(完整word版)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)第5章課后題答案(word文檔良心出品)

1、第五章習(xí)題答案 1求下面等式約束最優(yōu)化問(wèn)題可能的極值點(diǎn)，要求寫出一階必要條件并求解由一階必要條 件構(gòu)成的方程組。 max f（X,x2） = XdX2 （1） ，（2） s.t.+4x2 =16 2 max or min f （x, x2） = xi x2 2 2 s.t. 2x1x2 = 3 max or min f （x, y）二 xy s.t. x 1 f -1 ；或者 X1” - -1, X2、=1，” 二 2，此時(shí) f =1 ；或者 x- T, X2” - -1，” - - 2， 此時(shí)f - -1。 則點(diǎn)（1,1）、（1,-1）、（-1,1）和（-1,-1）為目標(biāo)函數(shù)的駐點(diǎn)，且在這些

2、點(diǎn)處約束條件滿 足約束規(guī)格。 （3）首先寫出拉格朗日函數(shù)：L（x, y, 1,匕）=xy （1 - x2 - y2） 2（1 - x - y） y2 二1和x y = 1 解：（1）首先寫出拉格朗日函數(shù)： 1（捲，x2, ） = xm2（16-論一4x2） 將L對(duì)冶，X2和分別求偏導(dǎo)數(shù)可得： Lx = x2 九=0 = Lx2 = x1 4人=0 L； =16 Xr _4x2 =0 fij 解得 x/ -8, x = 2，廠=2，此時(shí) f -16。 則點(diǎn)（8,2）為目標(biāo)函數(shù)的駐點(diǎn)，且在該點(diǎn)處約束條件滿足約束規(guī)格。 2 2 2 （2）首先寫出拉格朗日函數(shù)：L（X1, X2, ）二為X2 一（3-

3、2冷-X2） 將L對(duì)X1，X2和分別求偏導(dǎo)數(shù)可得： =2x2 4x1 =0 0 -1-40 所以，由定理5.2得，在x=8,X2”=2處函數(shù)取得極大值 f” =16。 2 (2)對(duì) Lx=2玄2-4 為=0 ,Lx2=%-2x0求偏導(dǎo)數(shù)可得Lx/=2x2-4， Lx2X2一2 , Lx,x2 =Lx2X1 =2X1，加邊元素 gx -4x1 , 9x2 - -2x2。所以，海賽加邊行列 式為: 2x24 2x1 H = 2x12丸 -4x1一 2x2 -4x1 -2 X2 0 當(dāng) x； =1, x/ =1 ,= 1 時(shí)， 2-4 -12 = 48 a 0 -20 0 H| = 2 -4 所以，

4、由定理5.2得，在 汀-1, x =1處函數(shù)取得極大值 r = 1 o 當(dāng) X1 =1, X2 = _1，” - -1 時(shí)， 所以, 由定理5.2得, 4 當(dāng)X1 -1, X2 =1 , 所以, 由定理5.2得, 當(dāng)X1 =一1, X2= -1 所以, 由定理5.2得, 二48 ： 0 在-1, X2 在X1 在X1 -2 -1, X2 1 時(shí) 2時(shí)， -2 T, X2 (3)對(duì) Lx y - 2 x - 2=， L y Lxy = L yx = 1，加邊兀素 賽加邊行列式為: -1處函數(shù)取得極小值f - -1。 -2 =48 - 0 -1處函數(shù)取得極大值 f ” = 1。 =一48 ： 0

5、-1處函數(shù)取得極小值f ” = -1。 = x-21y-，2=0 求偏導(dǎo)數(shù)可得 Lxx二Lyy = -2， -2 -2x -1 -2y _2/- -2y -2x -2y g2y _1, gy = -1。所以，海 -1 -1 當(dāng) x =1,/ =0, ； =1時(shí), -2 -1 -1 -2 =40 -1 =1時(shí), 1 當(dāng) x、0,y、1,T 2 2 L. = 2- x - 2y=0 所以，由定理5.2得，在x”=1,y”=0或者 X” = 0, y ” = 1處函數(shù)取得極大值= 0 。 3.求函數(shù)f(x, y, z) =x y - z2在約束x2 y2 z2 = 0和y = 0下的可能的極值點(diǎn)。

6、解：首先寫出拉格朗日函數(shù)： L(x, y,z, 1, j) =x y z2“(x2 y2 z2) -y 將L對(duì)x，y，z和mJ分別求偏導(dǎo)數(shù)可得: Lx = 12人 x=0 Ly =1 2Zy ,-2=0 Lz = 2z - 2丘憶=0 = x y z =0 S = y = 0 L. fZ丿 1 1 解得該方程無(wú)實(shí)解，存在虛數(shù)解：x , y” =0, z， i， =1,=1，此時(shí) 。 4 4.利用海賽加邊行列式確定下面每一小題的z值是極大值還是極小值。 (1) z =xy 滿足約束 x - 2y =2； (2) z =x(y 4)滿足約束 x y = 8 ； (3) z=x-3y-xy 滿足約束

