全等三角形中做輔助線的技巧

1、精選文檔 全等三角形中做輔助線的技巧 口訣： 三角形 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn) 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn) 線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線 三角形中有中線，延長中線等中線。 一、由角平分線想到的輔助線 口訣： 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角 平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。 角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離 相等。對(duì)于有角平分線

2、的輔助線的作法，一般有兩種。 從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線； 利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形(如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊)。 通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下 考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件 與角有關(guān)的輔助線 ()、截取構(gòu)全等 F 圖1-1 B 如圖 1-1 ,ZAOC= ZBOC，如取 OE=OF，并連接 DE、DF，貝U有OED A D C 圖1-2 OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條 件。 例 1.如圖 1-2，AB/CD，BE 平分ZBC D，CE平分/BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC =AB+CD o 例2. 已

3、知：如圖 1-3，AB=2AC，ZBAD= /CAD，DA=DB，求證 DC丄 AC 例3. 已知：如圖1-4，在AABC中，/C=2 ZB,AD平分ZBAC，求證：AB -AC=CD 圖1-4 分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明 中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的 和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的 線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的 延長來證明呢？ 練習(xí) 1. 已知在ZABC 中，AD 平分/BAC，ZB=2 /C,求證：AB+BD=AC 2. 已知：在厶ABC 中，/CAB=2 ZB, AE 平分/CAB 交 BC 于 E, AB= 2AC，求證：AE

4、=2CE 3. 已知：在厶ABC中，ABAC,AD 為/BAC的平分線，M為AD上任 點(diǎn)。求證：BM-CMAB-AC 4. 已知：D是AABC的ZBAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接D B、DC。求證：BD+CDAB+AC 。 （二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等 過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線， 利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明 圖2-1 問題。 例 1.如圖 2-1，已知 ABAD, ZBAC= ZFAC,CD= BC。 求證：ZADC+ ZB=180 分析：可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證Z ADC與/B之和為平角 例2.如圖 2-2，在ABC 中，/A=90 ,

5、AB=AC ,ZABD= ZCBD。 求證：BC=AB+AD 分析：過D作DE丄BC于E,貝U AD=DE=CE ，貝U構(gòu) 造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分 圖2-2 例3.已知如圖2-3，ABC的角平分線BM、CN相交于 A 4 B 3 C 2 D 1 問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。 可編輯 1.5,DB=2.5.求 AC。 點(diǎn)，F(xiàn)為BC 上的點(diǎn)，/FAE= /DAE。求證：AF=AD+CF 。 5. 已知：如圖2-7，在RtABC中，/ACB=90 ,CD丄AB，垂足為D , AE平分/CAB交CD于F,過F作FH/AB 交BC于H。求證CF=BH。 （三）：作角平分

6、線的垂線構(gòu)造等腰三角形 從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線， 使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形, 垂足為底邊上的中點(diǎn)， 該角平分線又成為底邊上的中線和高， 以利用中位線的性質(zhì)與等腰三 角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一 邊相交）。 例 1. 已知：如圖 3-1，ZBAD= ZDAC，ABAC,CD 丄AD C 1 于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=（AB-AC ） F 分析：延長CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問題可證 例2.已知：如圖 3-2，AB=AC，ZBAC=90 ，AD 為/ ABC的平分線，CE丄BE.求證：BD=2CE。 分

7、析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的 垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角 例3 .已知：如圖3-3在ABC中，AD、AE分別 ZBAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn) B作BFAD，交AD 的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。 求證：AM=ME。 E N 圖 3-3 分析：由AD、AE是ZBAC內(nèi)外角平分線，可得E 例4. 已知：如圖3-4，在AABC中，AD平分ZBAC， AD=AB，CM 丄 AD A丄AF，從而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。 1 分析：題設(shè)中給出了角平分線 AD，自然想到以 AD為軸作對(duì)稱變換，作 交AD延長線于M。求證：AM= - (

8、AB+AC ) 1 ABD關(guān)于AD的對(duì)稱AED，然后只需證DM= - EC, 2 1 另外由求證的結(jié)果 AM= - (AB+AC )，即2AM=A B+AC，也可嘗試作 ACM關(guān)于CM的對(duì)稱 FCM， 然后只需證DF=CF即可 練習(xí)： 1. 已知：在厶ABC 中，AB=5，AC=3，D 是 BC 中點(diǎn)，AE 是ZBAC 的 平分線，且CE丄AE于E,連接DE，求DE 2. 已知BE、BF分別是AABC 的ZABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF丄B 1 F于F，AE丄BE于E,連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN= - BC （四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線 有角平分線時(shí)，常過角平分

