綜合法和分析法(公開課教案)

1、肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:021/14 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 2.2 2.2 直接證明與間接證明直接證明與間接證明 2.2.1 2.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析法 ( (一一) )趙尚平趙尚平 2013-4-16 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:022/14 否定猜想? 肯定猜想? 舉反例舉反例 證明證明 復(fù)習(xí)回顧 只要前提和推理只要前提和推理 形式都是正確的形式都是正確的, , 結(jié)論必定是正確的結(jié)論必定是正確的. . 猜想是 否正確？ 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:023/14 2.2 2.2 直接證明與間接證明直接證明與間接證明 2.2.1

2、 2.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析法 ( (一一) ) 直接證明中最基本的兩種證明方法直接證明中最基本的兩種證明方法 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:024/14 abcacbcbaba4)()(:, 0,: 2222 求證已知思考 0,2: 22 abccb因?yàn)樽C明 abccba2)( 22 所以 0,2 22 bacac因?yàn)?abcacb2)( 22 所以 abcacbcba4)()(, 2222 因此 觀察這種觀察這種 證明方法證明方法 的特點(diǎn)的特點(diǎn)! 發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn): :本題主要是從已知條件出發(fā)本題主要是從已知條件出發(fā), ,利用我們所熟知的基本不等式利用我們所熟知的基本不等式

3、及不等式性質(zhì)來進(jìn)行證明的及不等式性質(zhì)來進(jìn)行證明的! ! 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:025/14 一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理 及運(yùn)算法則等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出及運(yùn)算法則等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出 所要證明的結(jié)論成立所要證明的結(jié)論成立. . 一. 綜合法 ( (p表示已知條件、已有的定義、定理、公理等表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,q表示要證明的結(jié)論表示要證明的結(jié)論) ) 由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч?，從從“已知已知”看看“可知可知”，逐步，逐?推向推向“未知未知”，其逐步推理，其逐步推理 ，實(shí)際

4、是尋找，實(shí)際是尋找 它的必要條件它的必要條件 1.1.定義定義： 3 3. .框圖表示：框圖表示： 2 2. .思維特點(diǎn)：思維特點(diǎn)： (由因?qū)Чㄓ梢驅(qū)Ч?順推法順推法) qqn 1 qp 32 qq 21 qq q結(jié)論 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:026/14 cba accbba cba lglglg 2 lg 2 lg 2 lg: , 求證 是不全等的正數(shù)已知 , 2 , 2 , 2 ca ac bc cb ab ba 以上三式相加，且注意到以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等，不全相等， cba accbba lglglg 2 lg 2 lg 2 lg 所以 總結(jié)：本

5、題主要綜合運(yùn)用總結(jié)：本題主要綜合運(yùn)用 已知條件已知條件, ,基本不等式基本不等式, , 不等式性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的不等式性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的 運(yùn)算性質(zhì)來證明運(yùn)算性質(zhì)來證明. . ),lg(lg 2 1 lg 2 lgacca ac ),lg(lg 2 1 lg 2 lgbaab ba ),lg(lg 2 1 lg 2 lgcbbc cb 例例 1 1 證明證明: :0,cba 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:027/14 rcbarzyx,:已知 )(2: 222 zxyzxyz c ba y b ac x a cb 求證 222 z c ba y b ac x a cb 222222 z c b

6、 z c a y b a y b c x a c x a b )()()( 222222 x a c z c a z c b y b c y b a x a b zxyzxy222)(2zxyzxy )(2 222 zxyzxyz c ba y b ac x a cb 所以 則由于, rcbarzyx 練習(xí)練習(xí) 證明證明 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:028/14 在abc中,三個(gè)內(nèi)角a,b,c的對(duì)邊分別為a, b，c,且a,b,c成等差數(shù)列, a, b，c成等比數(shù)列,求證abc為等邊三角形. 3 b 由由a, b，c成等比數(shù)列，有成等比數(shù)列，有b2=ac. 3 cba由上可知所以a