7、 x y = 6 ； (4) z = x2 - y 7 滿足約束 x y = 。 解：(1)首先寫出拉格朗日函數(shù)：L(x, y, )二xy (2 - x-2y) 將L對(duì)x , y和，分別求偏導(dǎo)數(shù)可得： Lx = y - - 0 Ly = x - 2，=0 解得 x “=1, y “ =1 , 2 對(duì)Lx=y-，-0 , Ly=x-2 =0求偏導(dǎo)數(shù)可得Lxx = Lyy = 0 ,Lxy = Lyx = 1，加邊兀 素gx = -1, gy = -2。所以，海賽加邊行列式為: 0 1 -1 1 0 -2 -1 一2 = 4 a 0 0 1 1 所以，由定理5.2得，Z(1, )為目標(biāo)函數(shù)的極大值

8、。 2 2 (2)首先寫出拉格朗日函數(shù)：L(x, y, x(y 4) (8 - x y) 將L對(duì)x，y和，分別求偏導(dǎo)數(shù)可得： Lx = y+4-丸=0 Ly = x -，- 0 丄)=8 x - y = 0 解得 x” = 6, y” = 2, ” = 6， 對(duì) Lx=y，4 -，=0，Ly=X-，=0 求偏導(dǎo)數(shù)可得Lxx = Lyy = 0，Lxy = Lyx = 1，加邊 元素gx = gy - -1。所以，海賽加邊行列式為： 01-1 H|= 10-1=20 110 所以，由定理5.2得，z(6,2) -36為目標(biāo)函數(shù)的極大值。 (3)首先寫出拉格朗日函數(shù)：L(x, yj ) = x -

9、3y -xy(6 - x - y) 將L對(duì)x，y和，分別求偏導(dǎo)數(shù)可得： (Lx 1 - y _，- 0 Ly = x 3 入0 iL=6_x_y=0 解得 x = 1, y = 5,， = -4， 加邊元素gx =gy = T。所以，海賽加邊行列式為: 對(duì) Lx = 1 y _ - 0， Ly = _X - 3 _，- 0 求偏導(dǎo)數(shù)可得Lxx = Lyy = 0， Lxy = Lyx = -1 ， -1-1 0-1=-2c 0 -10 所以，由定理5.2得，z(1,5) = _19為目標(biāo)函數(shù)的極小值。 (4)首先寫出拉格朗日函數(shù)：L(x, y, ) = x2 - y 7 ：*.( -x - y

10、) 將L對(duì)x，y和，分別求偏導(dǎo)數(shù)可得： 1 Lx = 2 x -，=0 = Ly = _1 _ a) = x a z ，(a? x -a3y -z )，將=(1,3,1)代入極大化 1 * * 1 問(wèn)題，在約束條件下目標(biāo)函數(shù)的極大值點(diǎn)為(1,1,1)，乘子為一。從而有w =(1,1,1) =。 2 2 f *L* 根據(jù)包絡(luò)定理，(1,3,1)= (w，九)a 31)，貝U 西斜心1,3,1) .:L,1；:L21 y,，y : ；a1_a22_a32 (1 )當(dāng)?shù)仁郊s束改為x2 y2 z2 =3.05時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值改變分量為： * 訐1 (1,3,1) a20.05 = 0.025 -a?

11、2 極大化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值分別是(1 1 1) 0.025 =3.025。 (2) 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)改為 f (x, y,z) =x+1.02y+z，等式約束改為 x2 + y2 + z2 = 3.05時(shí), 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值改變分量為: f訐1 (1,3,1)y(1,3,1)G2 =1 0.020.05=0.045 .a1a?2 極大化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值是(1 1 1) 0.045二3.045。 x2 1.01 y2 z2=3.05 時(shí), (3)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)改為f (x, y, z) =x 1.02y z ,等式約束改為 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值改變分量為: ff (1,3,1) a(1,3,1) a2 1

12、j a： f (1,3,1) a3 =1 0.02 a -0.05 (-1) 0.01 = 0.04 2 2 極大化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值是 (111) 0.04 =3.04。 10. 一個(gè)消費(fèi)者具有效用函數(shù)：U (x, y)二x(y 1)，其中x和y是兩種商品的數(shù)量，它們 的價(jià)格分別是P(x)和P(y)。消費(fèi)者的預(yù)算約束是M，因此消費(fèi)者的拉格朗日函數(shù)是 (2 ) Lxx = Lyy = 0 ,Lxy二Lyx = 1，加邊元素g PX , g Py。所以，海賽加邊行列 L(x, y, ) = x(y 1)(M - PxX - Pyy) (1 )從一階條件中找出需求函數(shù)的表達(dá)式。說(shuō)明商品 候，會(huì)出

