.掌握這些表達(dá)形式，可以幫助我們深入理解和 靈活應(yīng)用余弦定理.? cosA二，cosB二，cosC二.?由上述變形， 結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可知道：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第 三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角，如果小于第三邊的平方， 那么第三邊所對(duì)的角為鈍角，如果大于第三邊的平方，那么第三邊所 對(duì)的角為銳角.從這一點(diǎn)說(shuō)，余弦定理可以看作勾股定理的推廣，而 勾股定理則是余弦定理的特例.?二、余弦定理的證明？ 教材 中給出了用向量的數(shù)量積證明余弦定理的方法，是平面向量知識(shí)在

4、解 三角形中的應(yīng)用.另外，對(duì)余弦定理的證明，還可以應(yīng)用解析法、幾 何法等方法證明.? 證明：方法1：（解析法）如圖所示，以 A為 原點(diǎn)， ABC勺邊AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.？ 則A(0,0 ) ,C(bcosA,bsinA),B(c,O),?由兩點(diǎn)間的距離公式得 BC2=(bcosA-c)2+(bsinA-O) 2, ? 即 a2=b2+c2-2bccosA. ? 同 理可證 b2=a2+c2-2accosB, ? c2=a2+b2-2abcosC.方法 2：(幾何 法)如圖.當(dāng)厶ABC為銳角三角形時(shí)，過(guò) C作CDLAB于D,貝S CD=bsi nA,? AD=bcosA,BD=A

5、B-AD=c-bcosA? 了 ?在 Rt BCD中, BC2=CD2+BD2, 即 a2=b2sin2A+(c-bcosA) 2. 所以 a2=b2+c2-2bccosA. ? 同理可 證 b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. ? 如圖，當(dāng) ABC為鈍 角三角形時(shí)，過(guò)C作CD垂直于AB的延長(zhǎng)線，垂足為D, 則 AD=bcosA,CD=bsinA? BD=AD-AB=bcosA-c.? 在 Rt BCD 中,BC2=CD2+BD2即卩 a2二b2sin2A+ (bcosA-c) 2. ? 所以 a2=b2+c2-2bccosA. ?同理可證： b2=a2+c2-

6、2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.三、余弦定理的應(yīng)用？ 余 弦定理主要適用以下兩種題型:?(1)已知三邊求三角，用余弦 定理，有解時(shí)只有一解；？(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三 邊和其他的角，用余弦定理，必有一解.注意：？ 在應(yīng)用余弦定 理求三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，容易出現(xiàn)增解，原因是余弦定理中涉及的是邊 長(zhǎng)的平方，求得結(jié)果常有兩解，因此，解題時(shí)需要特別注意三角形三 邊長(zhǎng)度應(yīng)滿(mǎn)足的基本條件.知能自主梳理1.余弦定理(1)語(yǔ)言敘 述：？三角形任何一邊的平方等于減去 的積的.?(2)公式表達(dá):? a2=; ?b2=; ? c2=. ?(3)變形：? cosA=; ? cosB=; ? c

7、osC=. ?2.余弦定理及其變形的應(yīng)用？ 應(yīng) 用余弦定理及其變形可解決兩類(lèi)解三角形的問(wèn)題，一類(lèi)是已知兩邊及 其解三角形，另一類(lèi)是已知 解三角形.答案1.(1)其他兩邊的平方和這兩邊與它們夾角 的余弦兩倍(2) b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC (3)2.夾角三邊？ 思路方法技巧命題 方向 已知三邊解三角形 例1 在厶ABC中,已知a=7,b=3,c=5 , 求最大角和sinC. ? 了。鄯治觶蕁三諶?角形中，大邊對(duì)大角，所 以a邊所對(duì)角最大.？ To勱馕觶蕁 ? acb,.A為最大角，? 由余弦定理得，cosA= = = , ?又T 0v A

8、v 180,? T ? A=120 ,sinA=sin 120=?由正弦定理 = 得，？ sinC二=.? 二最大角 A 為 120, sinC二.?說(shuō)明(1) 求sinC也可用下面方法求解：？ cosC= = = , .C為銳角.？ sinC二=.?(2)在解三角形時(shí)，有時(shí)既可用余弦定理，也可用 正弦定理.變式應(yīng)用1在厶ABC中,已知(b+c) : (c+a) : (a+b)=4 : 5: 6,求厶 ABC的最大內(nèi)角.？ 解析設(shè) b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k 0). ? T? 則 a+b+c=7.5k,解得 a=3.5k,b=2.5k,c=1.5k.?/.a 是最大邊，即角A