9、線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰 三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交， 從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。 圖4-1 圖4-2 如圖，ABAC, /仁Z2，求證: 例 5 如圖，BCBA，BD 平分/ABC,且 AD=CD，求證：/A+ /C=180。 例6 +CD o 女口圖，AB /CD, AE、 練習(xí): 1. 已知，如圖，/ C=2 ZA, AC=2BC。求證：AABC是直角三角形 C 2 .已知：如圖，AB=2AC，/仁 Z2, DA=DB，求證：DC 丄AC C 3 .已知CE、AD是AABC的角平分線，/ B=60。，求證：

10、AC=AE+CD D 4.已知：如圖在厶ABC中，/A=90 ,AB=AC , BD是/ABC的平分線, 求證：BC=AB+AD 二、由線段和差想到的輔助線 口訣： 線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法： 1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等 于另一條； 2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線 段等于長線段。 對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第 三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。 一、 在利用三角形

11、三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可 連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如： 例1、 已知如圖1-1 : D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+ACBD+DE+CE. 證明：（法一） 將DE兩邊延長分別交 AB、AC于M、N , 在KMN 中，AM+ANMD+DE+NE; （1） 在BDM 中，MB+MDBD ；（2） 在MEN 中, CN+NECE ；（3） 由（1）+（ 2）+（ 3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC （法二：圖 1-2 ） 延長BD交

12、AC于F,廷長CE交BF于G,在AABF 和A3FC和GDE中有: AB+AFBD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（ 1） GF+FOGE+CE （同上）（2） DG+GEDE （同上）（3） 由（1） + （2） + （3）得： AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+ 圖2 1 DE AB+ACBD+DE+EC 。 二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來 時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的 位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理： 例如：如圖2-1 :已知D為AABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證

13、：/ BDC ZBAC 分析:因?yàn)閆BDC與ZBAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添 加輔助線構(gòu)造新的三角形，使ZBDC處于在外角的位置，ZBAC處于在內(nèi)角的位 置; 證法 :延長BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)ZBDC是生DC的外角, zBDC /DEC，同理ZDEC ZBAC，a/BDC ZBAC 證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時(shí)ZBDF是ABD的 夕卜角，：/BDF /BAD，同理，Z CDF /CAD ,：ZBDF+ ZCDF ZBAD+ /CAD，即：ZBDC ZBAC。 注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位

14、置上，再利用不等式性質(zhì)證明 圖3 1 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形, 如: 例如：如圖3-1 :已知AD為AABC的中線，且Z仁 2 Z3= Z4,求證：BE+CFEF。 分析：要證BE+CFEF，可利用三角形三邊關(guān)系定 理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由 已知Z仁Z2， Z3= Z4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把 EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。 證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF ,貝U DN=DC， 在DBE和NDE中： DN=DB （輔助線作法） /仁Z2 （已知） ED=ED （公共邊） zDBE

15、dNDE （SAS） BE=NE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 同理可得：CF=NF 在ZEFN中EN+FNEF （三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CFEF。 注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段， 構(gòu)造全 等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。 三、截長補(bǔ)短法作輔助線。 例如：已知如圖6-1 :在AABC中，ABAC , Z1= Z2, P為AD 上任一點(diǎn) 求證：AB-ACPB-PC。 分析:要證：AB-AOPB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因 為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC， 故可在AB上截取AN等于AC，

16、得 AB-AC=BN，再連接PN，貝U PC=PN，又 在ZPNB 中, PB-PNvBN ， 即：AB-ACPB-PC 。 證明：（截長法） 在AB上截取AN=AC 連接PN,在AAPN和4APC中 AN=AC （輔助線作法） 上仁Z2 （已知） AP=AP （公共邊） ZAPN幻APC （SAS），/PC=PN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） T在ZBPN中，有PB-PNvBN （三角形兩邊之差小于第三邊） BP-PCvAB-AC 2 1 P C N D 證明：（補(bǔ)短法） 延長AC至M，使AM=AB，連接PM , 在MBP和/AMP中 f AB=AM （輔助線作法） /仁Z2 （已知） AP=A

17、P （公共邊） z.zABPzAMP （SAS） PB二PM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 又.在ZPCM中有：CMPM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊） AB-AOPB-PC。 例1 如圖, +BE。 例2如圖，在四邊形 ABCD中，AC平分/BAD , CE丄AB于E, AD+AB= 2AE , 求證：/ADC+ ZB=180 o 例3已知：如圖，等腰三角形 ABC 中, AB=AC , A=108 ,BD 平分 A BCo 求證：BC=AB+DC o 例4如圖，已知 RtKBC 中, ZACB=90 ,AD是/CAB的平分線，DM丄 1 AB 于 M , 且 AM=MB o 求證：CD= 2

