不定積分求解方法及技巧

1、不定積分求解方法及技巧小匯總 摘要：總結(jié)不定積分基本定義，性質(zhì)和公式，求不定積分的幾種基本方法和技巧，列 舉個別典型例子，運用技巧解題。 一. 不定積分的概念與性質(zhì) 定義1如果F (x)是區(qū)間I上的可導函數(shù)，并且對任意的x I，有 F (x)=f(x)dx 則稱F (x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)。 定理1 (原函數(shù)存在定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么f(x)在區(qū)間I上一定有原 函數(shù)，即存在可導函數(shù)F (x)，使得F (x) =f(x) (x I) 簡單的說就是，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù) 定理2設(shè)F (x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則 (1) F (x) +C也是f(x)在

2、區(qū)間I上的原函數(shù)，其中 C是任意函數(shù)； (2) f(x)在I上的任意兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)。 定義2設(shè)F (x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，那么f(x)的全體原函數(shù)F (x) +C稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為 f(x)d(x), 即 f(x)d(x)=F(x)+C 其中記號 稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)d(x)稱為被積表達式，x稱為積分變 量，C稱為積分常數(shù)。 性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)存在原函數(shù)，則f(x) g(x)dx= f(x)dx g(x)dx. 性質(zhì)2設(shè)函數(shù)f(x)存在原函數(shù)，k為非零常數(shù)，貝9 kf(x)dx=k f(x)dx. 二. 換元

3、積分法的定理 如果不定積分g(x)dx不容易直接求出，但被積函數(shù)可分解為g(x)=f(x) (x). 做變量代換u= (x),并注意到(x) dx=d (x),則可將變量x的積分轉(zhuǎn)化成變量u 的積分，于是有g(shù)(x)dx= f (x) (x)dx= f(u)du. 如果 f(u)du可以積出，則不定積分g(x)dx的計算問題就解決了，這就是第一類 換元法。第一類換元法就是將復合函數(shù)的微分法反過來用來求不定積分。 定理1設(shè)F(u)是f(u)的一個原函數(shù)，u= (x)可導，則有換元公式 f (x) (x)dx= f(u)du=F(u)+C=F (x)+C. 第一類換元法是通過變量代換u= (x),將

4、積分 f (x) (x)dx化為 f(u)du.但有些積分需要用到形如x= (t)的變量代換，將積分 f(x)dx化為 f (t) (t).在求出后一積分之后，再以x= (t)的反函數(shù)t= 1(X)帶回去，這就 是第二類換元法。即 f(x)dx= f (t) (t)dt t i(X). 為了保證上式成立，除被積函數(shù)應(yīng)存在原函數(shù)之外，還應(yīng)有原函數(shù)t= 1( x )存 在的條件，給出下面的定理。 定理2設(shè)x= (t)是單調(diào)，可導的函數(shù)，并且(t)0.又設(shè)f (t) (t) (t)dt=F(t)+C=F1 (x)+C 具有原函數(shù)F( t),則 f(x)dx= f (t) 其中 1 (x)是x= (

5、t )的反函數(shù) 常用積分公式 1基本積分公式 (1) kdx=kx+C(k 是常數(shù))； (3) dx . =ln x x +c； (5) dx =arcs in x+C; (6) 1 _x7 (7) sin xdx=-cosx+C ; (8) (9) dx = 2 sin x csc2 xdx=-cotx+C;(10) (11) cscxcotxdx=-cscx+C; (12) (13) axdx= e x+C; (14) (15) chxdx=shx+C. (16) xu 1 (2) xudx=- +C(u -1); u 1 dx (4)=arcta nx+C; 1 x cosxdx=s i

6、n x+C; d： =sec2 xdx=ta nx+C; cos x secxta nxdx二secx+C; exdx= e x+C; shxdx二chx+C; tan xdx=-In cosx +C; (19)cscxdx=ln cscx cotx +C;(20) dx 22 a x =l|nl a| a x +C; (21) 一dx一=arcsin -+C; .a2 x2a (22) dx =ln(x+ 2 a +C; (23)=rln x 孑r|+c. 珀x a 2.湊微分基本類型 四.解不定積分的基本方法 四.求不定積分的方法及技巧小匯總 1利用基本公式。(這就不多說了) 2第一類換元

7、法。(湊微分) 設(shè)f(卩)具有原函數(shù)F(卩)。貝U 其中(x)可微。 用湊微分法求解不定積分時，首先要認真觀察被積函數(shù)，尋找導數(shù)項內(nèi)容，同時為下一 步積分做準備。當實在看不清楚被積函數(shù)特點時，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導、嘗 試，或許從中可以得到某種啟迪。如例 1、例2: 【解】(ln(x 1) lnx) 1 x(x 1) ln( x 1) ln x , dx x(x 1) (ln(x 1) ln x)d(ln(x 1) lnx) 1 (ln(x 1) ln x)2 C 例 2: 2 1 ln x 2dx (xl nx) 【解】(xlnx) 1 ln x 3第二類換元法： (t)是單調(diào)、可

8、導的函數(shù)，并且 (t)0又設(shè)f (t) (t)具有原函數(shù)，則有換元公 式 第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會用。主要有 以下幾種： 4分部積分法. 公式: 例1: ln( x 1) ln x , dx x(x 1) 具體選取、 時，通?；谝韵聝牲c考慮: （1）降低多項式部分的系數(shù) （2）簡化被積函數(shù)的類型 舉兩個例子吧！ 例3： 3 x arccosx. dx 1 x2 【解】觀察被積函數(shù)，選取變換t arccosx,則 例4： arcs in2 xdx 1 x2 arcs in xdx 【解】22 arcs in xdx xsin x 上面的例3,降低了多項

9、式系數(shù)；例4,簡化了被積函數(shù)的類型 有時，分部積分會產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。 在 dd中，、的選取有下面簡單的規(guī)律： 有理函數(shù)鵲先化為多項式和真分式 需之和，再把孟分解為若干個部分分式 之和。（對各部分分式的處理可能會比較復雜。出現(xiàn) In 2 廠時，記得用遞推公式： （a x ） 將以上規(guī)律化成一個圖就是: / 1-： l/As；、 但是（當arcsxxarcpmx時，是無法求解的。入 V 對于（3）情況，有兩個通用公式： 5幾種特殊類型函數(shù)的積分 （1）有理函數(shù)的積分 x2n 3) T22、n 1 1 n 1)_ 2a (n 1)(x a ) 2a (n 1) 例5： 64 x x

10、4x2 2dx 3/ x (x 2 1)2 解 64 x x 4x2 64 2x x 4x22 x4x2 2 x (x 1)2 3/2八 2 x (x 1) x3(x2 1)2 x2 1x3(x2 1)2 故不定積分求得。 （2）三角函數(shù)有理式的積分 sin x x 2ta n 2 萬能公式: ta n2? 2 cosx tan2- 2 P(sinx,cosx)dx可用變換t tan化為有理函數(shù) 的積分，但由于計算較煩，應(yīng)盡量避免 Q(sin x,cosx)2 對于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成 沁或叱。再用待定系數(shù) cosx sinx A(a cosx bsinx) B(a cosx bsinx) acosx bsinx (3) 簡單無理函數(shù)的積分 來做。 般用第二類換元法中的那些變換形式 像一些簡單的，應(yīng)靈活運用。如：同時出現(xiàn) .X和1 x時，可令x tan2t ；同時出現(xiàn) x和.1 x時，可令x s