9、是厶ABC的最大角.？由余弦定理，得cosA= =-,?t 0v Av 180 , / A=120,即最大角為 120 .命題方 向 已知兩邊及一角解三角形例2 ABC中，已知 b=3,c=3 , / B=30 ,解三角形.分析由題目可知以下信息： ?已知兩邊和其中一邊的對(duì)角.？求另外的兩角和另一 邊.? 解答本題可先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的邊和角， 也可由余弦定理列出關(guān)于邊長(zhǎng) a的方程，求出邊a,再由正弦定理求 角A,角C.解析解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB, ? 得 32=a2+(3 )2- 2aX 3 x cos30, ?/ a2-9a+18=0,得 a=

10、3 或 6. ? 當(dāng) a=3 時(shí)，/ A=30 , / C=120 . ? 當(dāng) a=6 時(shí)，由正弦定 理 si nA二=1. ?A=90 ,/ C=60 . ?解法二：由 bcsin30 =3 x =知本題有兩解.？由正弦定理 sinC二=,?C=60 或 120, ? 當(dāng)/ C=60 時(shí)， /A=90,?由勾股定理 a= = =6.? 當(dāng)/C=120 時(shí)，/A=30, ABC為等腰三角形，？/ a=3. ? 說(shuō)明 知兩邊和一角解 三角形時(shí)有兩種方法：？( 1)利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等 量關(guān)系建立方程，運(yùn)用解方程的方法求出此邊長(zhǎng)？ (2)直接用正 弦定理，先求角再求邊.? 用方法(2)時(shí)

11、要注意解的情況，用方 法(1)就避免了取舍解的麻煩.? 變式應(yīng)用2在厶ABC中，a、b、 c分別是/ A、/ B、/C的對(duì)邊，且cosA二,若a=4,b+c=6,且bc,求 b、c的值.?解析余弦定理得？ cosA= = , ? 二=,? 又 b+c=6,a=4,bc=8, ?b=2c=4 b=4 c=2 又 bc,二b=2,c=4. ?命題方向 判斷三角形的形狀 例3 ABC 中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 2cosAsinB二sinC，確定 ABC的形 狀.? ToW治觶蕁捎諞閻？條件等式中既含有邊的關(guān)系，又含有 角的關(guān)系，因此在判斷三角形的形狀時(shí)，可考慮將邊統(tǒng)一成角或?qū)?/p>

12、角 統(tǒng)一成邊.?解析解法一：利用角的關(guān)系來(lái)判斷.? v A+B+C=180 ,二 sinC=sin(A+B). ? 又 t 2cosAsinB二sinC, ? 2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB, ?sin(A-B)=0. ? vA 與 B 均為 ABC的內(nèi)角，A=B.? 又v (a+b+c)(a+b -c)=3ab, ? (a+b) 2 -c2=3ab,a2+b2-c2+2ab=3ab,根據(jù)余弦定理，上式可化為 2abcosC+2ab=3ab,? 解得 cosC=，二 C=60 . ?故厶 ABC為等邊 三角形.? 解法二：利用邊的關(guān)系來(lái)確定？ 由正弦定理，得 =.?由

13、2cosA?sinB=sinC,得？ cosA= = . ? 又 v cosA=，二 =,? 即 c2=b2+c2-a2, a=b.又 v (a+b+c)(a+b -c)=3ab, ? (a+b) 2 - c2=3ab, 4b2-c2=3b2, ? b=c, a=b=c. ? 因此 ABC為等邊三角形.?說(shuō)明判斷三角形的形狀主要有 兩種思路：其一是利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通 過(guò)代數(shù)變換(一般是因式分解)得到邊的關(guān)系，最終判斷出該三角形 的形狀；其二是利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，通過(guò) 三角恒等變換得到角的關(guān)系，最終判斷該三角形的形狀.在實(shí)際應(yīng)用 中應(yīng)針對(duì)具體的題目