18、 DB。 【夯實(shí)基礎(chǔ)】 例： ABC中，AD是 BAC的平分線，且 BD=CD，求證 方法1 :作DE丄AB于E,作DF丄AC于F,證明二次全等 方式1 : E 延長AD到E, 使 DE=AD , 方法2 :輔助線同上，利用面積 方法3 :倍長中線AD 連接BE 方式2 :間接倍長 C 1* E 作CF丄AD于F, 作BE丄AD的延長線于 C 延長MD DN=MD 連接BE 連接CD 【經(jīng)典例題】 例1 : ABC中，AB=5，AC=3，求中線 AD的取值范圍 提示：畫出圖形，倍長中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊 例2 :已知在厶ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，ID

19、E交BC于F,且 E 方法3 :過D作DG丄BC于G ,過E作EH丄BC的延長線于 H 證明 BDG zECH 第1題圖 A 例3 :已知在厶ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD AC 于 F,求證：AF=EF 提示：倍長 AD至G,連接BG,證明 BDG也DA 三角形BEG是等腰三角形 例4 :已知：如圖，在ABC中，AB AC，D、E在 BC 上，且 DE=EC，過 D 作 DF / BA交 AE 于點(diǎn) F,DF=AC. 求證：AE平分 BAC 提示： 方法1 :倍長AE至G,連結(jié)DG 方法2 :倍長FE至H，連結(jié)CH 例 5 :已知 CD=AB，/BDA= /BAD , AE 是AB

20、D 的中線，求證：/ C= /BAE 提示：倍長AE至F,連結(jié)DF 證明 ABE也/FDE ( SAS) 進(jìn)而證明厶ADF也/ADC ( SAS) 【融會(huì)貫通】 1、在四邊形 ABCD中，AB /DC , E為BC邊的中點(diǎn)，/ BAE= /EAF, AF與DC的延長線 相交于點(diǎn)F。試探究線段 AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 提示：延長AE、DF交于G 證明 AB=GC、AF=GF 所以 AB=AF+FC 2、如圖，AD為 ABC的中線，DE平分 于E，DF平分 ADC交AC于F.求證：BE 提示： 方法1 :在DA上截取 DG=BD，連結(jié)EG、 證明 BDE zGDEADCF

21、zDGF BDA 交 AB D 所以 BE=EG、CF=FG 利用三角形兩邊之和大于第三邊 方法2 :倍長ED至H，連結(jié)CH、FH 證明 FH=EF、CH=BE 利用三角形兩邊之和大于第三邊 3、已知：如圖， ABC中， C=90, CM AB于M , AT平分 BAC交CM于D，交 A B C BC 于 T,過 D 作 DE/AB 交 BC 于 E,求證：CT=BE. 提示：過T作TN丄AB于N 證明 BTN也/ECD 1.如圖，AB /CD , AE、DE 分別平分/BAD 各ZADE，求證：AD=AB+C D。 nn 四、由中點(diǎn)想到的輔助線 口訣: 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形

22、中有中線，延長中線等中線。 在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)， 那么首先應(yīng)該聯(lián)想到 三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、 等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。 （一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形 即如圖 1，AD 是 ABC的中線，貝U S abd=S ac= - Sa abc（因?yàn)?ABD與 ACD是等底同高的） 例1 .如圖2，A ABC中, AD是中線，延長 AD到E,使DE=AD，DF是 DCE勺中線。已知 A ABC的面積為2，求：A CDF面積。 解：因?yàn)?AD是 ABC的中線，所以 Sa ac

23、gf . Sa abc= , X 2=1，又因CD 是 A ACE的 中線，故 Sa cd=S a ace=1 ， 因DF是A CDE勺勺中線，所以Sa cd= _ Sa cd= _ X 1=。 1 A CD的面積為，。 （二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線 例2 .如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn), BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：/ BGE= /CHE。 證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF， ME是 BCD勺中位線， ME= 1 CD, AJMEF= /CHE, MF是 ABD的中位線， MF AB , AJMFE=

24、ZBGE, =L VAB=CD , AME=MF，/IEF= ZMFE , 從而 ZBGE= /CHE。 （三）、由中線應(yīng)想到延長中線 例3 .圖4，已知 ABC中, AB=5 , AC=3，連BC上的中線AD=2，求B C的長。 解：延長 AD 至U E, 使 DE=AD，貝U AE=2AD=2 X 2=4。 在 ACD和 EBD中, AD=ED , /ADC= ZEDB, CD=BD , ACDA EBAC=BE , 從而 BE=AC=3。 在 A AB沖，因 AE2+BE2=42+3 2=25=AB 2，故/E=90 , BD=匚丁 孑=_1一，故 BC=2BD=2 二。 中線。求證：A