7、bc為等邊三角形 總結(jié)總結(jié): :解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言，或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言，或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成 圖形語言等還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來圖形語言等還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來 練習(xí)練習(xí) 證明證明 cabcba2,有成等差數(shù)列由 cbaabccba有的內(nèi)角為由, accabaccab 22222 cos2 ,有由余弦定理 acacca 22 0)( 2 ca ca ca 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:029/14 必修五中必修五中,我們?nèi)绾巫C明

8、基本不等式我們?nèi)绾巫C明基本不等式 的的 ,指出其中的證明方法的特點(diǎn)指出其中的證明方法的特點(diǎn). )0, 0( 2 baab ba ab ba 2 要證 abba2只需證 02abba只需證 0)( 2 ba只需證 因?yàn)樯鲜斤@然成立因?yàn)樯鲜斤@然成立,所以原不等式成立所以原不等式成立. 證明證明 思考思考: 這種證明方法這種證明方法 有什么特點(diǎn)呢有什么特點(diǎn)呢? 回顧回顧 ab ba ba abba ab ba 2 0 2 )( 2 2 2 : 2 證明 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:02 10/14 二二. .分析法分析法 一般地一般地, ,從要證明的從要證明的結(jié)論出發(fā)結(jié)論出發(fā), ,逐步尋

9、求使它成立的逐步尋求使它成立的充分條件充分條件, ,直至最后直至最后, , 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判斷一個(gè)把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判斷一個(gè)明顯成立的條件明顯成立的條件( (已知條件、定理、已知條件、定理、 定義、公理等定義、公理等) )為止為止, ,這種證明方法叫做這種證明方法叫做分析法分析法. . ( (用用q表示要證明的結(jié)論表示要證明的結(jié)論,p表示充分條件表示充分條件) ) 執(zhí)果索因執(zhí)果索因, ,從從“未知未知”看看“需知需知”，其逐步推理，實(shí)際上是，其逐步推理，實(shí)際上是 尋找它的充分條件尋找它的充分條件. . 4.4.分析法的書寫格式：分析法的書寫格式： 要證：要證：. 只需證：只需證：. 只

10、需證：只需證：. .顯然成立顯然成立 所以所以,結(jié)論成立結(jié)論成立 1.1.定義定義： 3 3. .框圖表示：框圖表示： 2 2. .思維特點(diǎn)：思維特點(diǎn)： (執(zhí)果索因法執(zhí)果索因法,逆推證明法逆推證明法) 32 pp 21 pp 1 pq q 結(jié)論 明顯成立的條件 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:02 11/14 5273:求證 例例 3 3 都是正數(shù)和因?yàn)?273 5273所以要證 22 )52()73(只需證 2021210展開得 521 只需證 2521只需證 5273所以 在本例中，如果我們從在本例中，如果我們從“2125 ”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論出發(fā)，逐步倒推

11、回去，就可以用綜合法證出結(jié)論.但由于但由于 我們很難想到從我們很難想到從“2125”入手，所以用綜合法比較困難入手，所以用綜合法比較困難. .2521顯然成立因?yàn)?5273 分分 析析 法法 綜綜 合合 法法 2021210 22 )52()73( 2521:證明 521 10212 證明證明: : 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:02 12/14 1tantan:,baabc求證中在銳角 1tantanba要證明 1 coscos sinsin ba ba 只需證 0cos, 0cos,baba所以為銳角因?yàn)?babasinsincoscos只需證 0)cos( ba只需證 為鈍角所以為銳角因?yàn)閏bac, 恒成立所以0)cos( ba 1tantanba所以 練練 習(xí)習(xí) 證證 明明 0sinsincoscosbaba只需證 肥東錦弘中學(xué)高中部公開課教案設(shè)計(jì) 12:02 13/14 本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu) 1必做題：教材p89 練習(xí)1、2題 2選做題：教材習(xí)題2.2 b組2、3題 1.綜合法和分析法是思維方向相反的兩種思考方法. 2.在數(shù)學(xué)解題中: (1)綜合法是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論.