14、，靈活選用解決問(wèn)題的方法.變式應(yīng)用3 ABC 中，AB= 5,BC=6,AC=8,則厶ABC勺形狀是()？ A.銳角三角形 B. 直角三角形？ C.鈍角三角形D.非鈍 角三角形？ 答案 C? 解析利用余弦定理判斷最大 角的余弦值是大于0、等于0還是小于0,即可對(duì)其形狀作出判斷？ 匕蛭？ cosB= =- b2+c2,這些都是可以從余弦定 理中直接推導(dǎo)的.？解析2a+1,a,2a-1是三角形的三邊,? 2a+10 /.a0?厲? 2a-1 0, 解得a，此時(shí)2a+1最大.?二要使2a+1,a,2a-1表示三角形的 三邊，還需a+(2a-1) 2a+1,解得a2.?設(shè)最長(zhǎng)邊2a+1所對(duì)的 角為0

15、,則cos 0 = = v0, ? 解得 v av 8, Aa的取值范圍是2v a v8. ? To 鬯得鰨蕁”咎庖綴鍪庸鉤扇？角形的條件a2,而直接 應(yīng)用余弦定理求解，從而使a的范圍擴(kuò)大.變式應(yīng)用4.已知銳角三 角形三邊長(zhǎng)分別為2, 3, x，求x的取值范圍.解析由三角形 三邊的關(guān)系有3-2 v xv 3+2,即1v xv 5. ?又丁三角形為銳角三 角形，由余弦定理可知任一邊的平方小于另兩邊平方和.？ x2 v 22+32 即32v x2+22 x2 v 13 x2 55v x2 v13 即x 0 解得v xv , ? Ax的取值范圍為(，).課堂鞏固訓(xùn)練 一、 選擇題？ 1.在厶ABC中

16、,若abc,且c2a2+b2,則厶ABC為() ? A.直角三角形B.銳角三角形？ C. 鈍角三角形D.不存在? 答案 B?解析vabc,且 c2a2+b2, A/C 為銳角.又v/C 為最 大角.故選B. 2. ABC的內(nèi)角A B、C的對(duì)邊分別為a, b, c,若a, b, c 滿(mǎn)足 b2=ac,且 c=2a,則 cosB= () ? A. B. C.D.答案B?解 析由 b2=ac,又 c=2a，由余弦定理，得 cosB= = = . 3.(2011? 四川理，6)在厶 ABC中, sin2A sin2B+sin2C -sinBsinC,貝S A 的取 值范圍是()A.(0,B. :,n

17、)?C.(0,D. :,n )?答案C?解析本題主要考查正余弦定理， t sin2A sin2B+sin2C -sinBsinC, 由正弦定理得：a2 be,由余弦定理得：cosA= =，二 0Abc, ? 最大角為 A.sinA二,若 A 為銳角， 則A=60, ?廠? CvBvAA+B+C180，這顯然不可能，A 為鈍 角. cosA二,? 設(shè) c=x,貝卩 b=x+2,a=x+4. ? =- , x=3, 故三邊長(zhǎng)為3,5,7.三、解答題？6.在厶ABC中，已知b2-bc-2c2=0, 且 a= ,cosA= , 求 ABC的面積.解析t b2-bc- 2c2=0, ( )2 - -2=

18、0, ? 解得=2,即 b=2c.由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccosA,即 b2+c2- bc=6,與 b=2c 聯(lián)立解得 b=4,c=2. t cosA= , ? si nA二 =,? SA ABC= bcsi nA二.? 課后強(qiáng)化作業(yè) 一、選擇題？1.在厶ABC中, b=5,c=5 ,A=30 ,則 a 等于（）？A.5B.4C.3 D. 10 答案 A 解析 由余弦定理，得2bccosA=b2+c2-a2, ? 2X 5X 5 x cos30= 52+（5 ） 2-a2, a2=25, a=5. 2.在厶 ABC 中，已知 a2=b2+c2+bc,則角 A 為（ ）？ A.B

19、. C.D.或答案C 解析 - cosA= = , ? 又 T CA +1 -1, ? cosC=-= 4. ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,設(shè)向量p=(a+c,b), q=(b-a,c-a).若 p / q,則 /C 的大小為( B.C. T p=(a+c,b),q=(b-a,c-a) 且 p / q, 即 a2+b2-c2=ab, cosC= = = . ? 2a2=c2+( b+c) 2,則/A 的值為( B.45 C.120 析 )? A. D. n 答案B?解析 (a+c)(c -a)-b(b-a)=O, ? 二C= . 5.在厶ABC中，已知 )? A.3C D.