25、B等腰三角形。 證明：延長 AD到E,使DE=AD 仿例3可證： 例4 .如圖5，已知 ABC中, AD是/BAC的平分線，AD又是BC邊上的 BEDZAC , 故 EB=AC，/E= Z2, 又/仁Z2, 力=ZE, AB=EB，從而AB=AC，即 ABC是等腰三角形 （四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì) 例5 .如圖6，已知梯形 ABCD中，AB/DC , AC丄BC, AD丄BD，求證： AC=BD 。 證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、CE,貝U DE、CE分別為Rt ABD, Rt ZA 1 BC斜邊AB上的中線，故 DE=CE= . AB，因此ZCDE= / DCE0 VAB/DC ,

26、zCDE= Z1 , ZDCE= Z2 , = Z2, 在 ADE和 BCE中 DE=CE，/仁 Z2 , AE=BE , ADEZ BCAD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD 。 精選文檔 （五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線 例6 .如圖7, ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 BD平分/ABC交A C于點(diǎn)D, CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。 證明：延長BA , CE交于點(diǎn)卩，在 BE和 BEC中, U / , BE=BE，/BEF= / BEC=90 , BEFBEEF=EC，從而 CF=2CE。 又/1+ ZF= Z3+

27、 / F=90。，故/ Z3。 在 A ABD和 A ACF中, v/1= Z3, AB=AC , ZBAD= ZC AF=90 A ABDA ACBD=CF ,：BD=2CE。 注：此例中BE是等腰A BCF的底邊CF的中線 （六）中線延長 口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。 題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線, 常延長加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可 C M 得到全等三角形 例一：如圖4-1 : AD為zABC的中線，且Z 1= Z, Z3= Z4，求證：BE+C FEF。 證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM , MF。在ABDE 和CDM 中， BD=CD （中點(diǎn)定義） Z1= Z5

28、 （對(duì)頂角相等） 可編輯 精選文檔 ED=MD （輔助線作法） BDEFDM （SAS） 又/仁 Z2 ,/3= Z4 （已知） Z1+ Z2+ Z3+ 74=180 平角的定義） Z3+ 72=90 即：ZEDF=90 /FDM= ZEDF=90 在EDF和MDF中 r* ED=MD （輔助線作法） .ZEDF= ZFDM （已證） DF=DF （公共邊） EDFdMDF （SAS） EF=MF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在MMF中，CF+CMMF （三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CFEF 上題也可加倍FD，證法同上。 注意 當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長加倍此線段，構(gòu)

29、造全等三角形，使題中分散的條件集中。 例二：如圖5-1 : AD為zABC的中線，求證：AB+AC2AD。 分析：要證 AB+AC2AD ，由圖想到：AB+BDAD,AC+CDAD ，所以 有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD ，左邊比要證結(jié)論多 BD+CD，故不能直接 證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同 一個(gè)三角形中去 證明：延長AD至E,使DE=AD , AD為ABC的中線（已知） BD=CD （中線定義） 在ACD和EBD中 r I BD=CD （已證） /仁Z2 （對(duì)頂角相等） AD=ED （輔助線作法） ZACD 也zEBD （ SAS）

30、BE=CA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在ZABE中有：AB+BEAE （三角形兩邊之和大于第三邊） AB+AC2AD 。 練習(xí)： 1如圖，AB=6 , AC=8 , D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍 可編輯 2 如圖，AB=CD，E 為 BC 的中點(diǎn)，/ BAC= ZBCA，求證：AD=2AE。 B E C 3 如圖，AB=AC , AD=AE , M 為 BE 中點(diǎn)，/BAC= /DAE=90 。求證: AM 丄 DC。 E 4，已知ABC , AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各 向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。 5 .已知：如圖AD為AABC的中線，

31、AE=EF， 證：BF=AC F 常見輔助線的作法有以下幾種: 1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思 維模式是全等變換中的“對(duì)折”. 2）遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等 三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”. 3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的 思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定 理或逆定理. 4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是 全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊” 5）截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線

32、段相 等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì) 加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目. 特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)， 常把某點(diǎn)到原三角形各頂 點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答. （一）、倍長中線（線段）造全等 1:（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是 B D C 2:如圖，AABC中，E、F分別在AB、AC 上, DE丄DF，D是中點(diǎn)，試比 較BE+CF與EF的大小.A 精選文檔 3:如圖，AABC中，BD=DC=AC , E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分ZBA E. 中