13、現(xiàn)哪種情況？ y是哪種商品？尤其當(dāng) Py . M的時(shí) (2)通過(guò)檢查二階充分條件來(lái)證明這是一個(gè)極大值。把 X”和y代入到效用函數(shù)中，找出 間接效用函數(shù)的表達(dá)式：U二=u(PX,Py,M)， 并推導(dǎo)出支出函數(shù)的表達(dá)式: E 二 E(Px,Py,U )。 (3) Min PXxPy y st. x(y 1) = U 求出這個(gè)最小化問(wèn)題的 x和y的解，并證明x和y的解值等于支出函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) ；:E 和 -O 解：(1)根據(jù)拉格朗日函數(shù)得出一階必要條件為： Lx = y X -心= t Ly = x 丸Fy = 0 Q= M - P 0 因此，由定理5.2最優(yōu)值為極大值。 把xM和yM代入目標(biāo)函數(shù)中，

14、得出間接效用函數(shù)為: *M - PyM - Py (M - Py)2 4PxPy （3）構(gòu)造拉格朗日函數(shù): 一階必要條件為 L(x,y,=PxX Pyy 叫u*-x(y 1) 支出函數(shù)表達(dá)式為： 1 E 二U(Px,Py,U*) =xPx yPy 二 M - 2Py =2(U*PxPy)2 - Py Lx =Px(y 1) = 0 Ly = Py _= 0 * L.I =U -x(y T) = 0 求解這個(gè)方程組的 x,y和，得到均衡解為 其中xH, yH是消費(fèi)者的?？怂剐枨蠛瘮?shù)。 檢驗(yàn)二階充分條件: 0 H = -卩 _y 1 y 1 0-X =-2x(y+1)0 460 因此，由定理5.2

15、最優(yōu)值滿足極大值的二階充分條件。 12.假設(shè)U =(x 2)( y 1)，但不為價(jià)格和收入?yún)?shù)設(shè)定具體數(shù)值。 (1) 寫出拉格朗日函數(shù)； (2) 求X，y 及”(以參數(shù)Px，Py和M表示)； (3) 檢驗(yàn)極大值點(diǎn)處的二階充分條件。 (4) 令 巳=4，Py =6及M =30，檢驗(yàn)?zāi)銓?duì)習(xí)題 8回答的正確性。 解：設(shè)x的價(jià)格為FX,y的價(jià)格為Py,收入為M，則有: max u =(x 2)( y 1) st. xPx yPy =M (1) L =(x 2)(y 1)，(M -xPx -yPy) (2) 一階條件為 Lx =y+1_Px=0 丄y =X +2 - Py =0,解得均衡解為 Q = M

16、 -xFx yPy =0 * M +2Px+Py x = 2 2Px * M +2Px + Py 0 ,則均衡解為極大值 -Py0 13.習(xí)題10的解(x”和y)能夠產(chǎn)生比較靜態(tài)信息嗎？求出所有比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)，確定其 符號(hào)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。 參見習(xí)題10。 14給定消費(fèi)者消費(fèi)商品 X和Y的效用函數(shù)U(x, y) =(x 1)(y 1) , x和y為商品X和Y 的消費(fèi)量，P1和P2是商品X和Y的價(jià)格，消費(fèi)者的收入為I。 (1)求消費(fèi)者的效用極大值和相應(yīng)兩種商品的最優(yōu)消費(fèi)量 /* 州 (X , y )。 (2) 收入增加一個(gè)單位時(shí)，對(duì)消費(fèi)者的的極大效用有何影響？ Jfl州州 r 州 (3) 求出比

17、較靜態(tài)函數(shù) 丄 H ,丄，丄，丄，判斷其符號(hào)，解釋其經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。 tp1 cp2 cI cp1 即2 cI 解：極大化問(wèn)題為：max u =(x 1)(y 1) s.t. RxF2y = I (1) L =(x 1)(y 1) (I -Rx-F2y),階條件為 I P p2 Lx = y +1 P =0 * Ly =x+1 厲=0,均衡解為 L 7 = I Rx 巳 y = 0 J JU 2R I P P2 2P2 * I P1 P2 扎 = 2RP2 -1 -2 階條件為 0 H = 1 _P 1-P1 0- P2 = 2RP2 a 0，均衡解為極大值 -P20 du d(/) I+P+P2

18、 dIdI2RP2 -0，表示收入每增加一單位 ，大小用增加 I P P2 2RP2 個(gè)單位 dx 1 1 +P+P2 dx 1 dx 1 - 2 ， ，dI dR 2P 2P dP2 2P 2R * dy 1 * dy _ 1 1 +P+P2 * dy 1 dR 2B ，dR 2R 2P22 ，dI 2P2 15.考慮極大化問(wèn)題 max x-i x2 s.t.為 bx2 = a 利用包絡(luò)定理解決以下問(wèn)題: (1 )求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值在 (a,b) =(16,4)處分別關(guān)于a和b的偏導(dǎo)數(shù)。 (2)據(jù)(1),估計(jì)當(dāng)b=4、a由16變?yōu)?6.03時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的改變量為多少? 估計(jì)新問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值？ （3）據(jù)（1），估計(jì)當(dāng)a =