20、135答案D 解 由已知得 2a2=c2+2b2+c2+2 bc, ? a2=b2+c2+ bc, b2+c2-a2 = - bc, ? 又 b2+c2- a2=2bccosA, 2bccosA=- bc, cosA二，二A=135 . 6. (2011?重慶理，6)若厶ABC的內(nèi)角 A B、 C所對(duì)的邊a、b、c滿(mǎn)足(a+b) 2-c2=4，且C=60，貝S ab的值為 ()? A.B. 8-4C.1 D.答案A?解析本題主要考查余弦定理的應(yīng)用.？ 在厶 ABC中, C=60 , a2+b2-c2=2abcosC=ab, ? (a+b) 2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4, ab

21、=,選 A. 7.在厶 ABC中，三邊長(zhǎng) AB=7,BC=5,AC=6則？等于( B.-14?厲? C.-18 在厶 ABC中 AB=7,BC=5,AC=6? ? | cos( n -B) ?=- | ? | )?A.19 D.-19 貝卩 cosB=. I cosB? 答案D 解析 ?又？二 | =-7X 5X =-19. 8. 在厶ABC中，若 ABC的面積 S=(a2+b2-c2)，則/C 為( )？ A.B.C.D.:答案A 解析 由 S= (a2+b2-c2),得 absinC= x 2abcosC, tanC=1, C=.二、填 空題？9.在厶ABC中, b= ,c=2 ,A=45

22、 ,那么a的長(zhǎng) 為.?答案解析由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bcosA= +8-2x x 2 x = +8-=,所以 a= . 10.在厶 ABC 中，AB=3,BC=,AC=4,則邊AC上的高為 .? 答 案解析如圖，cosA二=,.sinA二.? .BD二AB?sinA二.11. 在 ABC中，已知 BC=8,AC=5三角形面積為 12,則 cos2C=.答案解析 由題意得 SAABC=AC?BCsinC=12, 即 x5X 8XsinC=12,則 sinC= . ? cos2C=1-2sin2C=1- 2x() 2= . 12.在厶ABC中, B=60 ,b2=ac,則三角形的形狀

23、 為.?答案等邊三角形?解析由 余弦定理得 b2=a2+c2-ac, ? t b2=ac, ? a2+c2-2ac=0, (a-c) 2=0,? a=c. ? 又 T B=60 , A=C=60 . ? 故厶 ABC為等 邊三角形.三、解答題？13.在厶 ABC中, A+C=2B,a+c=8,ac=15, 求 b.解析解法一：在 ABC中，由 A+C=2B A+B+C=180 , 知 B=60 .由 a+c=8,ac=15,則 a、c 是方程 x2-8x+15=0 的兩根.解 得a=5,c=3或a=3,c=5.由余弦定理，得 b2=a2+c2-2accosB=9+25-2x 3x5x = 19

24、.? b= . ? 解法二： 在厶ABC中, t A+C=2B,A+B+C=180, ? B=60. ? 由余弦定 理，得 b2=a2+c2-2accosB=(a+c) 2-2ac-2accosB=82- 2x 15-2x 15x =19.? b= . 14.(2011? 大綱文，18) ABC的內(nèi)角 A、B、C的 對(duì)邊分別為 a、b、c, asinA+csinC- asinC=bsinB. ? (1)求 B; ?(2)若A=75 ,b=2,求,c.分析 利用三角形正弦定理， 將已知條件asinA+csinC- asinC=bsinB 中的角轉(zhuǎn)化為邊，再利用余 弦定理即可求得B角，然后再利用正弦定理求得a, c的值.？ 解 析(1 )t asi nA+csi nC - as in C=bsi nB a2+c2- ac=b2 ? a2+c2-b2= ac ? cosB= = = B=45 ?(2)由(1)得 B=45 ? C=180 -A- B=180 -75 -45 =60 ?由正弦定理 = a=