33、考應(yīng)用 (09崇文二模)以 ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt ABD和 等腰Rt ACE， BAD CAE 90，連接DE, M、N分別是BC、DE的中點(diǎn).探 究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系. (1)如圖 當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ; (2)將圖中的等腰Rt ABD繞點(diǎn)a沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0 BA,AD = CD，BD 平分 ABC，求證: A C 180 A 5:如圖在ABC中，AB AC , Z1 =Z2, P為AD上任意一點(diǎn)，求證；AB-A C PB-PC 中考應(yīng)用 （08海淀一模） 如叭在四謹(jǐn)形肋切中tAD/BCf點(diǎn)忙是

34、M上一個(gè)刖點(diǎn)，苦= 且 ZDjEC = W1判斷 肘丿+45與BC的關(guān)蔡井證矣1你的結(jié)論. 解: 例題講解： 一、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形 當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰 三角形 如圖中，若/ABC = 2 zC，如果作BD平分/ABC，則 DBC是等腰三角形； 精選文檔 如圖中，若/ABC = 2 Q,如果延長線 CB至U D，使BD = BA，連結(jié) ADUADC 是等腰三角形; 如圖中，若/B= 2 zACB,如果以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在形外作/ ACD = ZACB，交BA的延長線于點(diǎn)D，則DBC是等腰三角形 可編輯 1、如圖，

35、 ABC中, AB = AC, BD 丄 AC 交 AC 于 D.求證：/ DBC =丄 ZBAC. 2 2、如圖， ABC 中，/ACB = 2 ZB, BC= 2AC.求證：/ A = 90 、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形 當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形 如圖中，若 AD平分/BAC, AD /ECUAACE是等腰三角形; 如圖中，AD平分/ BAC , DE /AC,則ADE是等腰三角形; 如圖中，AD平分/ BAC , CE/AB，AACE是等腰三角形; D F 3、如圖， ABC 中, AB = AC,在AC上取點(diǎn)P,過點(diǎn)P作EF丄BC,交B

36、A的延長線于點(diǎn) E,垂足為點(diǎn)F.求證：.AE= AP. 4、如圖， ABC 求證：EF/AB. AD 平分/ BAC, E、F 分別在 BD、AD 上, F ED 三、利用角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形 當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形 若AD平分/BAC , AD丄DC ,則AEC是等腰三角形. A D 圖1 5、如圖 2，已知等腰 Rt ZABC 中，AB = AC ,ZBAC= 90 ,F 平分/ABC, CD丄 BD 交 BF的延長線于 D。求證： BF= 2CD. A C 四：其他方法總結(jié) 1 截長補(bǔ)短法 6、如圖，已知：正方形 ABCD中，/BAC的平

37、分線交 BC于E, 求證：AB+BE=AC . 精選文檔 可編輯 2 倍長中線法 題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將 分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。 7、如圖（7）AD是ABC的中線, 求證：AC=BF BE交AC于E, C 8、已知 ABC，AD是BC邊上的中線，分別以 三角形，如圖，求證EF= 2AD。 AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角 3 平行線法（或平移法） 若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線，對(duì)Rt 有時(shí)可作出斜邊的中線. 9、AABC 中，/BAC=60 ,/C=40 AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ABC 交 AC 于 Q

38、, 求證：AB+BP=BQ+AQ 說明：本題也可以在 AB截取AD=AQ，連0D , 構(gòu)造全等三角形，即“截長補(bǔ)短法”. 本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下: 圖（2） 如圖（1 ）,過 0作OD /BC交AC于D，則 ADO也zABO來解決. 如圖（2）,過 0作DE /BC交AB于D，交AC于E, 則ZADO也ZQO , ZABO也ZEO來解決. 如圖（3 ）,過P作PD /BQ交AB的延長線于 DUAAPD也zAPC來解決. 如圖（4），過P作PD /BQ交AC于D，則ABP也zADP來解決. 10、已知：如圖，在 ABC中，/A的平分線 AD交BC于D，且AB=AD AD的延長于M . 1 求證：AM=(AB+AC ) 2 圖（4） 鞏固練習(xí) 1、（2009年浙江省紹興市）如圖，D, E分別為 ABC的AC , BC邊的中點(diǎn)，將此三 角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處.若 CDE 48，貝U APD等于（） A. 42B. 48 C . 52D. 58 2 （2009柳州）如圖所示，圖中三角形的個(gè)數(shù)共有（） A . 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D . 4個(gè) 3、 （2009寧夏）如圖， ABC的周長為32，且AB A